121《任意角的三角函數(shù)1》（新人教A版必修4》

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1、v主講老師 潘學(xué)國第一課時(shí)第一課時(shí)v1、理解任意角的正弦、余弦、正切、理解任意角的正弦、余弦、正切的定義；的定義；v2、能用任意角的三角函數(shù)的定義求、能用任意角的三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)的值；三角函數(shù)的值；v3、能用任意角的三角函數(shù)的定義判、能用任意角的三角函數(shù)的定義判斷三角函數(shù)的符號。斷三角函數(shù)的符號。A、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：1、任意角的三角函數(shù)的概念；、任意角的三角函數(shù)的概念；2、三角函數(shù)值的符號判斷。、三角函數(shù)值的符號判斷。B、學(xué)習(xí)難點(diǎn)：、學(xué)習(xí)難點(diǎn)：任意角的三角函數(shù)的概念的理解。任意角的三角函數(shù)的概念的理解。 思考：思考：我們已經(jīng)學(xué)過銳角三我們已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為

2、自角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)。那變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)。那么，任意角的三角函數(shù)又是怎樣定么，任意角的三角函數(shù)又是怎樣定義的呢？義的呢？ 1、初中時(shí)我們是如何定義銳角三角函數(shù)？你能用、初中時(shí)我們是如何定義銳角三角函數(shù)？你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)來表示它嗎？直角坐標(biāo)系中角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)來表示它嗎？2、你能用單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示你能用單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)嗎嗎？3、任意角的正弦、余弦、正切是怎樣定義的？、任意角的正弦、余弦、正切是怎樣定義的？4、如何運(yùn)用任意角的三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)如何運(yùn)用任意角的三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)的值

3、？的值？ 5、任意角的三角函數(shù)的定義能否推廣？、任意角的三角函數(shù)的定義能否推廣？6、如何運(yùn)用任意角的三角函數(shù)的定義判斷三角函、如何運(yùn)用任意角的三角函數(shù)的定義判斷三角函數(shù)的符號？數(shù)的符號？ 在在RtRtABCABC中，中，A是銳角，是銳角，C是直角是直角 ,則：則：想一想想一想：如果現(xiàn)在把銳角改成是任意大小的如果現(xiàn)在把銳角改成是任意大小的正角、負(fù)角或零角，那你覺得還能在直角三角正角、負(fù)角或零角，那你覺得還能在直角三角形中求解嗎？為什么？你有什么好的辦法嗎？形中求解嗎？為什么？你有什么好的辦法嗎？ 1、在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？、在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？22:barOPbMP

4、aOM其中 yx2、在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？、在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？raOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtanbaP,MoOPMPsinOPOMcosOMMPtan，則若1 rOPbaab3、銳角三角函數(shù)（在單位圓中）、銳角三角函數(shù)（在單位圓中）以原點(diǎn)以原點(diǎn)O為為圓心，以單位圓心，以單位長度為半徑的圓，稱為單位圓長度為半徑的圓，稱為單位圓. yoP),(bax1M4、任意角的三角函數(shù)定義、任意角的三角函數(shù)定義 設(shè)設(shè) 是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)),(yxP 那么那么:（1） 叫做叫做 的正弦，記作的正

5、弦，記作 ，即，即 ；ysinysin （2） 叫做叫做 的余弦，記作的余弦，記作 ，即，即 ； cosxxcos（3） 叫做叫做 的正切，記作的正切，記作 ，即，即 。 xytanxytan 所以，正弦，余弦，正切都所以，正弦，余弦，正切都是以是以角為自變量角為自變量，以單位圓上點(diǎn)，以單位圓上點(diǎn)的的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的的函數(shù)，我們將他們稱為函數(shù)，我們將他們稱為三角函數(shù)三角函數(shù).0 , 1AOyxyxP ,)0(x使比值有意義的角的集合使比值有意義的角的集合即為三角函數(shù)的定義域即為三角函數(shù)的定義域.)0 , 1 (AxyoP),(yx的終邊說說 明明（1）正弦就是

6、交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，余弦就是交點(diǎn)）正弦就是交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，余弦就是交點(diǎn)橫坐標(biāo)的比值橫坐標(biāo)的比值. .的橫坐標(biāo)，的橫坐標(biāo)， 正切就是正切就是 交點(diǎn)的縱坐標(biāo)與交點(diǎn)的縱坐標(biāo)與. .（2） 正弦、余弦總有意義正弦、余弦總有意義.當(dāng)當(dāng) 的終邊在的終邊在 y橫坐標(biāo)等于橫坐標(biāo)等于0， xytan無意義，此時(shí)無意義，此時(shí) )(2zkk軸上時(shí)，點(diǎn)軸上時(shí)，點(diǎn)P 的的（3）由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系，）由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系，三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù).任意角的三角函數(shù)的定義過程：任意角的三角函數(shù)的定義過程：直角三角形中定義銳角三角函數(shù)直

7、角三角形中定義銳角三角函數(shù) abrarbtan,cos,sin直角坐標(biāo)系中定義銳角三角函數(shù)直角坐標(biāo)系中定義銳角三角函數(shù) abrarbtan,cos,sin單位圓中定義銳角三角函數(shù)單位圓中定義銳角三角函數(shù) ababtan,cos,sin單位圓中定義任意角的三角函數(shù)單位圓中定義任意角的三角函數(shù) ,sinyxcosxytan,例例1 1：求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：在直角坐標(biāo)系中，作解：在直角坐標(biāo)系中，作 AOB，易知，易知 的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為 )23,21(所以所以 2335sin2135cos335tan思考：若把角思考：若

