（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學 第三章 空間向量與立體幾何 3.2 第1課時 用空間向量解決立體幾何中的平行問題學案 新人教A版選修2-1

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1、 第1課時　用空間向量解決立體幾何中的平行問題 學習目標　1.了解空間點、線、面的向量表示.2.理解直線的方向向量與平面的法向量的意義，并會求平面的法向量.3.能用向量法證明直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行問題． 知識點一　直線的方向向量與平面的法向量 (1)用向量表示直線的位置 條件 直線l上一點A 表示直線l方向的向量a(即直線的方向向量) 形式 在直線l上?。絘，那么對于直線l上任意一點P，一定存在實數(shù)t，使得＝t 作用 定位置 點A和向量a可以確定直線的位置 定點 可以具體表示出l上的任意一點 (2)用向量表示平面的位置 ①通過平面α上的

2、一個定點O和兩個向量a和b來確定： 條件 平面α內兩條相交直線的方向向量a，b和交點O 形式 對于平面α上任意一點P，存在有序實數(shù)對(x，y)使得＝xa＋yb ②通過平面α上的一個定點A和法向量來確定： 平面的法向量 直線l⊥α，直線l的方向向量，叫做平面α的法向量 確定平面位置 過點A，以向量a為法向量的平面是完全確定的 (3)直線的方向向量和平面的法向量 直線的方向向量 能平移到直線上的非零向量a，叫做直線l的一個方向向量 平面的法向量 直線l⊥α，取直線l的方向向量n，叫做平面α的法向量 知識點二　平面的法向量及其求法 在空間直角坐標系下，

3、求平面的法向量的一般步驟： (1)設平面的法向量為n＝(x，y，z)； (2)找出(求出)平面內的兩個不共線的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)； (3)根據(jù)法向量的定義建立關于x，y，z的方程組 (4)解方程組，取其中的一組解，即得平面的一個法向量． 知識點三　用空間向量處理平行關系 設直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為μ，v，則 線線平行 l∥m?a∥b?a＝kb(k∈R) 線面平行 l∥α?a⊥μ?a·μ＝0 面面平行 α∥β?μ∥v?μ＝kv(k∈R) . (1)若兩條直線平行，則它們的方向向量的方向相同或相反

4、．(√) (2)兩直線的方向向量平行，則兩直線平行；兩直線的方向向量垂直，則兩直線垂直．(×) (3)若向量n1，n2為平面的法向量，則以這兩個向量為方向向量的直線一定平行．(×) (4)若平面外的一條直線的方向向量與平面的法向量垂直，則該直線與平面平行．(√) (5)若直線l1，l2的方向向量分別為a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，則l1⊥l2.(√) 類型一　求平面的法向量 例1　已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，試求出平面ABC的一個法向量． 考點　直線的方向向量與平面的法向量 題點　求平面的法向量 解

5、　設平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)． ∵A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)， ∴＝(－2,1,3)，＝(1，－1,0)． 則有即 解得令z＝1，則x＝y(tǒng)＝3. 故平面ABC的一個法向量為n＝(3,3,1)． 反思與感悟　利用方程的思想求解平面的法向量，注意一個平面的法向量不是唯一的，它有無數(shù)個，它們是共線的． 跟蹤訓練1　如圖所示，在四棱錐S－ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求平面SCD與平面SBA的一個法向量． 考點　直線的方向向量與平面的法向量

6、 題點　求平面的法向量 解　以A為坐標原點，AD，AB，AS所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz， 則A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)， 則＝，＝. 向量＝是平面SAB的一個法向量． 設n＝(x，y，z)為平面SDC的一個法向量， 則 即 取x＝2，得y＝－1，z＝1， 故平面SDC的一個法向量為(2，－1,1)． 類型二　利用空間向量證明平行問題 例2　已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點，求證： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F. 考點

7、　直線的方向向量與平面的法向量 題點　求平面的法向量 證明　(1)以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系Dxyz，則有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,0,1)，B1(2,2,2)， 所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)． 設n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量， 則n1⊥，n1⊥， 即得 令z1＝2，則y1＝－1， 所以n1＝(0，－1,2)． 因為·n1＝－2＋2＝0， 所以⊥n1. 又因為FC1?平面ADE， 所

8、以FC1∥平面ADE. (2)因為＝(2,0,0)，設n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個法向量．由n2⊥，n2⊥， 得得 令z2＝2，得y2＝－1， 所以n2＝(0，－1,2)， 因為n1＝n2， 所以平面ADE∥平面B1C1F. 反思與感悟　利用向量證明平行問題，可以先建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量和平面的法向量，然后根據(jù)向量之間的關系證明平行問題． 跟蹤訓練2　如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為45°，底面ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1，問在棱PD上是否存在一點E，使CE∥平面P

