（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.2 第1課時 橢圓的幾何性質學案 新人教A版選修2-1

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1、 第1課時　橢圓的幾何性質 學習目標　1.依據(jù)橢圓的方程研究橢圓的幾何性質，并正確地畫出它的圖形.2.依據(jù)幾何條件求出橢圓方程，并利用橢圓方程研究它的性質、圖形． 知識點一　橢圓的范圍、對稱性和頂點 思考　在畫橢圓圖形時，怎樣才能畫的更準確些？ 答案　在畫橢圓時，可先畫一個矩形，矩形的頂點為(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b)． 梳理　橢圓的簡單幾何性質 焦點在x軸上 焦點在y軸上 標準方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 圖形 焦點坐標 (±c,0) (0，±c) 對稱性 關于x軸、y軸軸對稱，關于坐標原

2、點中心對稱 頂點坐標 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 范圍 |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a 長軸、短軸 長軸A1A2長為2a，短軸B1B2長為2b 知識點二　橢圓的離心率 橢圓的焦距與長軸長的比稱為橢圓的離心率，記為e＝，因為a＞c，故橢圓離心率e的取值范圍為(0,1)，當e越近于1時，橢圓越扁，當e越近于0時，橢圓越圓． (1)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的長軸長是a.(×) (2)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(×) (3)若橢圓的

3、對稱軸為坐標軸，長軸長與短軸長分別為10,8，則橢圓的方程為＋＝1.(×) (4)設F為橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一個焦點，M為其上任一點，則|MF|的最大值為a＋c(c為橢圓的半焦距)．(√) 類型一　橢圓的簡單幾何性質 例1　求橢圓m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)的長軸長、短軸長、焦點坐標、頂點坐標和離心率． 考點　橢圓的簡單幾何性質 題點　橢圓的頂點、焦點、長短軸、對稱性 解　由已知得＋＝1(m＞0)， 因為0＜m2＜4m2， 所以＞， 所以橢圓的焦點在x軸上，并且長半軸長a＝， 短半軸長b＝，半焦距c＝， 所以橢圓的長軸長2a＝，短軸長2b＝， 焦點坐標為

4、，， 頂點坐標為，，，， 離心率e＝＝＝. 反思與感悟　從橢圓的標準方程出發(fā)，分清其焦點位置，然后再寫出相應的性質． 跟蹤訓練1　已知橢圓C1：＋＝1，設橢圓C2與橢圓C1的長軸長、短軸長分別相等，且橢圓C2的焦點在y軸上． (1)求橢圓C1的長半軸長、短半軸長、焦點坐標及離心率； (2)寫出橢圓C2的方程，并研究其性質． 考點　橢圓的簡單幾何性質 題點　橢圓的頂點、焦點、長短軸、對稱性 解　(1)由橢圓C1：＋＝1，可得其長半軸長為10，短半軸長為8，焦點坐標為(6,0)，(－6,0)，離心率e＝. (2)橢圓C2：＋＝1.性質如下： ①范圍：－8≤x≤8，－10≤y≤

5、10；②對稱性：關于x軸、y軸、原點對稱；③頂點：長軸端點(0,10)，(0，－10)，短軸端點(－8,0)，(8,0)；④焦點：(0,6)，(0，－6)；⑤離心率：e＝. 類型二　由幾何性質求橢圓的標準方程 例2　(1)橢圓以兩坐標軸為對稱軸，并且過點(0,13)，(－10，0)，則焦點坐標為(　　) A．(±13,0) B．(0，±10) C．(0，±13) D．(0，±) 考點　橢圓的簡單幾何性質 題點　橢圓的頂點、焦點、長短軸、對稱性 答案　D 解析　由題意知，橢圓的焦點在y軸上， 且a＝13，b＝10，則c＝＝，故選D. (2)已知橢圓中心在原點，一個焦點

