（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第1章 集合與常用邏輯用語 第1講 集合的概念與運(yùn)算學(xué)案

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1、 第1講　集合的概念與運(yùn)算 板塊一　知識梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識] 考點(diǎn)1　集合與元素 1．集合中元素的三個特征：確定性、互異性、無序性． 2．元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于兩種，用符號∈或?表示． 3．集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法． 4．常見數(shù)集的記法 集合 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實(shí)數(shù)集 符號 N N*(或N＋) Z Q R 考點(diǎn)2　集合間的基本關(guān)系 表示 關(guān)系　　 文字語言 符號語言 相等 集合A與集合B中的所有元素相同 A?B且B?A?A＝B 子集 A中任意一個元素均為B中的元素

2、A?B或B?A 真子集 A中任意一個元素均為B中的元素，且B中至少有一個元素不是A中的元素 AB或BA 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ??A?B(B≠?) 考點(diǎn)3　集合的基本運(yùn)算 [必會結(jié)論] 1．若有限集A中有n個元素，則集合A的子集個數(shù)為2n，真子集的個數(shù)為2n－1，非空真子集的個數(shù)為2n－2. 2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. 3．A∩(?UA)＝?；A∪(?UA)＝U；?U(?UA)＝A. [考點(diǎn)自測] 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)集合{x|y＝}與集合{y|y＝}是同一個集合．(　

3、　) (2)已知集合A＝{x|mx＝1}，B＝{1,2}，且A?B，則實(shí)數(shù)m＝1 或m＝.(　　) (3)M＝{x|x≤1}，N＝{x|x>ρ}，要使M∩N＝?，則ρ所滿足的條件是ρ≥1.(　　) (4)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，則集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中有4個元素．(　　) (5)若5∈{1，m＋2，m2＋4}，則m的取值集合為{1，－1,3}．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2．[2017·北京高考]若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，則A∩B＝(　　) A．{x|－2＜x＜－1}

4、B．{x|－2＜x＜3} C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3} 答案　A 解析　∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}， ∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故選A. 3．[課本改編]已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0

5、則(　　) A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝? 答案　A 解析　∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}． 又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}． 故選A. 5．[2018·重慶模擬]已知集合A＝{x∈N|πx<16}，B＝{x|x2－5x＋4<0}，則A∩(?RB)的真子集的個數(shù)為(　　) A．1 B．3 C．4 D．7 答案　B 解析　因?yàn)锳＝{x∈N|πx<16}＝{0,1,2}，B＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|1

6、≥4}，故A∩(?RB)＝{0,1}，故A∩(?RB)的真子集的個數(shù)為3.故選B. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　集合的基本概念 例1　(1)[2017·鄭州模擬]已知集合A＝{x|y＝，x∈Z}，B＝{p－q|p∈A，q∈A}，則集合B中元素的個數(shù)為(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 答案　C 解析　由題意知A＝{－1,0,1}，當(dāng)p＝－1，q＝－1，0,1時，p－q＝0，－1，－2；當(dāng)p＝0，q＝－1,0,1時，p－q＝1,0，－1；當(dāng)p＝1，q＝－1,0,1時，p－q＝2,1,0.根據(jù)集合中元素的互異性可知，集合B中的元素為－2，－1，0,1,2，共計(jì)

7、5個，選C. (2)已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，則a＝________. 答案?。? 解析　由A∩B＝{－3}知，－3∈B. 又a2＋1≥1，故只有a－3，a－2可能等于－3. ①當(dāng)a－3＝－3時，a＝0，此時A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－2,1}，A∩B＝{1，－3}．故a＝0舍去． ②當(dāng)a－2＝－3時，a＝－1， 此時A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}， 滿足A∩B＝{－3}，故a＝－1. 觸類旁通 解決集合概念問題的一般思路 (1)研究一個集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制

8、條件，當(dāng)集合用描述法表示時，注意弄清其元素表示的意義是什么．本例(1)集合B中的代表元素為實(shí)數(shù)p－q. (2)要深刻理解元素的互異性，在解決集合中含有字母的問題時，一定要返回代入驗(yàn)證，防止與集合中元素的互異性相矛盾． 【變式訓(xùn)練1】　(1)[2018·昆明模擬]若集合A＝{x|x2－9x<0，x∈N*}，B＝∈N*，y∈N*，則A∩B中元素的個數(shù)為________． 答案　3 解析　解不等式x2－9x<0可得0

9、素的個數(shù)為3. (2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則m的值為________． 答案　－ 解析　因?yàn)?∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3. 當(dāng)m＋2＝3，即m＝1時，2m2＋m＝3， 此時集合A中有重復(fù)元素3， 所以m＝1不符合題意，舍去； 當(dāng)2m2＋m＝3時，解得m＝－或m＝1(舍去)， 此時當(dāng)m＝－時，m＋2＝≠3符合題意． 所以m＝－. 考向　集合間的基本關(guān)系 例　2　已知集合A＝{x|x<－3或x>7}，B＝{x|x<2m－1}，若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 答案　(－∞，－1] 解析　由題意知2m－1≤－3，m≤－1，

