2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題 文(II)

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1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題 文(II) 　 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．已知集合M={x|x2+x﹣2＜0}，，則M∩N=（　?。? 　 A． （﹣1，1） B． （﹣2，1） C． （﹣2，﹣1） D． （1，2） 　 2．已知i是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)z1=1﹣3i，z2=3﹣2i，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（　?。? 　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 　 3．已知向量，的夾角為45°，且||=1，|2﹣|=，則||=（　?。? 　 A． B． 2 C．

2、3 D． 4 　 4．已知sinθ+cosθ=（0＜θ＜），則sinθ﹣cosθ的值為（　?。? 　 A． B． C． D． 　 5．已知等差數(shù)列{an}的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2等于（　?。? 　 A． ﹣10 B． ﹣8 C． ﹣6 D． ﹣4 　 6．下列命題錯誤的是（　?。? 　 A． 命題“若x2＜1，則﹣1＜x＜1”的逆否命題是若x≥1或x≤﹣1，則x2≥1 　 B． “am2＜bm2”是”a＜b”的充分不必要條件 　 C． 命題p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，則￢p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0 　 D． 命題“p或

3、q”為真命題，則命題“p”和命題“q”均為真命題 　 7．已知三棱錐的底面是邊長為1的正三角形，其正視圖與俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為（　?。? 　 A． B． C． D． 　 8．為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個橋位樁A，B（如圖），要測算A，B兩點的距離，測量人員在岸邊定出基線BC，測得BC=50m，∠ABC=105°，∠BCA=45°，就可以計算出A，B兩點的距離為（　?。? 　 A． 50m B． 50m C． 25m D． m 　 9．已知函數(shù)y=﹣xf′（x）的圖象如圖（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），下面四個圖象中，y=f（

4、x）的圖象可能是（　?。? 　 A． B． C． D． 　 10．已知直線l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，給出下列四個命題： ①若α∥β，則l⊥m； ②若l⊥m，則α∥β； ③若α⊥β，則l∥m； ④若l∥m，則α⊥β 其中正確命題的個數(shù)是（　?。? 　 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 　 11．已知函數(shù)f（x）=滿足對任意的實數(shù)x1≠x2都有＜0成立，則實數(shù)a的取值范圍為（　?。? 　 A． （﹣∞，2） B． （﹣∞，] C． （﹣∞，2] D． ，則方程2﹣|x|=cos2πx所有實數(shù)根的個數(shù)為（　?。? 　 A． 2 B． 3 C． 4 D．

5、 5 　 　 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13．設(shè)變量x，y滿足約束條件：，則目標(biāo)函數(shù)z=的最小值為　　　　　?。? 　 14．已知x＞0，y＞0，若+＞m2+2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是　　　　　?。? 　 15．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，若AB=AA1=2，AC=1，∠BAC=60°，則此球的表面積等于　　　　　?。? 　 16．下面四個命題： ①已知函數(shù)且f（a）+f（4）=4，那么a=﹣4； ②要得到函數(shù)的圖象，只要將y=sin2x的圖象向左平移單位； ③若定義在（﹣∞，+∞）上的函數(shù)f（x）滿

6、足f（x+1）=﹣f（x），則f（x）是周期函數(shù)； ④已知奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，且f（﹣1）=0，則不等式f（x）＜0解集{x|x＜﹣1}． 其中正確的是　　　　　?。? 　 　 三、解答題：本大題共5小題，共計70分．解答應(yīng)寫出文字說明．證明過程或演算步驟 17．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且（c是常數(shù)，n∈N*），a2=6． （Ⅰ）求c的值及數(shù)列{an}的通項公式； （Ⅱ）證明：． 　 18．在四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA=2AB=2． （1）若F為PC的中

7、點，求證：PC⊥平面AEF； （2）求四棱錐P﹣ABCD的體積V． 　 19．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式； （Ⅱ）若，求cosα的值． 　 20．如圖所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC． （1）求證：平面AB1C1⊥平面AC1； （2）若AB1⊥A1C，求線段AC與AA1長度之比； （3）若D是棱CC1的中點，問在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB1C1？若存在，試確定點E的位置；若不存在，請說明理由． 　 21．設(shè)函數(shù)f（x）=ax﹣lnx，g（

