（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系和參數(shù)方程 第1節(jié) 坐標(biāo)系學(xué)案 理 新人教B版

《（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系和參數(shù)方程 第1節(jié) 坐標(biāo)系學(xué)案 理 新人教B版》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系和參數(shù)方程 第1節(jié) 坐標(biāo)系學(xué)案 理 新人教B版（12頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第1節(jié)　坐標(biāo)系 最新考綱　1.了解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況；2.了解極坐標(biāo)的基本概念，會(huì)在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫(huà)點(diǎn)的位置，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；3.能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形表示的極坐標(biāo)方程. 知 識(shí) 梳 理 1.平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換 設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P′(x′，y′)，稱(chēng)φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換. 2.極坐標(biāo)系與點(diǎn)的極坐標(biāo) (1)極坐標(biāo)系：如圖所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O(極點(diǎn))；自極點(diǎn)O引一條射線(xiàn)Ox(極軸)；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一

2、個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系. (2)極坐標(biāo)：平面上任一點(diǎn)M的位置可以由線(xiàn)段OM的長(zhǎng)度ρ和從Ox到OM的角度θ來(lái)刻畫(huà)，這兩個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)對(duì)(ρ，θ)稱(chēng)為點(diǎn)M的極坐標(biāo).其中ρ稱(chēng)為點(diǎn)M的極徑，θ稱(chēng)為點(diǎn)M的極角. 3.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 點(diǎn)M 直角坐標(biāo)(x，y) 極坐標(biāo)(ρ，θ) 互化 公式 ρ2＝x2＋y2 tan θ＝(x≠0) 4.圓的極坐標(biāo)方程 曲線(xiàn) 圖形 極坐標(biāo)方程 圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓 ρ＝r(0≤θ＜2π) 圓心為(r，0)，半徑為r的圓 ρ＝2rcos__θ 圓心為，半徑

3、為r的圓 ρ＝2rsin__θ (0≤θ＜π) 5.直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程 (1)直線(xiàn)l過(guò)極點(diǎn)，且極軸到此直線(xiàn)的角為α，則直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程是θ＝α(ρ∈R). (2)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)M(a，0)且垂直于極軸，則直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρcos__θ＝a. (3)直線(xiàn)過(guò)M且平行于極軸，則直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρsin__θ＝b. 診 斷 自 測(cè) 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，在極坐標(biāo)系中點(diǎn)與坐標(biāo)也是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.(　　) (2)若點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1，－)，則點(diǎn)P的一個(gè)極坐標(biāo)是.(　　) (3)在極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方

4、程不是唯一的.(　　) (4)極坐標(biāo)方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲線(xiàn)是一條直線(xiàn).(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.(教材習(xí)題改編)若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線(xiàn)段y＝1－x(0≤x≤1)的極坐標(biāo)方程為(　　) A.ρ＝，0≤θ≤ B.ρ＝，0≤θ≤ C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ 解析　∵y＝1－x(0≤x≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)； ∴ρ＝. 答案　A 3.在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立

5、極坐標(biāo)系.若曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ，則曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為_(kāi)_______. 解析　由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0. 答案　x2＋y2－2y＝0 4.(2017·北京卷)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在圓ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)，則|AP|的最小值為_(kāi)_______. 解析　由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1， 圓心坐標(biāo)為C(1，2)，半徑長(zhǎng)為1. ∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)，∴點(diǎn)P在圓C外

6、. 又∵點(diǎn)A在圓C上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1. 答案　1 5.已知直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為2ρsin＝，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為A，則點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離為_(kāi)_______. 解析　由2ρsin＝，得2ρ＝， ∴y－x＝1. 由A，得點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(2，－2). ∴點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離d＝＝. 答案　 考點(diǎn)一　平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換 【例1】 求雙曲線(xiàn)C：x2－＝1經(jīng)過(guò)φ：變換后所得曲線(xiàn)C′的焦點(diǎn)坐標(biāo). 解　設(shè)曲線(xiàn)C′上任意一點(diǎn)P′(x′，y′)， 由得 代入曲線(xiàn)C：x2－＝1，得－＝1， 即曲線(xiàn)C′的方程為－＝1， 因此曲線(xiàn)C′的焦點(diǎn)F1(－