9、AB？若存在，求出E點的位置；若不存在，請說明理由． 考點　直線的方向向量與平面的法向量 題點　求平面的法向量 解　存在點E使CE∥平面PAB. 以A為坐標原點，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Axyz， ∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)， 設E(0，y，z)，則＝(0，y，z－1)， ＝(0,2，－1)， ∵∥，∴y(－1)－2(z－1)＝0，① ∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量， 又＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB， ∴⊥，∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0. ∴y＝1，代入①得z＝，

10、∴E是PD的中點， ∴存在E點，當點E為PD中點時，CE∥平面PAB. 1．已知l1的方向向量為v1＝(1,2,3)，l2的方向向量為v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，則λ等于(　　) A．1B．2C．3D．4 考點　直線的方向向量與平面的法向量 題點　求直線的方向向量 答案　B 解析　由l1∥l2，得v1∥v2，得＝＝，故λ＝2. 2．已知直線l1，l2的方向向量分別為a，b，且a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若l1∥l2，則λ與μ的值可以分別是(　　) A．2，B．－，C．－3,2D．2,2 考點　直線的方向向量與平面的法向量 題點　求直線的

11、方向向量 答案　A 解析　由題意知解得或 3．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，則直線l的一個方向向量為(　　) A．(1,2,3) B．(1,3,2) C．(2,1,3) D．(3,2,1) 考點　直線的方向向量與平面的法向量 題點　求直線的方向向量 答案　A 解析　因為＝(2,4,6)，所以與共線的非零向量都可以作為直線l的方向向量． 4．若直線l∥α，且l的方向向量為(2，m,1)，平面α的法向量為，則m為(　　) A．－4B．－6C．－8D．8 考點　直線的方向向量與平面的法向量 題點　求直線的方向向量 答案　C 解析　∵l∥α

12、，平面α的法向量為， ∴(2，m,1)·＝0， ∴2＋m＋2＝0，∴m＝－8. 5．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面ACD1的一個法向量為________． 考點　直線的方向向量與平面的法向量 題點　求平面的法向量 答案　(1,1,1)(答案不唯一) 解析　不妨設正方體的棱長為1，以點D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Dxyz，則A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)， 設平面ACD1的一個法向量a＝(x，y，z)， 則a·＝0, a·＝0. 因為＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)， 所以 所

13、以所以不妨取x＝1， 則a＝(1,1,1)． (注：答案不唯一，只要與所給答案共線都對) 1．應用向量法證明線面平行問題的方法 (1)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直． (2)證明直線的方向向量與平面內的某一直線的方向向量共線． (3)證明直線的方向向量可用平面內的任兩個不共線的向量表示．即用平面向量基本定理證明線面平行． 2．證明面面平行的方法 設平面α的法向量為n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量為n2＝(a2，b2，c2)，則α∥β?n1∥n2?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)． 一、選擇題 1．若直線l的方向向量為a，平面α的

14、法向量為μ，則能使l∥α的是(　　) A．a＝(1,0,0)，μ＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，μ＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，μ＝(－1,0,1) D．a＝(1，－1,3)，μ＝(0,3,1) 考點　直線的方向向量與平面的法向量 題點　求直線的方向向量 答案　D 解析　由l∥α，故a⊥μ，即a·μ＝0，故選D. 2．已知直線l1的方向向量a＝(2，－3,5)，直線l2的方向向量b＝(－4，x，y)，若兩直線l1∥l2，則x，y的值分別是(　　) A．6和－10 B．－6和10 C．－6和－10 D．6和10 考點　直線的方向向量與平面的法向量

15、 題點　求直線的方向向量 答案　A 解析　由兩直線l1∥l2，得兩向量a，b平行，即＝＝，所以x，y的值分別是6和－10. 3．直線l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的一個法向量為n＝(2，x2＋x，－x)，若直線l∥α，則x的值為(　　) A．－2B．－C.D．± 考點　直線的方向向量與平面的法向量 題點　求平面的法向量 答案　D 解析　依題意得，－1×2＋1×(x2＋x)＋1×(－x)＝0， 解得x＝±. 4．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則平面ABC的一個單位法向量是(　　) A. B. C. D. 考點　直線的方向

16、向量與平面的法向量 題點　求平面的法向量 答案　D 解析?。?－1,1,0)，＝(－1,0,1)． 設平面ABC的一個法向量為n＝(x，y，z)． ∵　∴ 令x＝1，則y＝1，z＝1，∴n＝(1,1,1)， 單位法向量為或. 5．設直線l的方向向量為a，平面α的法向量為b，若a·b＝0，則(　　) A．l∥α B．l?α C．l⊥α D．l?α或l∥α 考點　直線的方向向量與平面的法向量 題點　求直線的方向向量 答案　D 解析　當a·b＝0時，l?α或l∥α. 6．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，則λ的值是(　　)