8、x）=ex﹣ax，其中a為正實數(shù)． （l）若x=0是函數(shù)g（x）的極值點，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性； （2）若f（x）在（1，+∞）上無最小值，且g（x）在（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；并由此判斷曲線g（x）與曲線y=ax2﹣ax在（1，+∞）交點個數(shù)． 　 　 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．已知集合M={x|x2+x﹣2＜0}，，則M∩N=（　?。? 　 A． （﹣1，1） B． （﹣2，1） C． （﹣2，﹣1） D． （1，2） 考點： 交集及其運

9、算． 專題： 集合． 分析： 首先化簡集合M和N，然后根據(jù)交集的定義求出M∩N即可． 解答： 解：∵x2+x﹣2＜0即（x+2）（x﹣1）＜0解得：2＜x＜1 ∴M={x|﹣2＜x＜1} ∵解得：x＜﹣1 ∴N={x|x＜﹣1} ∴M∩N=（﹣2，﹣1） 故選：C． 點評： 本題主要考查集合的基本運算，比較基礎(chǔ)． 　 2．已知i是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)z1=1﹣3i，z2=3﹣2i，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（　?。? 　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 考點： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算． 專題： 數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)． 分析： 直接把復(fù)數(shù)z1，

10、z2代入，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡求值，求出在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)，則答案可求． 解答： 解：∵z1=1﹣3i，z2=3﹣2i， ∴=， 則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為：（，），位于第四象限． 故選：D． 點評： 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題． 　 3．已知向量，的夾角為45°，且||=1，|2﹣|=，則||=（　?。? 　 A． B． 2 C． 3 D． 4 考點： 平面向量數(shù)量積的運算；向量的模． 專題： 平面向量及應(yīng)用． 分析： 將|2﹣|=平方，然后將夾角與||=1代入，得到||的方程，解方程可得．

11、 解答： 解：因為向量，的夾角為45°，且||=1，|2﹣|=， 所以42﹣4?+2=10，即||2﹣2||﹣6=0， 解得||=3或||=﹣（舍）． 故選：C． 點評： 本題解題的關(guān)鍵是將模轉(zhuǎn)化為數(shù)量積，從而得到所求向量模的方程，利用到了方程的思想． 　 4．已知sinθ+cosθ=（0＜θ＜），則sinθ﹣cosθ的值為（　?。? 　 A． B． C． D． 考點： 同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系． 專題： 計算題． 分析： 將已知等式左右兩邊平方，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，求出2sinθcosθ的值，再將所求式子平方，利用完全平方公式展開，并利用同角三角函

12、數(shù)間的基本關(guān)系化簡，把2sinθcosθ的值代入，開方即可求出值． 解答： 解：將已知的等式左右兩邊平方得：（sinθ+cosθ）2=， ∴sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=， ∴（sinθ﹣cosθ）2=sin2θ﹣2sinθcosθ+cos2θ=1﹣2sinθcosθ=， ∵0＜θ＜，∴sinθ＜cosθ，即sinθ﹣cosθ＜0， 則sinθ﹣cosθ=﹣． 故選B 點評： 此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及完全平方公式的運用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵． 　 5．已知等差數(shù)列{an}的公差為2，若a1

13、，a3，a4成等比數(shù)列，則a2等于（　?。? 　 A． ﹣10 B． ﹣8 C． ﹣6 D． ﹣4 考點： 等比數(shù)列的性質(zhì)． 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 由題意可得，a3=a1+4，a4=a1+6，根據(jù) （a1+4）2=a1 （a1+6），求得a1的值．從而得解． 解答： 解：由題意可得，a3=a1+4，a4=a1+6．∵a1，a3，a4成等比數(shù)列， ∴（a1+4）2=a1 （a1+6）， ∴a1=﹣8， ∴a2等于﹣6， 故選：C 點評： 本題考查等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的定義，求出a1的值是解題的難點． 　 6．下列命題錯誤的是（　?。? 　 A．

14、命題“若x2＜1，則﹣1＜x＜1”的逆否命題是若x≥1或x≤﹣1，則x2≥1 　 B． “am2＜bm2”是”a＜b”的充分不必要條件 　 C． 命題p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，則￢p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0 　 D． 命題“p或q”為真命題，則命題“p”和命題“q”均為真命題 考點： 命題的真假判斷與應(yīng)用． 專題： 簡易邏輯． 分析： 對于A，寫出逆否命題，比照后可判斷真假； 對于B，利用必要不充分條件的定義判斷即可； 對于C，寫出原命題的否定形式，判斷即可． 對于D，根據(jù)復(fù)合命題真值表判斷即可； 解答： 解：命題“若x2＜1，則﹣1＜x＜1

