（浙江專用版）2018-2019學年高中數學 第一章 三角函數 1.2.2 同角三角函數的基本關系學案 新人教A版必修2

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1、 1．2.2　同角三角函數的基本關系 學習目標　1.能通過三角函數的定義推導出同角三角函數的基本關系式.2.理解同角三角函數的基本關系式.3.能運用同角三角函數的基本關系式進行三角函數式的化簡、求值和證明． 知識點　同角三角函數的基本關系式 思考1　計算下列式子的值： (1)sin230°＋cos230°； (2)sin245°＋cos245°； (3)sin290°＋cos290°. 由此你能得出什么結論？嘗試證明它． 答案　3個式子的值均為1.由此可猜想： 對于任意角α，有sin2α＋cos2α＝1，下面用三角函數的定義證明： 設角α的終邊與單位圓的交點為P(x，

2、y)，則由三角函數的定義，得sin α＝y(tǒng)，cos α＝x. ∴sin2α＋cos2α＝x2＋y2＝|OP|2＝1. 思考2　由三角函數的定義知，tan α與sin α和cos α間具有怎樣的等量關系？ 答案　∵tan α＝(x≠0)，∴tan α＝(α≠＋kπ，k∈Z)． 梳理　(1)同角三角函數的基本關系式 ①平方關系：sin2α＋cos2α＝1. ②商數關系：tan α＝ . (2)同角三角函數基本關系式的變形 ①sin2α＋cos2α＝1的變形公式 sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α. ②tan α＝的變形公式 sin α＝cos αtan α

3、；cos α＝. 1．sin2α＋cos2β＝1.(　×　) 提示　在同角三角函數的基本關系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1. 2．sin2＋cos2＝1.(　√　) 提示　在sin2α＋cos2α＝1中，令α＝可得sin2＋cos2＝1. 3．對任意的角α，都有tan α＝成立．(　×　) 提示　當α＝＋kπ，k∈Z時就不成立. 類型一　利用同角三角函數的關系式求值 命題角度1　已知角α的某一三角函數值及α所在象限，求角α的其余三角函數值 例1　(1)若sin α＝－，且α為第四象限角，則tan α的值為(　　) A. B．－ C.

4、 D．－ 考點　同角三角函數的基本關系式 題點　同角三角函數的商數關系 答案　D 解析　∵sin α＝－，且α為第四象限角，∴cos α＝， ∴tan α＝＝－，故選D. (2)(2017·紹興柯橋區(qū)期末)已知－<α<0，sin α＋cos α＝，則tan α的值為(　　) A．－ B．－ C. D. 考點　同角三角函數的基本關系式 題點　同角三角函數的商數關系 答案　B 解析　∵sin α＋cos α＝， 等號兩邊同時平方得1＋2sin αcos α＝， 即sin αcos α＝－， ∴sin α，cos α是方程x2－x－＝0的兩根， 又∵－<α<0，

5、 ∴sin α＝－，cos α＝， ∴tan α＝＝－. 反思與感悟　(1)同角三角函數的關系揭示了同角三角函數之間的基本關系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三個值之間，知道其中一個可以求其余兩個．解題時要注意角α的象限，從而判斷三角函數值的正負． (2)已知三角函數值之間的關系式求其它三角函數值的問題，我們可利用平方關系或商數關系求解，其關鍵在于運用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等價轉化，分析解決問題的突破口． 跟蹤訓練1　已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 考點　運用基本

6、關系式求三角函數值 題點　運用基本關系式求三角函數值 解　由tan α＝＝，得sin α＝cos α.① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝. 又α是第三象限角， ∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－. 命題角度2　已知角α的某一三角函數值，未給出α所在象限，求角α的其余三角函數值 例2　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值． 考點　運用基本關系式求三角函數值 題點　運用基本關系式求三角函數值 解　∵cos α＝－<0，且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角． (1)當α是第二象限角時，則

7、sin α＝＝＝， tan α＝＝＝－. (2)當α是第三象限角時，則 sin α＝－＝－，tan α＝. 反思與感悟　利用同角三角函數關系式求值時，若沒有給出角α是第幾象限角，則應分類討論，先由已知三角函數的值推出α的終邊可能在的象限，再分類求解． 跟蹤訓練2　已知cos α＝，求sin α，tan α的值． 考點　運用基本關系式求三角函數值 題點　運用基本關系式求三角函數值 解　∵cos α＝>0且cos α≠1， ∴α是第一或第四象限角． (1)當α是第一象限角時，則 sin α＝＝＝， tan α＝＝＝. (2)當α是第四象限角時，則 sin α＝－＝－，t

8、an α＝－. 類型二　齊次式求值問題 例3　已知tan α＝2，求下列代數式的值． (1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α. 考點　運用基本關系式求三角函數值 題點　運用基本關系式求三角函數值 解　(1)原式＝＝. (2)原式＝ ＝ ＝＝. 反思與感悟　(1)關于sin α，cos α的齊次式，可以通過分子、分母同除以cos α或cos2α轉化為關于tan α的式子后再求值． (2)假如代數式中不含分母，可以視分母為1，靈活地進行“1”的代換，由1＝sin2α＋cos2α代換后，再同除以cos2α，構造出關于tan α的代數式． 跟蹤訓練3　已

