2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 講明不等式的基本方法 本講知識歸納與達(dá)標(biāo)驗(yàn)收講義（含解析）新人教A版選修4-5

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 講明不等式的基本方法 本講知識歸納與達(dá)標(biāo)驗(yàn)收講義（含解析）新人教A版選修4-5考情分析從近兩年的高考試題來看，不等式的證明主要考查比較法與綜合法，而比較法多用作差比較，綜合法主要涉及基本不等式與不等式的性質(zhì)，題目難度不大，屬中檔題在證明不等式時，要依據(jù)命題提供的信息選擇合適的方法與技巧進(jìn)行證明如果已知條件與待證結(jié)論之間的聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證的命題以“至少”“至多”“恒成立”等方式給出，可考慮用反證法在必要的情況下，可能還需要使用換元法、放縮法、構(gòu)造法等技巧簡化對問題的表述和證明真題體驗(yàn) 1(2017全國卷)已知a0，b0，a3b32.證明

2、：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.證明：(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因?yàn)?ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.2(2016全國卷)已知函數(shù)f(x)，M為不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)證明：當(dāng)a，bM時，|ab|1ab|.解：(1)f(x)當(dāng)x時，由f(x)2得2x2，解得x1；當(dāng)x時，f(x)2恒成立；當(dāng)x時，由f(x)2得2x2，解得x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)證明：由(1)知，當(dāng)a，bM時，1a1，1b1，從而

3、(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|1ab|.比較法證明不等式比較法證明不等式的依據(jù)是：不等式的意義及實(shí)數(shù)比較大小的充要條件作差比較法證明的一般步驟是：作差；恒等變形；判斷結(jié)果的符號；下結(jié)論其中，變形是證明推理中一個承上啟下的關(guān)鍵，變形的目的在于判斷差的符號，而不是考慮差能否化簡或值是多少，變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法例1若x，y，zR，a0，b0，c0，求證：x2y2z22(xyyzzx)證明x2y2z22(xyyzzx)x y2y z2z x20.x2y2z22(xyyzzx).綜合法證明

4、不等式綜合法證明不等式的思維方向是“順推”，即由已知的不等式出發(fā)，逐步推出其必要條件(由因?qū)Ч?，最后推導(dǎo)出所要證明的不等式成立綜合法證明不等式的依據(jù)是：已知的不等式以及邏輯推證的基本理論證明時要注意：作為依據(jù)和出發(fā)點(diǎn)的幾個重要不等式(已知或已證)成立的條件往往不同，應(yīng)用時要先考慮是否具備應(yīng)有的條件，避免錯誤，如一些帶等號的不等式，應(yīng)用時要清楚取等號的條件，即對重要不等式中“當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號”的理由要理解掌握例2設(shè)a，b，cR且abc1.求證：(1)2abbcca；(2)2.證明(1)因?yàn)?(abc)2a2b2c22ab2bc2ca4ab2bc2cac2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立，所以2abb

5、cca(4ab2bc2cac2).(2)因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)abc時等號成立所以abc2a2b2c2，當(dāng)且僅當(dāng)abc時等號成立.分析法證明不等式分析法證明不等式的依據(jù)也是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論分析法證明不等式的思維方向是“逆推”，即由待證的不等式出發(fā)， 逐步尋找使它成立的充分條件(執(zhí)果索因)，最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式當(dāng)要證的不等式不知從何入手時，可考慮用分析法去證明，特別是對于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更為有效分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，而綜合法是“由因?qū)Ч?，逐步推?dǎo)出不等式成立的必要條件，兩者是對立統(tǒng)一的兩種方法一般來說

6、，對于較復(fù)雜的不等式，直接用綜合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法可結(jié)合使用例3已知a0，b0，且ab1，求證： 2.證明要證 2，只需證24，即證ab12 4.即證1.也就是要證ab(ab)1，即證ab.a0，b0，ab1.1ab2，ab，即上式成立故 2.反證法證明不等式用直接法證明不等式困難的時候，可考慮用間接證法予以證明，反證法是間接證法的一種假設(shè)欲證的命題是“若A則B”，我們可以通過否定來達(dá)到肯定B的目的，如果只有有限多種情況，就可用反證法用反證法證明不等式，其實(shí)質(zhì)是從否定結(jié)論出發(fā)，通過邏輯推理，導(dǎo)出與已知條件、公理、定理或某些性

7、質(zhì)相矛盾的結(jié)論，從而肯定原命題成立例4已知a，b，c為實(shí)數(shù)，abc0，abbcca0，abc0，求證：a0，b0，c0.證明假設(shè)a，b，c不全是正數(shù)，即其中至少有一個不是正數(shù)不妨先設(shè)a0，下面分a0或a0兩種情況討論如果a0，那么abc0，與已知矛盾，所以a0不可能如果a0，可得bc0，所以bca0，于是abbccaa(bc)bc0相矛盾因此，a0.同理可以證明b0，c0，所以原命題成立.放縮法證明不等式放縮法是在順推法邏輯推理過程中，有時利用不等式關(guān)系的傳遞性，作適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小，證明比原不等式更強(qiáng)的不等式來代替原不等式的一種證明方法放縮法的實(shí)質(zhì)是非等價轉(zhuǎn)化，放縮沒有一定的準(zhǔn)則和程序，需按題