15、”的逆否命題是若x≥1或x≤﹣1，則x2≥1，故A正確； “am2＜bm2”?”a＜b”為真，但”a＜b”?“am2＜bm2”為假（當(dāng)m=0時不成立），故“am2＜bm2”是”a＜b”的充分不必要條件，故B正確； 命題p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，則￢p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0，故C正確； 命題“p或q”為真命題，則命題“p”和命題“q”中至少有一個是真命題，故D錯誤， 故選：D 點評： 本題借助考查命題的真假判斷，考查充分條件、必要條件的判定及復(fù)合命題的真假判定． 　 7．已知三棱錐的底面是邊長為1的正三角形，其正視圖與俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為

16、（　?。? 　 A． B． C． D． 考點： 簡單空間圖形的三視圖；由三視圖求面積、體積． 專題： 計算題． 分析： 由題意可得側(cè)視圖為三角形，且邊長為邊長為1的正三角形的高線，高等于正視圖的高，分別求解代入三角形的面積公式可得答案． 解答： 解：∵邊長為1的正三角形的高為=， ∴側(cè)視圖的底邊長為， 又側(cè)視圖的高等于正視圖的高， 故所求的面積為：S== 故選A 點評： 本題考查簡單空間圖形的三視圖，涉及三角形面積的求解，屬基礎(chǔ)題． 　 8．為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個橋位樁A，B（如圖），要測算A，B兩點的距離，測量人員在岸邊定出基線B

17、C，測得BC=50m，∠ABC=105°，∠BCA=45°，就可以計算出A，B兩點的距離為（　　） 　 A． 50m B． 50m C． 25m D． m 考點： 正弦定理的應(yīng)用． 專題： 計算題． 分析： 由題意及圖知，可先求出∠BAC，再由正弦定理得到AB=代入數(shù)據(jù)即可計算出A，B兩點的距離 解答： 解：由題意及圖知，∠BAC=30°，又BC=50m，∠BCA=45° 由正弦定理得AB==50m 故選A 點評： 本題考查利用正弦定理求長度，是正弦定理應(yīng)用的基本題型，計算題． 　 9．已知函數(shù)y=﹣xf′（x）的圖象如圖（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），下

18、面四個圖象中，y=f（x）的圖象可能是（　?。? 　 A． B． C． D． 考點： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 專題： 導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用． 分析： 根據(jù)函數(shù)y=﹣xf′（x）的圖象，依次判斷f（x）在區(qū)間（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的單調(diào)性即可． 解答： 解：由函數(shù)y=﹣xf′（x）的圖象可知： 當(dāng)x＜﹣1時，﹣xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此時f（x）增； 當(dāng)﹣1＜x＜0時，﹣xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此時f（x）減； 當(dāng)0＜x＜1時，﹣xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此時f（x）減； 當(dāng)x＞1時，﹣xf′（x）＜0

19、，f′（x）＞0，此時f（x）增． 綜上所述，y=f（x）的圖象可能是B， 故選：B． 點評： 本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，同時考查了分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題． 　 10．已知直線l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，給出下列四個命題： ①若α∥β，則l⊥m； ②若l⊥m，則α∥β； ③若α⊥β，則l∥m； ④若l∥m，則α⊥β 其中正確命題的個數(shù)是（　?。? 　 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 考點： 等差數(shù)列的性質(zhì)． 專題： 綜合題． 分析： 利用直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系逐一判斷，成立的證明，不成立的可舉出反例． 解

20、答： 解；①∵l⊥α，α∥β，∴l(xiāng)⊥β，又∵m?β，∴l(xiāng)⊥m，①正確． ②由l⊥m推不出l⊥β，②錯誤． ③當(dāng)l⊥α，α⊥β時，l可能平行β，也可能在β內(nèi)，∴l(xiāng)與m的位置關(guān)系不能判斷，③錯誤． ④∵l⊥α，l∥m，∴m∥α，又∵m?β，∴α⊥β 故選C 點評： 本題主要考查顯現(xiàn)，線面，面面位置關(guān)系的判斷，屬于概念題． 　 11．已知函數(shù)f（x）=滿足對任意的實數(shù)x1≠x2都有＜0成立，則實數(shù)a的取值范圍為（　?。? 　 A． （﹣∞，2） B． （﹣∞，] C． （﹣∞，2] D． ， 故選：B． 點評： 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合