9、知＝2，計算下列各式的值． (1)； (2)sin2α－2sin αcos α＋1. 考點　運用基本關系式求三角函數值 題點　運用基本關系式求三角函數值 解　由＝2，化簡，得sin α＝3cos α， 所以tan α＝3. (1)原式＝＝＝. (2)原式＝＋1 ＝＋1＝＋1＝. 類型三　三角函數式的化簡與證明 例4　(1)化簡：sin2αtan α＋＋2sin αcos α. 考點　運用基本關系式化簡和證明 題點　運用基本關系式化簡 解　原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α ＝ ＝＝. (2)求證：＝. 考點　運用基本關系式化簡和證明

10、 題點　運用基本關系式證明 證明　∵右邊＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝左邊， ∴原等式成立． 反思與感悟　(1)三角函數式的化簡技巧 ①化切為弦，即把正切函數都化為正、余弦函數，從而減少函數名稱，達到化繁為簡的目的． ②對于含有根號的，常把根號里面的部分化成完全平方式，然后去根號達到化簡的目的． ③對于化簡含高次的三角函數式，往往借助于因式分解，或構造sin2α＋cos2α＝1，以降低函數次數，達到化簡的目的． (2)證明三角恒等式的過程，實質上是化異為同的過程，證明恒等式常用以下方法： ①證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡． ②證明左、右兩邊等于同一個式子(左、右歸一)．

11、 ③比較法：即證左邊－右邊＝0或＝1(右邊≠0)． ④證明與已知等式等價的另一個式子成立，從而推出原式成立． 跟蹤訓練4　化簡tan α ，其中α是第二象限角． 考點　運用基本關系式化簡和證明 題點　運用基本關系式化簡 解　因為α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0. 故tan α ＝tan α ＝tan α ＝＝·＝－1. 1．若sin α＝，且α是第二象限角，則tan α的值為(　　) A．－ B. C．± D．± 考點　同角三角函數的基本關系式 題點　同角三角函數的商數關系 答案　A 解析　∵α為第二象限角，sin α＝， ∴cos

12、 α＝－，tan α＝－. 2．已知sin α－cos α＝－，則sin αcos α等于(　　) A. B．－ C．－ D. 考點　同角三角函數的基本關系式 題點　同角三角函數的平方關系 答案　C 解析　由題意得(sin α－cos α)2＝， 即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝， 又sin2α＋cos2α＝1，∴1－2sin αcos α＝， ∴sin αcos α＝－.故選C. 3．化簡 的結果是(　　) A．cos B．sin C．－cos D．－sin 考點　同角三角函數的基本關系式 題點　同角三角函數的平方關系 答案　C

13、 解析?。剑?， ∵<<π，∴cos<0， ∴＝－cos， 即＝－cos，故選C. 4．(2018·牌頭中學月考)已知tan θ＝2，則等于(　　) A．－ B. C．－ D. 考點　運用基本關系式求三角函數值 題點　運用基本關系式求三角函數值 答案　B 5．求證：＝. 考點　運用基本關系式化簡和證明 題點　運用基本關系式證明 證明　方法一　(比較法——作差) ∵－＝ ＝＝0， ∴＝. 方法二　(比較法——作商) ∵＝＝ ＝＝＝1. ∴＝. 1．利用同角三角函數的基本關系式，可以由一個角的一個三角函數值，求出這個角的其他三角函數值． 2．利用

14、同角三角函數的關系式可以進行三角函數式的化簡，結果要求： (1)項數盡量少；(2)次數盡量低；(3)分母、根式中盡量不含三角函數；(4)能求值的盡可能求值． 3．在三角函數的變換求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一個，可以利用方程思想，求出另外兩個的值． 4．在進行三角函數式的化簡或求值時，細心觀察題目的特征，靈活、恰當地選用公式，統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數、降低次數是三角函數關系式變形的出發(fā)點．利用同角三角函數的基本關系主要是統(tǒng)一函數，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法． 5．在化簡或恒等式證明時，注意方法的靈活運用，常用技巧：(1)“1”的代

15、換；(2)減少三角函數的個數(化切為弦、化弦為切等)；(3)多項式運算技巧的應用(如因式分解、整體思想等)；(4)對條件或結論的重新整理、變形，以便于應用同角三角函數關系來求解. 一、選擇題 1．(2017·紹興期末)設θ∈，若sin θ＝，則cos θ等于(　　) A. B. C. D. 考點　運用基本關系式求三角函數值 題點　運用基本關系式求三角函數值 答案　D 解析　∵θ∈，sin θ＝， 則cos θ＝＝＝. 2．等于(　　) A．sin B．cos C．－sin D．－cos 考點　同角三角函數的基本關系式 題點　同角三角函數的