6、為F(－2，0)，且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標準方程是___________________． 考點　橢圓的簡單幾何性質 題點　橢圓的頂點、焦點、長短軸、對稱性 答案　＋＝1 解析　由已知，得焦點在x軸上，且∴ ∴所求橢圓的標準方程為＋＝1. 反思與感悟　此類問題應由所給的幾何性質充分找出a，b，c所應滿足的關系式，進而求出a，b，在求解時，需注意橢圓的焦點位置． 跟蹤訓練2　根據(jù)下列條件，求中心在原點，對稱軸在坐標軸上的橢圓方程： (1)長軸長是短軸長的2倍，且過點(2，－6)； (2)焦點在x軸上，一個焦點與短軸的兩端點連線互相垂直，且半焦距為6. 考點　由橢圓

7、的簡單幾何性質求方程 題點　由橢圓的幾何特征求方程 解　(1)當焦點在x軸上時，設橢圓方程為＋＝1(a>b>0)． 依題意，有解得 ∴橢圓方程為＋＝1. 同樣地可求出當焦點在y軸上時， 橢圓方程為＋＝1. 故所求的橢圓方程為＋＝1或＋＝1. (2)依題意，有 ∴b＝c＝6， ∴a2＝b2＋c2＝72， ∴所求的橢圓方程為＋＝1. 類型三　求橢圓的離心率 例3　如圖，設橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，求橢圓的離心率． 考點　橢圓的離心率問題 題點　求a，b，c的齊次關系式得離心率 解　設橢圓方程

8、為＋＝1(a＞b＞0)． ∵F1(－c,0)，∴P(－c，yp)，代入橢圓方程得 ＋＝1，∴y＝， ∴|PF1|＝＝|F1F2|，即＝2c， ∴c2＋2ac－a2＝0， 又∵b2＝a2－c2，∴＝2c， ∴c2＋2ac－a2＝0，∴e2＋2e－1＝0，又∵0＜e＜1，∴e＝－1. 反思與感悟　求解橢圓的離心率，其實質就是構建a，b，c之間的關系式，再結合b2＝a2－c2，從而得到a，c之間的關系式，進而確定其離心率． 跟蹤訓練3　設橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為(　　) A.B.C

9、.D. 考點　橢圓的離心率問題 題點　求a，b，c得離心率 答案　D 解析　由題意可設|PF2|＝m(m＞0)，結合條件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故離心率e＝＝＝＝＝. 1．橢圓9x2＋y2＝36的短軸長為(　　) A．2B．4C．6D．12 考點　橢圓的簡單幾何性質 題點　橢圓的頂點、焦點、長短軸、對稱性 答案　B 解析　原方程可化為＋＝1，所以b2＝4，b＝2，從而短軸長為2b＝4. 2．若橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點構成一個正三角形，則該橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. 考點　橢圓的離心率問題 題點　求a，b，c得離心率

10、答案　A 解析　不妨設橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，B為橢圓的上頂點． 依題意可知，△BF1F2是正三角形． ∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c， |BF2|＝a，∠OF2B＝60°， ∴cos 60°＝＝， 即橢圓的離心率e＝，故選A. 3．(2017·嘉興一中期末)中心在坐標原點的橢圓，焦點在x軸上，焦距為4，離心率為，則該橢圓的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　D 4．已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，兩頂點分別是(4,0)，(0,2)，則此橢圓的方程是______________． 考點　由橢圓的簡單幾何性質求方

11、程 題點　由橢圓的幾何性質求方程 答案?。? 解析　由已知，得a＝4，b＝2，且橢圓的焦點在x軸上，所以橢圓的方程是＋＝1. 5．求橢圓25x2＋16y2＝400的長軸長、短軸長、離心率、焦點坐標和頂點坐標． 考點　由橢圓方程研究簡單幾何性質 題點　由橢圓的方程求頂點、焦點、長短軸、離心率 解　將橢圓方程變形為＋＝1， 得a＝5，b＝4，所以c＝3， 故橢圓的長軸長和短軸長分別為2a＝10,2b＝8， 離心率e＝＝， 焦點坐標為(0，－3)，(0,3)， 頂點坐標為(0，－5)，(0,5)，(－4,0)，(4,0)． 求橢圓離心率及范圍的兩種方法 (1)直接法

