2022年高考數(shù)學二輪復習 專題六 直線、圓、圓錐曲線 專題能力訓練17 直線與圓錐曲線 文

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1、2022年高考數(shù)學二輪復習 專題六 直線、圓、圓錐曲線 專題能力訓練17 直線與圓錐曲線 文 1.過拋物線C:y2=4x的焦點F,且斜率為的直線交C于點M(M在x軸的上方),l為C的準線,點N在l上且MN⊥l,則M到直線NF的距離為(　　) A. B.2 C.2 D.3 2.與拋物線y2=8x相切傾斜角為135°的直線l與x軸和y軸的交點分別是A和B,那么過A,B兩點的最小圓截拋物線y2=8x的準線所得的弦長為(　　) A.4 B.2 C.2 D. 3.設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l過F且與C交于A,B兩點.若|AF|=3|BF|,則l的方程為(　　) A.y=x-1或y

2、=-x+1 B.y=(x-1)或y=-(x-1) C.y=(x-1)或y=-(x-1) D.y=(x-1)或y=-(x-1) 4.在平面直角坐標系xOy中,雙曲線C1:=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線C2:x2=2py(p>0)交于點O,A,B.若△OAB的垂心為C2的焦點,則C1的離心率為　　　　　.? 5.(2018全國Ⅱ,文20)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8. (1)求l的方程. (2)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程. 6.已知橢圓C的兩個頂點分別為A(-2,0),B(2,0),焦點

3、在x軸上,離心率為. (1)求橢圓C的方程; (2)點D為x軸上一點,過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M,N,過D作AM的垂線交BN于點E.求證:△BDE與△BDN的面積之比為4∶5. 7.在平面直角坐標系xOy中,過橢圓M:=1(a>b>0)右焦點的直線x+y-=0交M于A,B兩點,P為AB的中點,且OP的斜率為. (1)求M的方程; (2)C,D為M上兩點,若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB,求四邊形ACBD面積的最大值. 8.已知橢圓C的中心在坐標原點,右焦點為F(1,0),A,B是橢圓C的左、右頂點,D是橢圓C上異于A,B的動點,且△

4、ADB面積的最大值為. (1)求橢圓C的方程. (2)是否存在一定點E(x0,0)(00). (1)證明:k<-; (2)設(shè)F為C的右焦點,P為C上一點,且=0.證明:2||=||+||. 10.已知橢圓E:=1(a>b>0)的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點,點P在橢圓E上.

5、 (1)求橢圓E的方程; (2)設(shè)不過原點O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點A,B,線段AB的中點為M,直線OM與橢圓E交于C,D,證明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|. 11. 如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓E:=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為,兩準線之間的距離為8.點P在橢圓E上,且位于第一象限,過點F1作直線PF1的垂線l1,過點F2作直線PF2的垂線l2. (1)求橢圓E的標準方程; (2)若直線l1,l2的交點Q在橢圓E上,求點P的坐標. 專題能力訓練17　直線與圓錐曲線 一、能力突破訓練

6、1.C　解析 由題意可知拋物線的焦點F(1,0),準線l的方程為x=-1,可得直線MF:y=(x-1),與拋物線y2=4x聯(lián)立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3. 因為M在x軸的上方,所以M (3,2). 因為MN⊥l,且N在l上,所以N(-1,2). 因為F(1,0),所以直線NF:y=-(x-1).所以M到直線NF的距離為=2. 2.C　解析 設(shè)直線l的方程為y=-x+b,聯(lián)立直線與拋物線方程,消元得y2+8y-8b=0.因為直線與拋物線相切,所以Δ=82-4×(-8b)=0,解得b=-2,故直線l的方程為x+y+2=0,從而A(-2,0),B(0,-2).因此

7、過A,B兩點的最小圓即為以AB為直徑的圓,其方程為(x+1)2+(y+1)2=2,而拋物線y2=8x的準線方程為x=-2,此時圓心(-1,-1)到準線的距離為1,故所截弦長為2=2. 3.C　解析 由題意可得拋物線焦點F(1,0),準線方程為x=-1. 當直線l的斜率大于0時,如圖,過A,B兩點分別向準線x=-1作垂線,垂足分別為M,N,則由拋物線定義可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|. 設(shè)|AM|=|AF|=3t(t>0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2, 在△AMK中,由,得, 解得x=2t,則cos∠NBK=, ∴∠NBK=60°,則∠GF