8、意適當(dāng)放縮，否則達(dá)不到目的例5已知nN，求證：.證明因?yàn)椋? (時間：90分鐘，總分120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，滿分50分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1用分析法證明不等式的推論過程一定是()A正向、逆向均可進(jìn)行正確的推理B只能進(jìn)行逆向推理C只能進(jìn)行正向推理D有時能正向推理，有時能逆向推理解析：選B在用分析法證明不等式時，是從求證的不等式出發(fā)，逐步探索使結(jié)論成立的充分條件即可，故只需進(jìn)行逆向推理即可2設(shè)alg 2lg 5，bex(x0)，則a與b的大小關(guān)系是()AabCab Dab解析：選Balg 2lg 51，bex(x0)，故bb.3已知a

9、，b，c，d為實(shí)數(shù)，ab0，則下列不等式中成立的是()Abcad BbcadC. D.解析：選B將兩邊同乘以正數(shù)ab，得bcad，所以bcad.4已知x10，x11，且xn1(nN*)，試證“數(shù)列xn對任意正整數(shù)n都滿足xnxn1”，當(dāng)此題用反證法否定結(jié)論時，應(yīng)為()A對任意的正整數(shù)n，都有xnxn1B存在正整數(shù)n，使xnxn1C存在正整數(shù)n(n2)，使xnxn1且xnxn1D存在正整數(shù)n(n2)，使(xnxn1)(xnxn1)0解析：選D命題的結(jié)論是等價于“數(shù)列xn是遞增數(shù)列或是遞減數(shù)列”，其反設(shè)是“數(shù)列既不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列”，由此可知選D.5用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方

10、程x3axb0至少有一個實(shí)根”時，要做的假設(shè)是()A方程x3axb0沒有實(shí)根B方程x3axb0至多有一個實(shí)根C方程x3axb0至多有兩個實(shí)根D方程x3axb0恰好有兩個實(shí)根解析：選A至少有一個實(shí)根的否定是沒有實(shí)根，故做的假設(shè)是“方程x3axb0沒有實(shí)根”6使不等式1成立的正整數(shù)a的最大值為()A10 B11C12 D13解析：選C用分析法可證a12時不等式成立，a13時不等式不成立7已知a，b，c，dR且S，則下列判斷中正確的是()A0S1 B1S2C2S3 D3S4解析：選B用放縮法，以上四個不等式相加，得1S0，b0，c0，且a2b2c2，則anbn與cn的大小關(guān)系為(n3，nN)()Aa

11、nbncn BanbncnCanbncn Danbncn解析：選B因?yàn)閍2b2c2，所以221.所以n2，n2，所以nn221.所以anbnNPQ BMPNQCMPQN DNPQM解析：選D，0sin cos .|sin |(|sin |sin |)|sin |M.P|sin |cos |PM.Q|sin |M，NPQM.二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，滿分20分把答案填寫在題中的橫線上)11用反證法證明“在ABC中，若A是直角，則B一定是銳角”時，應(yīng)假設(shè)_解析：“B一定是銳角”的否定是“B不是銳角”答案：B不是銳角12如果abab，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件是_解析：由知a0，知b0

12、，而abab，知ba.此時ab(ab)()2()0，不等式成立故實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件是a0，b0，ab.答案：a0，b0，ab13已知ab0，則與的大小關(guān)系是_解析：(ab).ab0，(ab)20，0.答案：14設(shè)0mnab，函數(shù)yf(x)在R上是減函數(shù)，下列四個數(shù)f，f，f，f的大小順序依次是_解析：1fff.答案：ffff三、解答題(本大題共4個小題，滿分50分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15(本小題滿分12分)設(shè)|a|1，|b|1，求證：|ab|ab|2.證明：當(dāng)ab與ab同號時，|ab|ab|abab|2|a|2；當(dāng)ab與ab異號時，|ab|ab|ab(ab)|2

13、|b|2.|ab|ab|2.16(本小題滿分12分)已知：在ABC中，CAB90，D是BC的中點(diǎn)，求證：ADBC，因?yàn)锽DDCBC，所以在ABD中，ADBD，從而BBAD.同理CCAD.所以BCBADCAD.即BCA.因?yàn)锽C180A，所以180AA即A90，與已知矛盾，故ADBC不成立由(1)(2)知ADBC成立17(本小題滿分12分)求證：13.證明：由(k是大于2的自然數(shù))，得111133.18(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)2|x1|x2|.(1)求f(x)的最小值m；(2)若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且滿足abcm，求證：3.解：(1)當(dāng)x1時，f(x)2(x1)(x2)3x(3，)；當(dāng)1x2時，f(x)2(x1)(x2)x43,6)；當(dāng)x2時，f(x)2(x1)(x2)3x6，)綜上，f(x)的最小值m3.(2)證明：a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且滿足abc3，因?yàn)?abc)22(abc)，當(dāng)且僅當(dāng)abc1時，取等號，所以abc，即3.