12、：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關系式，借助于a2＝b2＋c2，轉化為關于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍． 一、選擇題 1．已知橢圓的方程為2x2＋3y2＝m(m>0)，則此橢圓的離心率為(　　) A.B.C.D. 考點　由橢圓方程研究簡單幾何性質 題點　由橢圓的方程求頂點、焦點、長短軸、離心率 答案　B 解析　由2x2＋3y2＝m(m>0)，得＋＝1，

13、 ∴c2＝－＝，∴e2＝，∴e＝. 2．與橢圓9x2＋4y2＝36有相同焦點，且短軸長為2的橢圓的標準方程是(　　) A.＋＝1 B.x2＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋＝1 考點　由橢圓的簡單幾何性質求方程 題點　由橢圓的幾何性質求方程 答案　B 解析　由已知c＝，b＝1，故橢圓的標準方程為＋x2＝1. 3．橢圓4x2＋49y2＝196的長軸長、短軸長、離心率依次是(　　) A．7,2， B．14,4， C．7,2， D．14,4，－ 考點　由橢圓方程研究簡單幾何性質 題點　由橢圓的方程求頂點、焦點、長短軸、離心率 答案　B 解析　先將橢圓方程化為標準形式為＋＝1

14、， 其中b＝2，a＝7，c＝3. 4．焦點在x軸上，長、短半軸長之和為10，焦距為4，則橢圓的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 考點　由橢圓的簡單幾何性質求方程 題點　由橢圓的幾何特征求方程 答案　A 解析　依題意得c＝2，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，所以解得a＝6，b＝4. 5．若焦點在x軸上的橢圓＋＝1的離心率為，則m等于(　　) A.B.C.D. 考點　由橢圓方程研究簡單幾何性質 題點　由橢圓的幾何特征求方程 答案　B 解析　∵a2＝2，b2＝m，e＝＝＝＝，∴m＝. 6．橢圓(m＋1)x2＋my2＝1的長軸長是(　　)

15、 A. B. C. D．－ 考點　由橢圓方程研究簡單幾何性質 題點　由橢圓的方程求頂點、焦點、長短軸、離心率 答案　C 解析　橢圓方程可化簡為＋＝1， 由題意，知m>0，∴<，∴a＝， ∴橢圓的長軸長2a＝. 7．設F1，F(xiàn)2是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，P為直線x＝上一點，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則橢圓E的離心率為(　　) A.B.C.D. 考點　橢圓的離心率問題 題點　求a，b，c得離心率 答案　C 解析　設直線x＝與x軸交于點M，則∠PF2M＝60°，在Rt△PF2M中，|PF2|＝|F1F2|＝2c，|F2M|＝－c，故cos60

16、°＝＝＝， 解得＝， 故離心率e＝. 二、填空題 8．A為y軸上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，△AF1F2為正三角形，且AF1的中點B恰好在橢圓上，則此橢圓的離心率為________． 考點　橢圓的離心率問題 題點　求a，b，c得離心率 答案?。? 解析　如圖，連接BF2.因為△AF1F2為正三角形，且B為線段AF1的中點， 所以F2B⊥BF1. 又因為∠BF2F1＝30°，|F1F2|＝2c，所以|BF1|＝c，|BF2|＝c， 由橢圓定義得|BF1|＋|BF2|＝2a， 即c＋c＝2a，所以＝－1， 所以橢圓的離心率e＝－1. 9．若橢圓＋＝1的焦點在x

17、軸上，過點作圓x2＋y2＝1的切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓的方程是____________． 考點　由橢圓的簡單幾何性質求方程 題點　由橢圓的幾何特征求方程 答案?。? 解析　∵x＝1是圓x2＋y2＝1的一條切線， ∴橢圓的右焦點為(1,0)，即c＝1. 設P，則kOP＝，∵OP⊥AB，∴kAB＝－2，則直線AB的方程為y＝－2(x－1)，它與y軸的交點為(0,2)．∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5，故橢圓的方程為＋＝1. 10．設橢圓的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離