10、∴m的取值范圍是(－∞，－1]． 　本例中的B改為B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，其余不變，該如何求解？ 解　當(dāng)B＝?時，有m＋1>2m－1，則m<2. 當(dāng)B≠?時，或 解得m>6.綜上可知m的取值范圍是(－∞，2)∪(6，＋∞)． 　本例中的A改為A＝{x|－3≤x≤7}，B改為B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又該如何求解？ 解　當(dāng)B＝?時，滿足B?A，此時有m＋1>2m－1，即m<2；當(dāng)B≠?時，要使B?A，則有解得2≤m≤4. 綜上可知m的取值范圍是(－∞，4]． 觸類旁通 根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時，必須優(yōu)先考慮空

11、集的情況，否則會造成漏解． (2)已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題． 【變式訓(xùn)練2】　設(shè)A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}． (1)若a＝，試判定集合A與B的關(guān)系； (2)若BA，求實(shí)數(shù)a組成的集合C. 解　(1)由x2－8x＋15＝0， 得x＝3或x＝5，∴A＝{3,5}． 若a＝，由ax－1＝0，得x－1＝0，即x＝5. ∴B＝{5}．∴BA. (2)∵A＝{3,5}，又BA， 故若B＝?，則方程ax－1＝0無解，有a＝0； 若B≠

12、?，則a≠0，由ax－1＝0，得x＝. ∴＝3或＝5，即a＝或a＝. 故C＝. 考向　集合的基本運(yùn)算 命題角度1　集合的交集及運(yùn)算 例　3　[2017·山東高考]設(shè)集合M＝{x||x－1|<1}，N＝{x|x<2}，則M∩N＝(　　) A．(－1,1) B．(－1,2) C．(0,2) D．(1,2) 答案　C 解析　∵M(jìn)＝{x|00}，B＝{y|y＝

13、ex＋1}，則A∪B等于(　　) A．{x|x<2} B．{x|11} D．{x|x>0} 答案　D 解析　由2x－x2>0得01，故B＝{y|y>1}，所以A∪B＝{x|x>0}．故選D. 命題角度3　集合的補(bǔ)集及運(yùn)算 例　5　[2016·浙江高考]已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，則P∪(?RQ)＝(　　) A．[2,3] B．(－2,3] C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 答案　B 解析　∵Q＝(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴?RQ

14、＝(－2,2)，∴P∪(?RQ)＝(－2,3]．故選B. 命題角度4　抽象集合的運(yùn)算 例　6　[2018·唐山統(tǒng)一測試]若全集U＝R，集合A＝≤0，B＝{x|2x<1}，則下圖中陰影部分表示的集合是(　　) A．{x|2

15、先化簡再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問題簡單明了，易于解決． (3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖． 核心規(guī)律 解決集合問題，要正確理解有關(guān)集合的含義，認(rèn)清集合元素的屬性；再依據(jù)元素的不同屬性，采用不同的方法對集合進(jìn)行化簡求解，一般的規(guī)律為： (1)若給定的集合是不等式的解集，用數(shù)軸來解； (2)若給定的集合是點(diǎn)集，用數(shù)形結(jié)合法求解； (3)若給定的集合是抽象集合，用Venn圖求解． 滿分策略 1.元素的屬性：描述法表示集合問題時，認(rèn)清集合中元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)是正確求解集合問題的先決條件． 2.

16、元素的互異性：在解決含參數(shù)的集合問題時，要注意檢驗(yàn)集合中元素的互異性，否則很可能會因?yàn)椴粷M足“互異性”而導(dǎo)致解題錯誤． 3.空集的特殊性：在解決有關(guān)A∩B＝?，A?B等集合問題時，要先考慮?是否成立，以防漏解. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 創(chuàng)新交匯系列1——集合中的創(chuàng)新性問題 [2018·吉林模擬]設(shè)全集U＝{1,2,3,4,5,6}，且U的子集可表示由0,1組成的6位字符串，如：{2,4}表示的是自左向右的第2個字符為1，第4個字符為1，其余字符均為0的6位字符串010100，并規(guī)定空集表示的字符串為000000. (1)若M＝{2,3,6}，則?UM表示的6位字符串為______

17、__； (2)已知A＝{1,3}，B?U，若集合A∪B表示的字符串為101001，則滿足條件的集合B的個數(shù)是________． 解題視點(diǎn)　考查新定義問題，關(guān)鍵是正確理解題目中的新定義，利用集合間的關(guān)系及運(yùn)算解決問題． 解析　(1)由已知得，?UM＝{1,4,5}， 則?UM表示的6位字符串為100110. (2)由題意可知A∪B＝{1,3,6}， 而A＝{1,3}，B?U， 則B可能為{6}，{1,6}，{3,6}，{1,3,6}，故滿足條件的集合B的個數(shù)是4. 答案　(1)100110　(2)4 答題啟示　解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點(diǎn)：(1)緊扣新定義.首先分析