21、應(yīng)用，難度中檔． 　 12．己知x∈，則方程2﹣|x|=cos2πx所有實數(shù)根的個數(shù)為（　?。? 　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 考點： 根的存在性及根的個數(shù)判斷． 專題： 數(shù)形結(jié)合；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)f（x）=2﹣|x|，g（x）=cos2πx的圖象，根據(jù)圖象交點的個數(shù)，可得方程解的個數(shù)． 解答： 解：在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)f（x）=2﹣|x|，g（x）=cos2πx的圖象 根據(jù)函數(shù)圖象可知，圖象交點的個數(shù)為5個 ∴方程2﹣|x|=cos2πx所有實數(shù)根的個數(shù)為5個 故選D． 點評： 本題考查方程解的個數(shù)，考查函數(shù)圖象的

22、作法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題． 　 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13．設(shè)變量x，y滿足約束條件：，則目標(biāo)函數(shù)z=的最小值為　1?。? 考點： 簡單線性規(guī)劃． 專題： 不等式的解法及應(yīng)用． 分析： 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)論． 解答： 解：z的幾何意義為區(qū)域內(nèi)點到點G（0，﹣1）的斜率， 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖： 由圖象可知，AG的斜率最小， 由解得，即A（2，1）， 則AG的斜率k=， 故答案為：1 點評： 本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及直線斜率的計算，利用數(shù)形結(jié)合是

23、解決本題的關(guān)鍵． 　 14．已知x＞0，y＞0，若+＞m2+2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是　﹣4＜m＜2?。? 考點： 函數(shù)恒成立問題；基本不等式． 專題： 計算題． 分析： 根據(jù)題意，由基本不等式的性質(zhì)，可得+≥2=8，即+的最小值為8，結(jié)合題意，可得m2+2m＜8恒成立，解可得答案． 解答： 解：根據(jù)題意，x＞0，y＞0，則＞0，＞0， 則+≥2=8，即+的最小值為8， 若+＞m2+2m恒成立，必有m2+2m＜8恒成立， m2+2m＜8?m2+2m﹣8＜0， 解可得，﹣4＜m＜2， 故答案為﹣4＜m＜2． 點評： 本題考查不等式的恒成立問題與基本不等式的應(yīng)用，關(guān)

24、鍵是利用基本不等式求出+的最小值． 　 15．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，若AB=AA1=2，AC=1，∠BAC=60°，則此球的表面積等于　8π?。? 考點： 球的體積和表面積． 專題： 計算題． 分析： 通過已知體積求出底面外接圓的半徑，確定球心為O的位置，求出球的半徑，然后求出球的表面積． 解答： 解：在△ABC中AB=AA1=2，AC=1，∠BAC=60°， 可得BC=， 可得△ABC外接圓半徑r=1， 三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面， 三棱柱為直三棱柱，側(cè)面BAA1B1是正方形它的中心是球心O， 球的直徑為

25、：BA1=2，球半徑R=， 故此球的表面積為4πR2=8π 故答案為：8π 點評： 本題是中檔題，解題思路是：先求底面外接圓的半徑，轉(zhuǎn)化為直角三角形，求出球的半徑，這是三棱柱外接球的常用方法；本題考查空間想象能力，計算能力． 　 16．下面四個命題： ①已知函數(shù)且f（a）+f（4）=4，那么a=﹣4； ②要得到函數(shù)的圖象，只要將y=sin2x的圖象向左平移單位； ③若定義在（﹣∞，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=﹣f（x），則f（x）是周期函數(shù)； ④已知奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，且f（﹣1）=0，則不等式f（x）＜0解集{x|x＜﹣1}． 其中正確的

26、是?、邸。? 考點： 命題的真假判斷與應(yīng)用． 專題： 綜合題；簡易邏輯． 分析： ①已知函數(shù)，分a＜0，a＞0，利用f（a）+f（4）=4，即可求出a； ②要得到函數(shù)的圖象，只要將y=sin2x的圖象向左平移單位； ③利用f（x）滿足f（x+1）=﹣f（x），可得f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），所以f（x）是以2為周期的周期函數(shù)；④已知奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，且f（﹣1）=0，則f（1）=0，在（﹣∞，0）為增函數(shù)，即可解不等式f（x）＜0． 解答： 解：①已知函數(shù)，a＜0時，f（a）+f（4）=4，那么a=﹣4；a＞0時，f（a）+f（4）=4，那么a=4