8、K=60°,即直線AB的傾斜角為60°. ∴斜率k=tan 60°=,故直線方程為y=(x-1). 當直線l的斜率小于0時,如圖,同理可得直線方程為y=-(x-1),故選C. 4.　解析 雙曲線的漸近線為y=±x.由得A. 由 得B. ∵F為△OAB的垂心, ∴kAF·kOB=-1,即=-1, 解得, ∴,即可得e=. 5.解 (1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0). 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2). 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. Δ=16k2+16>0,故x1+x2=. 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1

9、+1)+(x2+1)=; 由題設(shè)知=8,解得k=-1(舍去),k=1. 因此l的方程為y=x-1. (2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5. 設(shè)所求圓的圓心坐標為(x0,y0),則 解得 因此所求圓的方程為 (x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144. 6.(1)解 設(shè)橢圓C的方程為=1(a>b>0). 由題意得解得c=. 所以b2=a2-c2=1. 所以橢圓C的方程為+y2=1. (2)證明 設(shè)M(m,n),則D(m,0),N(m,-n). 由題設(shè)知m≠±2,且n≠0

10、. 直線AM的斜率kAM=, 故直線DE的斜率kDE=-. 所以直線DE的方程為y=-(x-m),直線BN的方程為y=(x-2). 聯(lián)立 解得點E的縱坐標yE=-. 由點M在橢圓C上,得4-m2=4n2. 所以yE=-n. 又S△BDE=|BD|·|yE|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|, 所以△BDE與△BDN的面積之比為4∶5. 7.解 (1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0), 則=1,=1,=-1, 由此可得=-=1. 因為x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,,所以a2=2b2. 又由題意知,M的右焦點為(,0),所以

11、a2-b2=3. 所以a2=6,b2=3. 所以M的方程為=1. (2)由解得因此|AB|=. 由題意可設(shè)直線CD的方程為y=x+n, 設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4). 由得3x2+4nx+2n2-6=0. 于是x3,4=. 因為直線CD的斜率為1, 所以|CD|=|x4-x3|=. 由已知,四邊形ACBD的面積S=|CD|·|AB|=. 當n=0時,S取得最大值,最大值為. 所以四邊形ACBD面積的最大值為. 8.解 (1)設(shè)橢圓的方程為=1(a>b>0), 由已知可得△ADB的面積的最大值為·2a·b=ab=. ① ∵F(1,0)為橢圓右焦點, ∴a2

12、=b2+1. ② 由①②可得a=,b=1, 故橢圓C的方程為+y2=1. (2)過點E取兩條分別垂直于x軸和y軸的弦M1N1,M2N2, 則, 即,解得x0=, ∴E若存在必為,定值為3. 證明如下: 設(shè)過點E的直線方程為x=ty+,代入C中得(t2+2)y2+ty-=0. 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2), 則y1+y2=-=-,y1y2=-, = = ==3. 綜上得定點為E,定值為3. 二、思維提升訓練 9.證明 (1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則=1,=1. 兩式相減,并由=k得·k=0. 由題設(shè)知=1,=m,于是k=-. 由題

13、設(shè)得0b>0)過點P, 故=1,解得b2=1. 所以橢圓E的方程是+y2=1. (2)證明 設(shè)直線l的方程為y=x+m(m≠0),A(x1,y1

14、),B(x2,y2), 由方程組得x2+2mx+2m2-2=0, ① 方程①的判別式為Δ=4(2-m2). 由Δ>0,即2-m2>0,解得-

15、心率為,兩準線之間的距離為8, 所以=8,解得a=2,c=1,于是b=,因此橢圓E的標準方程是=1. (2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0). 設(shè)P(x0,y0),因為P為第一象限的點,故x0>0,y0>0. 當x0=1時,l2與l1相交于F1,與題設(shè)不符. 當x0≠1時,直線PF1的斜率為,直線PF2的斜率為. 因為l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直線l1的斜率為-,直線l2的斜率為-, 從而直線l1的方程:y=-(x+1), ① 直線l2的方程:y=-(x-1). ② 由①②,解得x=-x0,y=, 所以Q. 因為點Q在橢圓上,由對稱性,得=±y0, 即=1或=1. 又P在橢圓E上,故=1. 由解得x0=,y0=無解.因此點P的坐標為.