17、 A．－B．6C．－6D. 考點　直線的方向向量與平面的法向量 題點　求平面的法向量 答案　B 解析　∵α∥β，∴α的法向量與β的法向量也互相平行． ∴＝＝，∴λ＝6. 7．已知平面α內兩向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c為平面α的法向量，則m，n的值分別為(　　) A．－1,2 B．1，－2 C．1,2 D．－1，－2 考點　直線的方向向量與平面的法向量 題點　求平面的法向量 答案　A 解析　c＝ma＋nb＋(4，－4,1)＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，

18、 由c為平面α的法向量，得即 解得 二、填空題 8．若A，B，C是平面α內三點，設平面α的法向量為a＝(x，y，z)，則x∶y∶z＝________. 考點　直線的方向向量與平面的法向量 題點　求平面的法向量 答案　2∶3∶(－4) 解析　由已知得，＝， ＝， ∵a是平面α的一個法向量，∴a·＝0，a·＝0， 即解得 ∴x∶y∶z＝y(tǒng)∶y∶＝2∶3∶(－4)． 9．已知l∥α，且l的方向向量為m＝(2，－8,1)，平面α的法向量為n＝(1，y,2)，則y＝________. 考點　直線的方向向量與平面的法向量 題點　求平面的法向量 答案　 解析　∵l∥α，∴l(xiāng)

19、的方向向量m＝(2，－8,1)與平面α的法向量n＝(1，y,2)垂直，∴2×1－8×y＋2＝0，∴y＝. 10．設平面α的法向量為m＝(1,2，－2)，平面β的法向量為n＝(－2，－4，k)，若α∥β，則k＝________. 考點　直線的方向向量與平面的法向量 題點　求平面的法向量 答案　4 解析　由α∥β得＝＝，解得k＝4. 三、解答題 11．已知平面α經過點A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，試求平面α的一個法向量． 考點　直線的方向向量與平面的法向量 題點　求平面的法向量 解　∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)， ∴＝

20、(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)． 設平面α的法向量是n＝(x，y，z)， 依題意有即 解得令y＝1，則x＝2， ∴平面α的一個法向量是n＝(2,1,0)． 12.如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，求平面ACE的一個法向量． 考點　直線的方向向量與平面的法向量 題點　求平面的法向量 解　因為PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形， 所以AB，AD，AP兩兩垂直． 如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Axyz，則D(

21、0，，0)， E，B(1,0,0)， C(1，，0)， 于是＝，＝(1，，0)． 設n＝(x，y，z)為平面ACE的法向量， 則即 所以 令y＝－1，則x＝z＝. 所以平面ACE的一個法向量為n＝(，－1，)． 13．已知空間四邊形ABCD，P，Q分別是△ABC和△BCD的重心，求證：PQ∥平面ACD. 考點　直線的方向向量與平面的法向量 題點　求平面的法向量 證明　如圖，連接AP并延長交BC于點E，連接ED，易知Q在線段ED上， ∵P，Q分別是△ABC和△BCD的重心， ∴＝－ ＝－＝(－)＝， ∴∥，即PQ∥AD， 又AD?平面ACD，PQ?平面ACD，

22、 ∴PQ∥平面ACD. 四、探究與拓展 14．已知直線l過點P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α過直線l與點M(1,2,3)，則平面α的法向量不可能是(　　) A．(1，－4,2) B. C. D．(0，－1,1) 考點　直線的方向向量與平面的法向量 題點　求平面的法向量 答案　D 解析　因為＝(0,2,4)，直線l平行于向量a，若n是平面α的一個法向量，則必須滿足把選項代入驗證，只有選項D不滿足，故選D. 15.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AA1＝4，AD＝5.求證：平面A1BD∥平面B1D1C. 考點　直線的方向向量

23、與平面的法向量 題點　求平面的法向量 證明　如圖，以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸， z軸，建立空間直角坐標系Dxyz， 則D(0,0,0)，A1(5,0,4)， B(5,3,0)，D1(0,0,4)， B1(5,3,4)，C(0,3,0)， ∴＝(－5,0，－4)， ＝(0,3，－4)， ＝(0,3，－4)，＝(－5,0，－4)． 設平面A1BD的一個法向量為m＝(x，y，z)， 則即 取z＝1，得x＝－，y＝，則m＝. 設平面B1D1C的一個法向量為n＝(a，b，c)， 則得n＝. ∵m＝n，即m∥n，∴平面A1BD∥平面B1D1C. 12