8、把角 改為改為 呢呢? 3567,2167sin， ,2367cos3367tanxyoAB35例例2 2：已知角已知角 的終邊經(jīng)過點(diǎn)的終邊經(jīng)過點(diǎn) ，求角，求角 的正弦、余的正弦、余弦和正切值弦和正切值 .)4, 3(0P5) 4() 3(220OP解解:由已知可得由已知可得設(shè)角設(shè)角 的終邊與單位圓交于的終邊與單位圓交于 ，),(yxP分別過點(diǎn)分別過點(diǎn) 、 作作 軸的垂線軸的垂線 、0PMPP00PMx400PM 于是，于是， ;54|1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP00POM;531cos00OPOMOPOMxx34cossintanxy4, 30P0MOyxMy

9、xP ,想一想想一想:能不能用能不能用P點(diǎn)的坐標(biāo)來表示點(diǎn)的坐標(biāo)來表示角的三角函數(shù)呢？角的三角函數(shù)呢？ 在角在角的終邊上任取一點(diǎn)的終邊上任取一點(diǎn)P(x，y)，它到原點(diǎn)的，它到原點(diǎn)的距離為距離為r (r0).如果改變點(diǎn)在終邊上的位置，這三個(gè)比值會(huì)改變嗎？如果改變點(diǎn)在終邊上的位置，這三個(gè)比值會(huì)改變嗎？PMOPMPsinOPOMcosOMMPtanOMPPMOPOPMPOOMMOPMMOyxP(a,b) 設(shè)角設(shè)角 是一個(gè)任意角，是一個(gè)任意角， 是終邊上的任意一點(diǎn)，是終邊上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn) 與原點(diǎn)的距離與原點(diǎn)的距離),( yxP022yxrP那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫

10、做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos 叫做叫做 的正切，即的正切，即xy0tanxxy 任意角任意角 的三角函數(shù)值僅與的三角函數(shù)值僅與 有關(guān)，而與點(diǎn)有關(guān)，而與點(diǎn) 在角的在角的終邊上的位置無關(guān)終邊上的位置無關(guān).P定義推廣：定義推廣：1、根據(jù)三角函數(shù)的、根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定它們的定定義，確定它們的定義域義域（弧度制）（弧度制）三角函數(shù)三角函數(shù)定義域定義域sincostanR)(2Zkk2、確定三角函數(shù)值在各象限的符號、確定三角函數(shù)值在各象限的符號yxosinyxocosyxotan+（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）R+-+-+-+- 例例3：求證：當(dāng)且僅當(dāng)下

11、列不等式組成立時(shí)，：求證：當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時(shí)， 角角 為第三象限角為第三象限角.0tan 0sin 證明：證明： 因?yàn)橐驗(yàn)槭绞?成立成立,所以所以 角的終邊可能位于第三角的終邊可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 軸的非正半軸上；軸的非正半軸上；0sin 又因?yàn)橛忠驗(yàn)槭绞?成立，所以角成立，所以角 的終邊可能位于的終邊可能位于第一或第三象限第一或第三象限. 0tan 因?yàn)橐驗(yàn)槭蕉汲闪ⅲ越鞘蕉汲闪ⅲ越?的終邊只能位于第三象限的終邊只能位于第三象限.于是角于是角 為第三象限角為第三象限角.反過來請同學(xué)們自己證明反過來請同學(xué)們自己證明.135122222yxr

12、1312cosrx125tanxy135sinry于是于是，練習(xí)：練習(xí)：1、已知角、已知角 的終邊過點(diǎn)的終邊過點(diǎn) ， 求求 的三個(gè)三角函數(shù)值的三個(gè)三角函數(shù)值.5 ,12P解：由已知可得：解：由已知可得：2P15 ,8aa、已知角 的終邊上一點(diǎn)aR且a0 ，sin,cos ,tan求角 的的值.-15 ,8 ,xa ya解：由于22158170raaaa所以 1017 ,ara若則于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa 20-17 ,ara若則于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa 32sin ,cos ,tan.y

13、x、已知角 的終邊在直線上，求角 的的值 1解： 當(dāng)角 的終邊在第一象限時(shí)，221,2125在角 的終邊上取點(diǎn)，則r=22 5152sin,cos,tan255155 2當(dāng)角 的終邊在第三象限時(shí)，221, 2125r 在角 的終邊上取點(diǎn)，則22 5152sin,cos,tan255155 1 1、三角函數(shù)值是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)的、三角函數(shù)值是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)的大小和點(diǎn)大小和點(diǎn)P(x,yP(x,y) )在終邊上的位置無關(guān)，只由角在終邊上的位置無關(guān)，只由角的終邊位置確定。即三角函數(shù)值的大小只與角有的終邊位置確定。即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān)關(guān). .2.2.若已知角若已知角的終邊上任一異于原點(diǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)，的終邊上任一異于原點(diǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)，都可以直接利用定義或定義的推廣求值都可以直接利用定義或定義的推廣求值. .