2022高中數(shù)學(xué) 第2章 數(shù)列 2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和學(xué)案 蘇教版必修5

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1、2022高中數(shù)學(xué) 第2章 數(shù)列 2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和學(xué)案 蘇教版必修5一、考點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)課標(biāo)要求題型說(shuō)明等差數(shù)列的前n項(xiàng)和1. 掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式，并能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題；2. 體會(huì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)間的關(guān)系選擇題填空題等差數(shù)列前n項(xiàng)和還要注意兩點(diǎn)：公式推導(dǎo)的方法和函數(shù)的思想二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn)：運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式解決一些問(wèn)題。難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)間的關(guān)系?？键c(diǎn)一：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及推導(dǎo)（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Snna1（2） 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)：Sna1a2an，Snanan1a1，2Sn（a1an）（a2an1）（an

2、a1），n（a1an），Snn（a1an）這種推導(dǎo)方法稱(chēng)為倒序求和法。 【核心突破】（1）由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式可知，若已知a1、d、n、an、Sn中三個(gè)便可求出其余兩個(gè)，即“知三求二”?！爸蠖钡膶?shí)質(zhì)是方程思想，即建立方程組求解。（2）在運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式來(lái)求和時(shí)，一般地，若已知首項(xiàng)a1及末項(xiàng)an用公式Sn較方便；若已知首項(xiàng)a1及公差d用公式Snna1d較好。（3）在運(yùn)用公式Sn求和時(shí)，要注意性質(zhì)“設(shè)m、n、p、q均為正整數(shù)，若mnpq，則amanapaq”的運(yùn)用。（4）在求和時(shí)除了直接用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和（即已知數(shù)列是等差數(shù)列）外，還要注意創(chuàng)設(shè)運(yùn)用公式條件（

3、即將非等差數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問(wèn)題），以利于求和?？键c(diǎn)二：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)數(shù)列an為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，則有如下性質(zhì)：（1）Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差數(shù)列，公差為m2d。（2）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n（nN*），則S偶S奇nd，。（3）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1（nN*），則S奇S偶an1，。（4）若an、bn均為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，則?？键c(diǎn)三：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值解決等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值的基本思想是利用前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題，即：（1）二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)的最值的方法來(lái)求前n項(xiàng)和的最值，但要注意的是：。（2）圖象法：利用二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性來(lái)確定的值

4、，使取最值。（3）通項(xiàng)法：當(dāng)時(shí)，為使成立的最大的自然數(shù)時(shí)，最大。這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)，即遞增；當(dāng)時(shí)，即遞減。類(lèi)似的，當(dāng)時(shí)，則為使成立的最大的自然數(shù)時(shí)，最小。例題1（等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用）在等差數(shù)列an中，前n項(xiàng)和為Sn。（1）已知S848，S12168，求a1和d；（2）已知a610，S55，求a8和S8；（3）已知a3a1540，求S17。思路分析：（1）利用前n項(xiàng)和公式，建立關(guān)于a1、d的方程組，解方程組求a1、d；（2）根據(jù)前n項(xiàng)和公式求a1、d，再求a8和S8；（3）先根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求a1a17，再求S17。答案：（1）由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，得 解得（2）a6S6S5，S6S5a

5、615，615，即3（a110）15，a15，d3，a8a62d16，S8844；（3）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有a3a15a1a1740，S17340。技巧點(diǎn)撥：1. 本題第（3）問(wèn)看似缺少條件，但注意到a3a15與a1a17的聯(lián)系，便可以很容易地求出結(jié)果，所以應(yīng)注意各元素之間的某些特殊聯(lián)系。2. 對(duì)于兩個(gè)求和公式Sn和Snna1，要根據(jù)題目的已知條件靈活選用。例題2（等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值）已知等差數(shù)列an中，a113且S3S11，那么n取何值時(shí)，Sn取得最大值？并求出Sn的最大值。思路分析：先根據(jù)前n項(xiàng)和公式求公差d，再求出Sn的表達(dá)式，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在N*上的最值問(wèn)題；也可求出公差d后，利

6、用通項(xiàng)公式an的符號(hào)解決。答案：方法一設(shè)公差為d，由S3S11得313d1113d，d2，又a113，Snn2（a1）nn214n（n7）249，當(dāng)n7時(shí)，Sn取得最大值，最大值是S749；方法二同方法一得d2，an132（n1）152n，由 即解得6.5n7.5，當(dāng)n7時(shí)，Sn取得最大值，Sn的最大值是S749；方法三同方法一得d2又由S3S11知a4a5a6a7a8a9a10a114（a7a8）0，a1130，a70，a80，知數(shù)列的前7項(xiàng)和最大，S7713（2）49。技巧點(diǎn)撥：1. 本題中方法一利用二次函數(shù)的最值確定n值；方法二利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式確定n值；方法三利用等差數(shù)列的性質(zhì)，由

7、條件本身的特點(diǎn)確定n值。2. 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值的常見(jiàn)方法：（1）方法一：利用通項(xiàng)公式確定n值若a10，d0，則Sn有最大值，n可由不等式組來(lái)確定；若a10，d0，則Sn有最小值，n可由不等式組來(lái)確定。（2）方法二：利用二次函數(shù)的最值確定n值等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)d0時(shí)，點(diǎn)（n，Sn）是二次函數(shù)yax2bx（a0）上的間斷點(diǎn)，因此可利用二次函數(shù)的最值確定n值。一類(lèi)與等差數(shù)列有關(guān)的含絕對(duì)值的數(shù)列的求和【滿分訓(xùn)練】已知數(shù)列為等差數(shù)列，求思路分析：所求和中關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，故根據(jù)的正負(fù)去掉絕對(duì)值。先確定各項(xiàng)的正負(fù)，再根據(jù)正負(fù)去掉絕對(duì)值，然后求和。答案：由于有正也有負(fù)，當(dāng)0時(shí)，；當(dāng)0時(shí)，。當(dāng)0時(shí)，所以技巧點(diǎn)撥：這類(lèi)數(shù)列的求和問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)是未考慮的情形，或者考慮了，但認(rèn)為它是一個(gè)常數(shù)。