7、5，0)，F(xiàn)2(5，0). 規(guī)律方法　1.平面上的曲線(xiàn)y＝f(x)在變換φ：的作用下的變換方程的求法是將代入y＝f(x)，整理得y′＝h(x′)為所求. 2.解答該類(lèi)問(wèn)題應(yīng)明確兩點(diǎn)：一是根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換公式的意義與作用；二是明確變換前的點(diǎn)P(x，y)與變換后的點(diǎn)P′(x′，y′)的坐標(biāo)關(guān)系，用方程思想求解. 【訓(xùn)練1】 在平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換φ： (1)求點(diǎn)A經(jīng)過(guò)φ變換所得點(diǎn)A′的坐標(biāo)； (2)求直線(xiàn)l：y＝6x經(jīng)過(guò)φ變換后所得直線(xiàn)l′的方程. 解　(1)設(shè)點(diǎn)A′(x′，y′)，由伸縮變換φ： 得∴ ∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(1，－1). (2)設(shè)P′(x′，

8、y′)是直線(xiàn)l′上任意一點(diǎn). 由伸縮變換φ：得 代入y＝6x，得2y′＝6·＝2x′，即y′＝x′， ∴y＝x為所求直線(xiàn)l′的方程. 考點(diǎn)二　極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 【例2－1】 在極坐標(biāo)系下，已知圓O：ρ＝cos θ＋sin θ和直線(xiàn)l：ρsin＝. (1)求圓O和直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程； (2)當(dāng)θ∈(0，π)時(shí)，求直線(xiàn)l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo). 解　(1)圓O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圓O的直角坐標(biāo)方程為：x2＋y2＝x＋y， 即x2＋y2－x－y＝0， 直線(xiàn)l：ρsin＝， 即ρsin θ－ρcos θ＝1， 則直線(xiàn)l

9、的直角坐標(biāo)方程為：y－x＝1，即x－y＋1＝0. (2)由得 故直線(xiàn)l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為. 【例2－2】 (2016·北京卷改編)在極坐標(biāo)系中，已知極坐標(biāo)方程C1：ρcos θ－ ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ. (1)求曲線(xiàn)C1，C2的直角坐標(biāo)方程，并判斷兩曲線(xiàn)的形狀； (2)若曲線(xiàn)C1，C2交于A，B兩點(diǎn)，求兩交點(diǎn)間的距離. 解　(1)由C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0， ∴x－y－1＝0，表示一條直線(xiàn). 由C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ. ∴x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1. 所以C2是圓心為(1，0)，半徑r

10、＝1的圓. (2)由(1)知，點(diǎn)(1，0)在直線(xiàn)x－y－1＝0上， 所以直線(xiàn)C1過(guò)圓C2的圓心. 因此兩交點(diǎn)A，B的連線(xiàn)段是圓C2的直徑. 所以?xún)山稽c(diǎn)A，B間的距離|AB|＝2r＝2. 規(guī)律方法　1.進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的關(guān)鍵是抓住互化公式；x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0). 2.進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化時(shí)，要注意ρ，θ的取值范圍及其影響；要善于對(duì)方程進(jìn)行合理變形，并重視公式的逆向與變形使用；要靈活運(yùn)用代入法和平方法等技巧. 【訓(xùn)練2】 (1)在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已

11、知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為ρcos＝a，且點(diǎn)A在直線(xiàn)上，求a的值及直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程. (2)把曲線(xiàn)C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0化為極坐標(biāo)方程. 解　(1)∵點(diǎn)A在直線(xiàn)ρcos＝a上， ∴a＝cos＝， 所以直線(xiàn)的方程可化為ρcos θ＋ρsin θ＝2， 從而直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為x＋y－2＝0. (2)將代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0， 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0， 所以C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 考點(diǎn)三　曲線(xiàn)極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 【例3－1】 (2017·全國(guó)Ⅱ卷)在直角坐標(biāo)系x

12、Oy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝4. (1)設(shè)點(diǎn)M為曲線(xiàn)C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段OM上，且|OM|·|OP|＝16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線(xiàn)C2上，求△OAB面積的最大值. 解　(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)(ρ>0)，M的極坐標(biāo)為(ρ1，θ)(ρ1>0). 由題設(shè)知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝. 由|OM|·|OP|＝16得C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ(ρ>0). 因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0). (2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(ρB，α)(ρB>0