27、，故不正確； ②要得到函數(shù)的圖象，只要將y=sin2x的圖象向左平移單位，故不正確； ③若定義在（﹣∞，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=﹣f（x），則f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），所以f（x）是周期函數(shù)，周期為2； ④已知奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，且f（﹣1）=0，則f（1）=0，在（﹣∞，0）為增函數(shù)，不等式f（x）＜0等價于f（x）＜f（﹣1）或f（x）＜f（1）， 解集{x|x＜﹣1}∪{x|0＜x＜1}，故不正確． 故答案為：③． 點評： 本題考查命題的真假的判斷，考查分段函數(shù)，函數(shù)的圖象變換，周期性，奇偶性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中

28、檔題． 　 三、解答題：本大題共5小題，共計70分．解答應(yīng)寫出文字說明．證明過程或演算步驟 17．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且（c是常數(shù)，n∈N*），a2=6． （Ⅰ）求c的值及數(shù)列{an}的通項公式； （Ⅱ）證明：． 考點： 等差數(shù)列的前n項和；數(shù)列的求和． 專題： 計算題；證明題． 分析： （Ⅰ）根據(jù)，令n=1代入求出a1，令n=2代入求出a2，由a2=6即可求出c的值，由c的值即可求出首項和公差，根據(jù)首項和公差寫出等差數(shù)列的通項公式即可； （Ⅱ）利用數(shù)列的通項公式列舉出各項并代入所證不等式的坐標(biāo)，利用=（﹣），把各項拆項后抵消化簡后即可得證． 解答： 解

29、：（Ⅰ）解：因為， 所以當(dāng)n=1時，，解得a1=2c， 當(dāng)n=2時，S2=a2+a2﹣c，即a1+a2=2a2﹣c，解得a2=3c， 所以3c=6，解得c=2， 則a1=4，數(shù)列{an}的公差d=a2﹣a1=2， 所以an=a1+（n﹣1）d=2n+2； （Ⅱ）因為 = = = = =． 因為n∈N*，所以． 點評： 此題考查學(xué)生靈活運用等差數(shù)列的通項公式及前n項和的公式化簡求值，會利用拆項法進行數(shù)列的求和，是一道綜合題． 　 18．在四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA=2AB=2

30、． （1）若F為PC的中點，求證：PC⊥平面AEF； （2）求四棱錐P﹣ABCD的體積V． 考點： 棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定． 專題： 空間位置關(guān)系與距離． 分析： （1）在Rt△ABC，∠BAC=60°，可得AC=2AB，PA=CA，又F為PC的中點，可得AF⊥PC．利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理可得：CD⊥PC．利用三角形的中位線定理可得：EF∥CD．于是EF⊥PC．即可證明PC⊥平面AEF． （2）利用直角三角形的邊角關(guān)系可得BC，CD．SABCD=．利用V=，即可得出． 解答： （1）證明：在Rt△ABC，∠BAC=60°， ∴AC=2AB，

31、 ∵PA=2AB， ∴PA=CA， 又F為PC的中點， ∴AF⊥PC． ∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥CD． ∵AC⊥CD，PA∩AC=A， ∴CD⊥平面PAC． ∴CD⊥PC． ∵E為PD中點，F(xiàn)為PC中點， ∴EF∥CD． 則EF⊥PC． ∵AF∩EF=F， ∴PC⊥平面AEF． （2）解：在Rt△ABC中，AB=1， ∠BAC=60°， ∴BC=，AC=2． 在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°， ∴CD=2，AD=4． ∴SABCD==． 則V==． 點評： 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、三角形的中位線定理、直角三角形的邊角

32、關(guān)系、四棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 　 19．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式； （Ⅱ）若，求cosα的值． 考點： 由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值． 專題： 作圖題；綜合題． 分析： （I）觀察圖象可得函數(shù)的最值為1，且函數(shù)先出現(xiàn)最大值可得A=1；函數(shù)的周期T=π，結(jié)合周期公式T=可求ω；由函數(shù)的圖象過（）代入可得φ （II）由（I）可得f（x）=sin（2x+），從而由f（）=，代入整理可得sin（）=，

33、結(jié)合已知0＜a＜，可得cos（α+）=．，利用，代入兩角差的余弦公式可求 解答： 解：（Ⅰ）由圖象知A=1 f（x）的最小正周期T=4×（﹣）=π，故ω==2 將點（，1）代入f（x）的解析式得sin（+φ）=1， 又|φ|＜，∴φ= 故函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=sin（2x+） （Ⅱ）f（）=，即sin（）=，注意到0＜a＜，則＜＜， 所以cos（α+）=． 又cosα==cos（α+）cos+sin（α+）sin= 點評： 本題主要考查了（i）由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，其步驟一般是：由函數(shù)的最值求解A，（但要判斷是先出現(xiàn)最大值或是最小值，從而判斷A的

