2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1篇 專題7 解析幾何 第3講 第1課時 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及證明問題學(xué)案

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1篇 專題7 解析幾何 第3講 第1課時 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及證明問題學(xué)案 考向一　直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題 【典例】 (2018·合肥三模)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，以拋物線上一動點(diǎn)M為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)F.若圓M的面積最小值為π． (1)求p的值； (2)當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1且位于第一象限時，過M作拋物線的兩條弦MA，MB，且滿足∠AMF＝∠BMF. 若直線AB恰好與圓M相切，求直線AB的方程． [思路分析] 總體 設(shè)計 看到：求p的值，想到：建立關(guān)于p的方程求解． 看到：求直線的方程，想到：求出直線斜率后設(shè)出直線的斜

2、截式方程，待定系數(shù)法求解． 解題 指導(dǎo) (1)由拋物線的性質(zhì)知，當(dāng)圓心M位于拋物線的頂點(diǎn)時，圓M的面積最小，由＝π可得p的值； (2)依橫坐標(biāo)相等可得，MF⊥x軸，kMA＋kMB＝0，設(shè)kMA＝k(k≠0)，則直線MA的方程為y＝k(x－1)＋2，代入拋物線的方程得，利用韋達(dá)定理求出A的坐標(biāo)，同理求出B的坐標(biāo)，求出AB的斜率為定值－1，設(shè)直線AB的方程為y＝－x＋m，由圓心到直線的距離等于半徑，列方程解得m＝3±2，從而可得直線AB的方程. [規(guī)范解答]　(1)由拋物線的性質(zhì)知，當(dāng)圓心M位于拋物線的頂點(diǎn)時，圓M的面積最小， 1分 此時圓的半徑為|OF|＝，∴＝π，解得p＝2

3、． 3分 (2)依題意得，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2)，圓M的半徑為2.由F(1，0)知，MF⊥x軸. 4分 由∠AMF＝∠BMF知，弦MA，MB所在直線的傾斜角互補(bǔ)，∴kMA＋kMB＝0. 5分 設(shè)kMA＝k(k≠0)，則直線MA的方程為y＝k(x－1)＋2，∴x＝(y－2)＋1， 6分 代入拋物線的方程得y2＝4， ∴y2－y＋－4＝0， 7分 ∴yA＋2＝，yA＝－2. 8分 將k換成－k，得yB＝－－2， 9分 ∴kAB＝＝＝＝＝－1． 10分 設(shè)直線AB的方程為y＝－x＋m，即x＋y－m＝0． 由直線AB與圓M相切得，＝2，解得m＝3±2. 11分 經(jīng)檢驗(yàn)m＝3

4、＋2不符合要求，故m＝3＋2舍去． ∴所求直線AB的方程為y＝－x＋3－2. 12分 [技法總結(jié)]　解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的步驟 (1)設(shè)方程及點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組，消元得方程(注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為零) ； (3)應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及判別式； (4)結(jié)合已知條件、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率公式及弦長公式求解． [變式提升] 1．(2018·佛山二模)已知直線l過點(diǎn)P(2,0)，且與拋物線T：y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A在第四象限，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)當(dāng)A是PC中點(diǎn)時，求直線l的方程； (2)以AB為直徑的圓交直線OB于點(diǎn)D

5、，求|OB|·|OD|的值． 解　(1)因?yàn)锳是PC中點(diǎn)，P(2,0)，點(diǎn)C在y軸上， 所以A的橫坐標(biāo)x＝1，代入y2＝4x得，y＝±2， 又點(diǎn)A在第四象限，所以A的坐標(biāo)為(1，－2)， 所以直線AP即直線l的方程為y＝2x－4． (2)顯然直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為 x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 又B，O，D三點(diǎn)共線， 則可設(shè)D為(λx2，λy2)(λ≠1且λ≠0)， 聯(lián)立方程化簡得到y(tǒng)2－4my－8＝0， 由韋達(dá)定理得y1·y2＝－8， 又A，B在y2＝4x上，所以x1·x2＝4， 因?yàn)镈在以AB為直徑的圓上， 所以⊥，即·＝0，

6、 又＝(λx2－x1，λy2－y1)，＝(λx2，λy2)， 所以(λx2－x1)(λx2)＋(λy2－y1)(λy2)＝0， 即λ(x＋y)＝－4， 所以|OB|·|OD|＝|λ||OB|2＝|λ|(x＋y)＝4． 考向二　圓錐曲線中的證明問題 【典例】 已知橢圓C的兩個頂點(diǎn)分別為A(－2,0)，B(2,0)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為． (1)求橢圓C的方程； (2)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，過D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4∶5． (1)解　設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a＞b＞0)． 由題意得解得c＝．

7、 所以b2＝a2－c2＝1． 所以橢圓C的方程為＋y2＝1． (2)證明　設(shè)M(m，n)，則D(m,0)，N(m，－n)． 由題設(shè)知m≠±2，且n≠0． 直線AM的斜率kAM＝， 故直線DE的斜率kDE＝－． 所以直線DE的方程為y＝－(x－m)． 直線BN的方程為y＝(x－2)． 聯(lián)立 解得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)yE＝－． 由點(diǎn)M在橢圓C上，得4－m2＝4n2，所以yE＝－n． 又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|， S△BDN＝|BD|·|n|， 所以△BDE與△BDN的面積之比為4∶5． [技法總結(jié)]　圓錐曲線證明問題的類型及求解策略 (1)圓錐曲線中的

8、證明問題，主要有兩類：一是證明點(diǎn)、直線、曲線等幾何元素中的位置關(guān)系，如：某點(diǎn)在某直線上、某直線經(jīng)過某個點(diǎn)、某兩條直線平行或垂直等；二是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系(相等或不等)． (2)解決證明問題時，主要根據(jù)直線與圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等，通過相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計算等進(jìn)行證明． [變式提升] 2．(2018·大慶二模)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距為2，且C過點(diǎn)． (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)B1、B2分別是橢圓C的下頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，P是橢圓上異于B1、B2的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥y軸于M，N為線段PM的中點(diǎn)，直線B2

9、N與直線y＝－1交于點(diǎn)D，E為線段B1D的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． 求證：ON⊥EN． (1)解　由題設(shè)知焦距為2，所以c＝． 又因?yàn)闄E圓過點(diǎn)， 所以代入橢圓方程得＋＝1， 因?yàn)閍2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1， 故所求橢圓C的方程是＋y2＝1． (2)證明　設(shè)P(x0，y0)，x0≠0，則M(0，y0)，N． 因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以＋y＝1.即x＝4－4y． 又B2(0,1)，所以直線B2N的方程為y－1＝x． 令y＝－1，得x＝，所以D． 又B1(0，－1)，E為線段B1D的中點(diǎn)， 所以E. 所以＝， ＝． 因·＝＋y0(y0＋1) ＝－＋y＋y0 ＝1－＋y0＝1－y0－1＋y0＝0， 所以⊥， 即ON⊥EN．