13、). 由題設(shè)知|OA|＝2，ρB＝4cos α， 于是△OAB的面積 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB ＝4cos α· ＝2≤2＋. 當(dāng)α＝－時(shí)，S取得最大值2＋. 所以△OAB面積的最大值為2＋. 【例3－2】 (2016·全國(guó)Ⅰ卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C2：ρ＝4cos θ. (1)說(shuō)明C1是哪一種曲線(xiàn)，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程； (2)直線(xiàn)C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α0，其中α0滿(mǎn)足tan α0＝2，若曲線(xiàn)C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a. 解　(1)消去t，得C

14、1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2， ∴曲線(xiàn)C1表示以點(diǎn)(0，1)為圓心，a為半徑的圓. 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－ 2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲線(xiàn)C1，C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組 若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0， 從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1. 當(dāng)a＝1時(shí)，極點(diǎn)也為C1，C2的公共點(diǎn)，且在C3上. 所以a＝1. 規(guī)律方法　1.(1)例3－1中利用極徑、極角的幾何

15、意義，表示△AOB的面積，借助三角函數(shù)的性質(zhì)求最值優(yōu)化了解題過(guò)程. (2)例3－2第(1)題將曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程先化成普通方程，再化為極坐標(biāo)方程，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力.第(2)題中關(guān)鍵是理解極坐標(biāo)方程的含義，消去ρ，建立與直線(xiàn)C3：θ＝α0的聯(lián)系，進(jìn)而求a. 2.由極坐標(biāo)方程求曲線(xiàn)交點(diǎn)、距離等幾何問(wèn)題時(shí)，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，可先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后求解. 【訓(xùn)練3】 (2018·太原一模)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，曲線(xiàn)C2：x2＋y2－2y＝0.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線(xiàn)l：θ＝α(ρ≥0)與曲線(xiàn)C1，C2分別交于點(diǎn)A

16、，B(均異于原點(diǎn)O). (1)求曲線(xiàn)C1，C2的極坐標(biāo)方程； (2)當(dāng)0<α<時(shí)，求|OA|2＋|OB|2的取值范圍. 解　(1)C1的普通方程為＋y2＝1， C1的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2 θ＋2ρ2sin2 θ－2＝0， C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ. (2)聯(lián)立θ＝α(ρ≥0)與C1的極坐標(biāo)方程得|OA|2＝， 聯(lián)立θ＝α(ρ≥0)與C2的極坐標(biāo)方程得|OB|2＝4sin2α， 則|OA|2＋|OB|2＝＋4sin2α ＝＋4(1＋sin2α)－4. 令t＝1＋sin2α， 則|OA|2＋|OB|2＝＋4t－4， 當(dāng)0<α<時(shí)，t∈(1，2). 設(shè)f(t)

17、＝＋4t－4，易得f(t)在(1，2)上單調(diào)遞增， ∴2<|OA|2＋|OB|2<5， 故|OA|2＋|OB|2的取值范圍是(2，5). 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：50分鐘) 1.(2017·天津卷改編)在極坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)4ρcos＋1＝0與圓ρ＝ 2sin θ，試判定直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系. 解　由4ρcos＋1＝0得2ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，故直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為2x＋2y＋1＝0. 由ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ， 故圓的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2y，則x2＋(y－1)2＝1. 圓心為(0，1)，半徑為r＝1. ∵圓心到直線(xiàn)2x＋2y＋

18、1＝0的距離d＝＝<1， ∴直線(xiàn)與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn). 2.以直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，已知曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為ρ＝. (1)將曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)過(guò)極點(diǎn)O作直線(xiàn)l交曲線(xiàn)于點(diǎn)P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程. 解　(1)∵ρ＝，ρsin θ＝y(tǒng)， ∴ρ＝化為ρ－ρsin θ＝2， ∴曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為x2＝4y＋4. (2)設(shè)直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為θ＝θ0(ρ∈R)， 根據(jù)題意＝3·， 解得θ0＝或θ0＝， 直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R). 3.(2018·衡水模擬)在極坐標(biāo)系中