18、新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；(2)用好集合的性質(zhì).解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的運(yùn)算與性質(zhì). 跟蹤訓(xùn)練 設(shè)A是整數(shù)集的一個非空子集，對于k∈A，如果k－1?A且k＋1?A，那么k是A的一個“孤立元”，給定A＝{1,2,3,4,5}，則A的所有子集中，只有一個“孤立元”的集合共有(　　) A．10個 B．11個 C．12個 D．13個 答案　D 解析　“孤立元”是1的集合：{1}，{1,3,4}，{1,4,5}，{1,3,4,5}． “孤

19、立元”是2的集合：{2}，{2,4,5}． “孤立元”是3的集合：{3}． “孤立元”是4的集合：{4}，{1,2,4}． “孤立元”是5的集合：{5}，{1,2,5}，{2,3,5}，{1,2,3,5}．共有13個．故選D. 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．[2017·全國卷Ⅱ]設(shè)集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，則B＝(　　) A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5} 答案　C 解析　∵A∩B＝{1}，∴1∈B. ∴1－4＋m＝0，即m＝3. ∴B＝{x|x2－4x＋3

20、＝0}＝{1,3}．故選C. 2．若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，則(　　) A．M＝N B．M?N C．N?M D．M∩N＝? 答案　C 解析　M＝{x||x|≤1}＝[－1,1]，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝[0,1]，所以N?M.故選C. 3．[2017·山東高考]設(shè)函數(shù)y＝的定義域?yàn)锳，函數(shù)y＝ln (1－x)的定義域?yàn)锽，則A∩B＝(　　) A．(1,2) B．(1,2] C．(－2,1) D．[－2,1) 答案　D 解析　∵4－x2≥0，∴－2≤x≤2，∴A＝[－2,2]． ∵1－x＞0，∴x＜1，

21、∴B＝(－∞，1)，∴A∩B＝[－2,1)． 故選D. 4．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，則m的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2) B．[2，＋∞) C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 答案　D 解析　因?yàn)锳∪B＝A，所以B?A，即m∈A，得m2≥4，解得m≥2或m≤－2.故選D. 5．[2017·全國卷Ⅲ]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，則A∩B中元素的個數(shù)為(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 答案　B 解析　集合A表示以原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓上的所有點(diǎn)的

22、集合，集合B表示直線y＝x上的所有點(diǎn)的集合． 由圖形可知，直線與圓有兩個交點(diǎn)，所以A∩B中元素的個數(shù)為2.故選B. 6．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

23、1,2} C．{x|0≤x<3} D．{x|0≤x≤3} 答案　B 解析　題圖中陰影部分表示的是A∩B，因?yàn)锳＝≤0}＝}＝{x∈Z|0≤x<3}＝{0,1,2}，B＝{x∈Z|－3≤x≤3}＝{－3，－2，－1，0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1,2}．故選B. 8．設(shè)集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x－1. 9．[2018·鄭州模擬]已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝，且A∩B＝(－1，n

24、)，則m＝________，n＝________. 答案?。?　1 解析　A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5

25、∩B＝{－2，－1} B．(?RA)∪B＝(－∞，0) C．A∪B＝(0，＋∞) D．(?RA)∩B＝{－2，－1} 答案　D 解析　因?yàn)锳＝(0，＋∞)，所以A∩B＝{1,2}，(?RA)∪B＝{y|y≤0或y＝1,2}，A∪B＝{y|y>0或y＝－1，－2}，(?RA)∩B＝{－1，－2}．所以D正確． 2．[2018·湖南模擬]設(shè)常數(shù)a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，則a的取值范圍為(　　) A．(－∞，2) B．(－∞，2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 答案　B 解析　集合A討論后利用數(shù)軸可知

26、或 解得1≤a≤2或a≤1，即a≤2.故選B. 3．已知數(shù)集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1

27、誤． 4．已知集合A＝{x∈R|x2－ax＋b＝0}，B＝{x∈R|x2＋cx＋15＝0}，A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}． (1)求實(shí)數(shù)a，b，c的值； (2)設(shè)集合P＝{x∈R|ax2＋bx＋c≤7}，求集合P∩Z. 解　(1)因?yàn)锳∩B＝{3}，所以3∈B，所以32＋3c＋15＝0，c＝－8，所以B＝{x∈R|x2－8x＋15＝0}＝{3,5}． 又因?yàn)锳∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}，所以A＝{3}，所以方程x2－ax＋b＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根都是3，所以a＝6，b＝9，所以a＝6，b＝9，c＝－8. (2)不等式ax2＋bx＋c≤7即6x2＋9x－8≤7， 所以2

28、x2＋3x－5≤0， 所以－≤x≤1， 所以P＝－≤x≤1}， 所以P∩Z＝－≤x≤1}∩Z＝{－2，－1,0,1}． 5．[2018·南寧段考]已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|x2－3x≤10}． (1)若a＝3，求(?RP)∩Q； (2)若P∪Q＝Q，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　(1)因?yàn)閍＝3，所以P＝{x|4≤x≤7}， ?RP＝{x|x<4或x>7}． 又Q＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，所以(?RP)∩Q＝{x|x<4或x>7}∩{x|－2≤x≤5}＝{x|－2≤x＜4}． (2)當(dāng)P≠?時，由P∪Q＝Q得P?Q， 所以解得0≤a≤2； 當(dāng)P＝?，即2a＋1