18、心率是________． 考點　橢圓的離心率問題 題點　求a，b，c得離心率 答案?。? 解析　因為△F1PF2為等腰直角三角形，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2c，又由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝2a，所以2c＋2c＝2a，即(＋1)c＝a， 于是e＝＝＝－1. 11．在△ABC中，tanA＝，B＝.若橢圓E以AB為長軸，且過點C，則橢圓E的離心率 是_______． 考點　橢圓的離心率問題 題點　求a，b，c得離心率 答案　 解析　由tan A＝，得sin A＝，cosA＝. 又B＝，∴sin B＝，cosB＝， 則sin C＝sin(A＋

19、B)＝sin AcosB＋cosAsinB ＝×＋×＝. 由正弦定理，得|BC|∶|CA|∶|AB|＝sin A∶sinB∶sinC＝1∶∶2. 不妨取|BC|＝1，|CA|＝，|AB|＝2. 以AB所在直線為x軸，AB中點O為原點建立直角坐標系(C在x軸上方)，D是C在AB上的射影． 易求得|AD|＝，|OD|＝，|CD|＝， ∴點C. 設橢圓E的方程為＋＝1(a＞b＞0)， 則a2＝2，且＋＝1，解得b2＝， ∴c2＝a2－b2＝2－＝， ∴e2＝＝，∴e＝. 三、解答題 12．已知橢圓x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)，其焦距與長軸長的比值是，求m的值及橢圓的長軸

20、長、短軸長及頂點坐標． 考點　由橢圓方程研究簡單幾何性質 題點　由橢圓方程求頂點、焦點、長短軸、離心率 解　橢圓方程可化為＋＝1. 因為m＞0，所以m－＝＞0， 所以m＞，所以a2＝m，b2＝， 所以c＝＝. 由＝，得＝，解得m＝1， 所以a＝1，b＝，則橢圓的標準方程為x2＋＝1， 所以橢圓的長軸長為2，短軸長為1， 四個頂點的坐標分別為 (－1,0)，(1,0)，，. 13．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，斜率為k的直線l過左焦點F1且與橢圓的交點為A，B，與y軸的交點為C，且B為線段CF1的中點，若|k|≤，求橢圓離心率e的取值范圍． 考

21、點　由橢圓方程研究簡單幾何性質 題點　由橢圓的幾何特征求參數(shù) 解　依題意得F1(－c,0)，直線l：y＝k(x＋c)， 則C(0，kc)． 因為點B為線段CF1的中點，所以B. 因為點B在橢圓上，所以＋＝1， 即＋＝1. 所以＋＝1，所以k2＝. 由|k|≤，得k2≤，即≤， 所以2e4－17e2＋8≤0.解得≤e2≤8. 因為0

22、簡單幾何性質 題點　由橢圓的幾何特征求參數(shù) 答案　D 解析　橢圓的中心、一個短軸的頂點、一個焦點構成一個直角三角形，兩直角邊長分別為b，c，斜邊為a，由直角三角形的兩直角邊之和大于斜邊得b＋c＞a，∴＞1，又∵2＝≤＝2(當且僅當b＝c時，取等號)，∴1＜≤，故選D. 15．設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點，|AF1|＝3|F1B|. (1)若|AB|＝4，△ABF2的周長為16，求|AF2|； (2)若cos∠AF2B＝，求橢圓E的離心率． 考點　橢圓離心率問題 題點　求a，b，c得離心率 解　(1)由|AF1|

23、＝3|F1B|，|AB|＝4， 得|AF1|＝3，|F1B|＝1. 因為△ABF2的周長為16， 所以由橢圓定義可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8， 故|AF2|＝8－3＝5. (2)設|F1B|＝k，則k＞0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k. 由橢圓定義，得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. 在△ABF2中，由余弦定理，得 |AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B， 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)， 化簡可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k＞0，故a＝3k. 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k. 因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A， 故△AF1F2為等腰直角三角形．從而c＝a，所以橢圓E的離心率e＝＝. 14