19、，已知曲線(xiàn)C1：ρ＝2與C2：ρcos＝交于兩點(diǎn)A，B. (1)求兩交點(diǎn)的極坐標(biāo)； (2)求線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程. 解　(1)C1：ρ＝2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4， C2：ρcos＝的方程即ρcos θ＋ρsin θ＝2， 化為直角坐標(biāo)方程得x＋y－2＝0. 由解得或 所以?xún)山稽c(diǎn)為(0，2)，(2，0)，化為極坐標(biāo)為，(2，0). (2)易知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，0)及線(xiàn)段AB的中點(diǎn)(1，1)，所以其方程為y＝x，化為極坐標(biāo)方程得θ＝(ρ∈R). 4.(2018·西安調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1：(t為參數(shù)，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸

20、正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C2：ρ＝ 2sin θ，C3：ρ＝2cos θ. (1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)； (2)若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值. 解　(1)曲線(xiàn)C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0，曲線(xiàn)C3的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0. 聯(lián)立解得或 所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0，0)和. (2)曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)， 其中0≤α＜π. 因此A的極坐標(biāo)為(2sin α，α)，B的極坐標(biāo)為(2cos α，α). 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4. 當(dāng)α＝時(shí)，|AB|取得最

21、大值，最大值為4. 5.在極坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρsin ＝1，圓C的圓心的極坐標(biāo)是C，圓的半徑為1. (1)求圓C的極坐標(biāo)方程； (2)求直線(xiàn)l被圓C所截得的弦長(zhǎng). 解　(1)設(shè)O為極點(diǎn)，OD為圓C的直徑，A(ρ，θ)為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則∠AOD＝－θ或∠AOD＝θ－， |OA|＝|OD|cos或|OA|＝|OD|cos. 所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos. (2)由ρsin＝1，得ρ(sin θ＋cos θ)＝1， ∴直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－＝0， 又圓心C的直角坐標(biāo)為滿(mǎn)足直線(xiàn)l的方程， ∴直線(xiàn)l過(guò)圓C的圓心， 故直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為直徑2.

22、 能力提升題組 (建議用時(shí)：30分鐘) 6.(2015·全國(guó)Ⅰ卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程； (2)若直線(xiàn)C3的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求△C2MN的面積. 解　(1)因?yàn)閤＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝－2， C2的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)將θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0， 得ρ2－3ρ＋4＝0

23、，解得ρ1＝2，ρ2＝. 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝. 由于C2的半徑為1，則易得△C2MN為直角三角形， 所以△C2MN的面積為S＝×12＝. 7.(2018·合肥二模)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ. (1)求出圓C的直角坐標(biāo)方程； (2)已知圓C與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l：y＝2x關(guān)于點(diǎn)M(0，m)(m≠0)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)為l′.若直線(xiàn)l′上存在點(diǎn)P使得∠APB＝90°，求實(shí)數(shù)m的最大值. 解　(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ， 故x2＋y2－4x＝0，即圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－

24、2)2＋y2＝4. (2)l：y＝2x關(guān)于點(diǎn)M(0，m)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)l′的方程為y＝2x＋2m. 依題設(shè)，易知AB為圓C的直徑， 故直線(xiàn)l′上存在點(diǎn)P使得∠APB＝90°的充要條件是直線(xiàn)l′與圓C有公共點(diǎn). 因此≤2，于是，實(shí)數(shù)m的最大值為－2. 8.已知曲線(xiàn)C1：x＋y＝和C2：(φ為參數(shù)).以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位. (1)把曲線(xiàn)C1和C2的方程化為極坐標(biāo)方程； (2)設(shè)C1與x，y軸交于M，N兩點(diǎn)，且線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為P.若射線(xiàn)OP與C1，C2交于P，Q兩點(diǎn)，求P，Q兩點(diǎn)間的距離. 解　(1)曲線(xiàn)C1化為ρcos θ＋ρsin θ＝. ∴ρsin＝. 曲線(xiàn)C2化為＋＝1(*) 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(*)式 得cos2θ＋sin2θ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6. ∴曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＝. (2)∵M(jìn)(，0)，N(0，1)，∴P， ∴OP的極坐標(biāo)方程為θ＝， 把θ＝代入ρsin＝，得ρ1＝1，P. 把θ＝代入ρ2＝，得ρ2＝2，Q. ∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q兩點(diǎn)間的距離為1. 12