16、平方關系 答案　A 解析　∵0<<，∴sin >0， ∴＝＝sin . 3．已知＝2，則sin θcos θ的值是(　　) A. B．± C. D．－ 考點　運用基本關系式求三角函數值 題點　運用基本關系式求三角函數值 答案　C 解析　由題意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)， ∴(sin θ＋cos θ)2＝4(sin θ－cos θ)2， 解得sin θcos θ＝. 4．函數y＝＋的值域是(　　) A．{0,2} B．{－2,0} C．{－2,0,2} D．{－2,2} 考點　運用基本關系式求三角函數值 題點　運用基本關系

17、式求三角函數值 答案　C 解析　y＝＋. 當x為第一象限角時，y＝2； 當x為第三象限角時，y＝－2； 當x為第二、四象限角時，y＝0. 5．(2017·四川成都樹德中學期中)已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，則sin θcos θ的值為(　　) A. B．－ C. D．－ 考點　同角三角函數的基本關系式 題點　同角三角函數的平方關系 答案　A 解析　由sin4θ＋cos4θ＝，得 (sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝， ∴sin2θcos2θ＝， ∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0， ∴sin θcos θ＝

18、. 6．若π<α<，則 ＋的化簡結果為(　　) A. B．－ C. D．－ 考點　運用基本關系式化簡和證明 題點　運用基本關系式化簡 答案　D 解析　原式＝ ＋ ＝＋＝， ∵π<α<，∴原式＝－. 7．已知tan θ＝2，則sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于(　　) A．－ B. C．－ D. 考點　運用基本關系式求三角函數值 題點　運用基本關系式求三角函數值 答案　D 解析　sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ ＝＝， 又tan θ＝2，故原式＝＝. 二、填空題 8．已知cos α＝－，且tan α>0，則＝

19、 . 考點　運用基本關系式求三角函數值 題點　運用基本關系式求三角函數值 答案?。? 解析　由cos α<0，tan α>0知α是第三象限角， 且sin α＝－， 故原式＝＝ ＝sin α(1＋sin α)＝×＝－. 9．已知α∈R，sin α＋2cos α＝，則tan α＝ . 考點　運用基本關系式求三角函數值 題點　運用基本關系式求三角函數值 答案　3或－ 解析　因為sin α＋2cos α＝，又sin2α＋cos2α＝1， 聯(lián)立解得或 故tan α＝＝－或3. 10．在△ABC中，sin A＝ ，則角A＝ . 考點　運用基本

20、關系式求三角函數值 題點　運用基本關系式求三角函數值 答案　 解析　由題意知cos A>0，即A為銳角． 將sin A＝ 兩邊平方得2sin2A＝3cos A. ∴2cos2A＋3cos A－2＝0， 解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)， ∴A＝. 11．若tan α＋＝3，則sin αcos α＝ ，tan2α＋＝ . 考點　運用基本關系式求三角函數值 題點　運用基本關系式求三角函數值 答案　　7 解析　∵tan α＋＝3，∴＋＝3， 即＝3， ∴sin αcos α＝， tan2α＋＝2－2tan α· ＝9－2＝7.

21、12．已知sin α－cos α＝－，則tan α＋＝ . 考點　運用基本關系式求三角函數值 題點　運用基本關系式求三角函數值 解　tan α＋＝＋ ＝＝. ∵sin α－cos α＝－，∴1－2sin αcos α＝， ∴sin αcos α＝－，∴＝－8， ∴tan α＋＝－8. 三、解答題 13．已知＝，求下列各式的值． (1)； (2)1－4sin θcos θ＋2cos2θ. 考點　運用基本關系式求三角函數值 題點　運用基本關系式求三角函數值 解　由已知＝， ∴＝，解得tan θ＝2. (1)原式＝＝＝1. (2)原式＝sin2θ－4s

22、in θcos θ＋3cos2θ ＝ ＝＝－. 四、探究與拓展 14．若sin α＋cos α＝1，則sinnα＋cosnα(n∈Z)的值為 ． 考點　運用基本關系式求三角函數值 題點　運用基本關系式求三角函數值 答案　1 解析　∵sin α＋cos α＝1， ∴(sin α＋cos α)2＝1， 又sin2α＋cos2α＝1， ∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0. 當sin α＝0時，cos α＝1， 此時有sinnα＋cosnα＝1； 當cos α＝0時，sin α＝1， 也有sinnα＋cosnα＝1， ∴sinnα

23、＋cosnα＝1. 15．已知關于x的方程2x2－(＋1)x＋2m＝0的兩根為sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求： (1)m的值； (2)＋的值； (3)方程的兩根及此時θ的值． 考點　運用基本關系式求三角函數值 題點　運用基本關系式求三角函數值 解　(1)由根與系數的關系可知， sin θ＋cos θ＝，① sin θ·cos θ＝m.② 將①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝， 所以sin θ·cos θ＝， 代入②得m＝. (2)＋＝＋ ＝＝sin θ＋cos θ＝. (3)由(1)得m＝，所以原方程化為2x2－(＋1)x＋＝0， 解得x1＝，x2＝. 所以或 又因為θ∈(0，π)，所以θ＝或. 17