2022高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步 第二節(jié) 圓與方程2 直線與圓的位置關(guān)系學(xué)案 蘇教版必修2

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1、2022高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步 第二節(jié) 圓與方程2 直線與圓的位置關(guān)系學(xué)案 蘇教版必修2 一、考點(diǎn)突破 知識點(diǎn) 課標(biāo)要求 題型 說明 直線與圓的位置關(guān)系 1. 掌握直線與圓的位置關(guān)系的兩種判定方法； 2. 能利用圓心到直線的距離、半弦長、圓的半徑三者之間的關(guān)系，解有關(guān)弦長的問題； 3. 理解一元二次方程根的判定及根與系數(shù)關(guān)系，并能利用它們解一些簡單的直線與圓的關(guān)系問題 選擇題 填空題 本節(jié)課的核心是“如何用‘?dāng)?shù)’的關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系”，學(xué)會從不同角度分析思考問題，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。為此，可類比直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，讓學(xué)生認(rèn)識到用解析法解

2、決平面幾何問題的優(yōu)越性；同時(shí)滲透了“數(shù)形結(jié)合”的思想方法 二、重難點(diǎn)提示 重點(diǎn)：掌握用幾何法和解析法判斷直線與圓的位置關(guān)系；能用直線與圓的方程解決一些簡單的實(shí)際問題。 難點(diǎn)：靈活地運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”、解析法來解決直線與圓的相關(guān)問題。 考點(diǎn)一：直線與圓的位置關(guān)系及判斷方法 直線Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）與圓（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）的位置關(guān)系及判斷方法。 位置關(guān)系 相交 相切 相離 公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 兩個(gè) 一個(gè) 零個(gè) 幾何法：設(shè)圓心到直線的距離 d＝ d＜r d＝r d＞r 代數(shù)法：由 消元得到一元二次方程，判別式為Δ Δ＞

3、0 Δ＝0 Δ＜0 圖形 考點(diǎn)二：直線與圓相交時(shí)弦長的求法 設(shè)直線與圓C交于兩點(diǎn)，設(shè)弦心距為，圓半徑為，弦長為，則有 ，即。 考點(diǎn)三：直線與圓相切時(shí)切線的求法 1. 求斜率為（為常數(shù)）的切線方程 設(shè)切線的方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑列出方程求。 2. 求過一點(diǎn)的圓的切線方程 首先判斷這點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，看點(diǎn)在圓外還是圓上。 ① 若點(diǎn)在圓上，則連接圓心和該點(diǎn)的直線與切線垂直，利用垂直關(guān)系確定切線的斜率，從而確定切線方程；若切線的斜率不存在，其切線方程也確定了。 ② 若點(diǎn)在圓外，求切線時(shí)常用以下方法： A. 設(shè)切線斜率，寫出切線方程，利用

4、判別式等于零求斜率； B. 設(shè)切線斜率，利用圓心到直線的距離等于半徑求斜率； C. 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，則利用切線方程來求解。 例題1 （直線與圓位置關(guān)系的判斷） 如圖所示，已知直線l：y＝kx＋5與圓C：（x－1）2＋y2＝1。 （1）當(dāng)k為何值時(shí)，直線l與圓C相交？ （2）當(dāng)k為何值時(shí)，直線l與圓C相切？ （3）當(dāng)k為何值時(shí)，直線l與圓C相離？ 思路分析：思路一：聯(lián)立l及C的方程一元二次方程直線與圓的關(guān)系； 思路二：求圓心到直線l的距離d―→比較d與半徑1的大小下結(jié)論。 答案：方法一　由，消去y，得（x－1）2＋（kx＋5）2＝1， 即（k2＋1）x2＋（10k－

5、2）x＋25＝0， 則Δ＝（10k－2）2－4×25（k2＋1）＝－96－40k。 （1）當(dāng)Δ>0，即k<－時(shí)，直線l與圓C相交。 （2）當(dāng)Δ＝0，即k＝－時(shí)，直線l與圓C相切。 （3）當(dāng)Δ<0，即k>－時(shí)，直線l與圓C相離。 方法二　圓C的圓心C（1，0），半徑r＝1，由點(diǎn)到直線的距離公式得圓心C到直線l的距離d＝。 （1）當(dāng)<1，即k<－時(shí)，直線l與圓C相交。 （2）當(dāng)＝1，即k＝－時(shí)，直線l與圓C相切。 （3）當(dāng)>1，即k>－時(shí)，直線l與圓C相離。 技巧點(diǎn)撥：直線與圓位置關(guān)系判斷的三種方法 （1）幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷。 （2）代數(shù)

6、法：根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)來判斷。 （3）直線系法：若直線恒過定點(diǎn)，可通過判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷，但有一定的局限性，必須是過定點(diǎn)的直線系。 例題2 （直線與圓的相交弦問題） 求直線l：3x＋y－6＝0被圓C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦長。 思路分析：方程組→解出交點(diǎn)坐標(biāo)→兩點(diǎn)間距離即弦長或方程組→得x1＋x2與x1·x2 →弦長公式求弦長或圓心到直線的距離→構(gòu)造直角三角形求弦長。 答案：方法一　由， 得交點(diǎn)A（1，3），B（2，0）， ∴弦AB的長為AB＝＝。 方法二　由 消去y得x2－3x＋2＝0。 設(shè)兩交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（x1，y1）

7、、B（x2，y2） 則由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝3，x1·x2＝2。 ∴|AB|＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝， 即弦AB的長為。 方法三　圓C：x2＋y2－2y－4＝0可化為x2＋（y－1）2＝5，其圓心坐標(biāo)（0，1），半徑r＝，點(diǎn)（0，1）到直線l的距離為d＝＝，所以半弦長為＝＝ ＝， 所以弦長AB＝。 技巧點(diǎn)撥： 對于弦長問題，常利用第三種方法，即利用半弦長、弦心距、半徑構(gòu)成的直角三角形，通過數(shù)形結(jié)合，利用勾股定理來求解。 　 忽略直線斜率不存在的情況致誤 例題 已知圓M：（x－1）2＋（y－1）2＝4，直線a過點(diǎn)P（2，3）且與圓M交于A，B兩點(diǎn)，且AB

8、＝2，求直線a的方程。 【錯(cuò)解】設(shè)直線a的方程為y－3＝k（x－2），即kx－y＋3－2k＝0。 如圖所示，作MC⊥AB于C，在直角三角形MBC中， BC＝，MB＝2，MC＝＝1， 由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)M（1，1）到直線a的距離為＝1， 解得k＝， 所以直線a的方程為3x－4y＋6＝0。 【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解忽略了直線a的斜率不存在的情況。 【防范措施】點(diǎn)斜式方程并不能表示出斜率不存在的情況，故在求直線方程時(shí)，若設(shè)點(diǎn)斜式方程，根據(jù)條件求得斜率后，應(yīng)注意驗(yàn)證斜率不存在的情況是否滿足題意。本題就是忽略了斜率不存在的特殊情況而出錯(cuò)的。 【正解】①當(dāng)直線a的斜率存在時(shí)，設(shè)直線a的方程為y－3＝k（x－2），即kx－y＋3－2k＝0。 如圖所示，作MC⊥AB于C，在直角三角形MBC中， BC＝，MB＝2，MC＝＝1， 由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)M（1，1）到直線a的距離為＝1， 解得k＝， 所以直線a的方程為3x－4y＋6＝0。 ②當(dāng)直線a的斜率不存在時(shí)，其方程為x＝2， 圓心到此直線的距離也是1，所以符合題意。 綜上，直線a的方程為3x－4y＋6＝0或x＝2。