34、正負(fù)號）由周期求解ω=，由函數(shù)圖象上的點（一般用最值點）代入求解φ； （ii）三角函數(shù)的同角平方關(guān)系，兩角差的余弦公式，及求值中的拆角的技巧，要掌握常見的拆角技巧：①2α=（α+β）+（α﹣β）②2β=（α+β）﹣（α﹣β）③α=（α+β）﹣β④β=（α+β）﹣α 　 20．如圖所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC． （1）求證：平面AB1C1⊥平面AC1； （2）若AB1⊥A1C，求線段AC與AA1長度之比； （3）若D是棱CC1的中點，問在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB1C1？若存在，試確定點E的位置；若不存在，請說明理由． 考點： 平面與平面

35、垂直的判定；直線與平面平行的判定． 專題： 證明題；空間位置關(guān)系與距離． 分析： （1）由于已知，可得B1C1⊥CC1，又AC⊥BC，可得B1C1⊥A1C1，從而B1C1⊥平面AC1，又B1C1?平面AB1C1，從而平面AB1C1⊥平面AC1． （2）由（1）知，B1C1⊥A1C，若AB1⊥A1C，則可得：A1C⊥平面AB1C1，從而A1C⊥AC1，由于ACC1A1是矩形，故AC與AA1長度之比為1：1． （3）證法一：設(shè)F是BB1的中點，連結(jié)DF、EF、DE．則易證：平面DEF∥平面AB1C1，從而DE∥平面AB1C1． 證法二：設(shè)G是AB1的中點，連結(jié)EG，則易證EGDC1．即有

36、DE∥C1G，DE∥平面AB1C1． 解答： 解：（1）由于ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以B1C1⊥CC1； 又因為AC⊥BC，所以B1C1⊥A1C1，所以B1C1⊥平面AC1． 由于B1C1?平面AB1C1，從而平面AB1C1⊥平面AC1． （2）由（1）知，B1C1⊥A1C．所以，若AB1⊥A1C，則可 得：A1C⊥平面AB1C1，從而A1C⊥AC1． 由于ACC1A1是矩形，故AC與AA1長度之比為1：1． （3）點E位于AB的中點時，能使DE∥平面AB1C1． 證法一：設(shè)F是BB1的中點，連結(jié)DF、EF、DE． 則易證：平面DEF∥平面AB1C1，從而 DE∥

37、平面AB1C1． 證法二：設(shè)G是AB1的中點，連結(jié)EG，則易證EGDC1． 所以DE∥C1G，DE∥平面AB1C1． 點評： 本題主要考察了平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，屬于基本知識的考查． 　 21．設(shè)函數(shù)f（x）=ax﹣lnx，g（x）=ex﹣ax，其中a為正實數(shù)． （l）若x=0是函數(shù)g（x）的極值點，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性； （2）若f（x）在（1，+∞）上無最小值，且g（x）在（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；并由此判斷曲線g（x）與曲線y=ax2﹣ax在（1，+∞）交點個數(shù)． 考點： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．

38、 專題： 計算題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析： （1）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，令它為0，求出a=1，再求f（x）的導(dǎo)數(shù)，令它大于0或小于0，即可得到單調(diào)區(qū)間； （2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論a的范圍，由條件得到a≥1，再由g（x）的導(dǎo)數(shù)不小于0在（1，+∞）上恒成立，求出a≤e，令即a=，令h（x）=，求出導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，判斷極值與e的大小即可． 解答： 解：（1）由g′（x）=ex﹣a， g′（0）=1﹣a=0得a=1，f（x）=x﹣lnx ∵f（x）的定義域為：（0，+∞），， ∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）． （2）由 若0＜a＜1則f（x）在（1，+∞）上有最小值f（）， 當(dāng)a≥1時，f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增無最小值． ∵g（x）在（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù) ∴g'（x）=ex﹣a≥0在（1，+∞）上恒成立 ∴a≤e， 綜上所述a的取值范圍為， 此時即a=，令h（x）=，h′（x）=， 則 h（x）在（0，2）單調(diào)遞減，（2，+∞）單調(diào)遞增， 極小值為．故兩曲線沒有公共點． 點評： 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求單調(diào)區(qū)間，求極值和最值，考查分類討論的思想方法，曲線與曲線交點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值或最值問題，屬于中檔題．