（浙江專版）2019版高考數(shù)學大一輪復習 第七章 數(shù)列與數(shù)學歸納法 第4節(jié) 數(shù)列求和學案 理

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1、 第4節(jié)　數(shù)列求和 最新考綱　1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式；2.了解非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見方法． 知 識 梳 理 求數(shù)列的前n項和的方法 (1)公式法 ①等差數(shù)列的前n項和公式 Sn＝＝na1＋d． ②等比數(shù)列的前n項和公式 (ⅰ)當q＝1時，Sn＝na1； (ⅱ)當q≠1時，Sn＝＝. (2)分組轉化法 把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解． (3)裂項相消法 把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項． (4)倒序相加法 把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導過程的推廣．

2、 (5)錯位相減法 主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導過程的推廣． (6)并項求和法 一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [常用結論與微點提醒] 1．一些常見數(shù)列的前n項和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝； (2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2； (3)2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n. 2．常見的裂項公式 (

3、1)＝－. (2)＝. (3)＝－. 診 斷 自 測 1．思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項和Sn＝.(　　) (2)當n≥2時，＝(－)．(　　) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan時只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得．(　　) (4)若數(shù)列a1，a2－a1，…，an－an－1是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項公式是an＝.(　　) 解析　(3)要分a＝0或a＝1或a≠0且a≠1討論求解． 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(必修5P38A改編)等

4、差數(shù)列{an}中，已知公差d＝，且a1＋a3＋…＋a99＝50，則a2＋a4＋…＋a100＝(　　) A．50 B．75 C．100 D．125 解析　a2＋a4＋…＋a100＝(a1＋d)＋(a3＋d)＋…＋(a99＋d)＝(a1＋a3＋…＋a99)＋50d＝50＋50×＝75. 答案　B 3．若數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項和為(　　) A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2 解析　Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2. 答案　C 4．(必修5P38T8改編)一個球從100

5、m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當它第10次著地時，經(jīng)過的路程是(　　) A．100＋200(1－2－9) B．100＋100(1－2－9) C．200(1－2－9) D．100(1－2－9) 解析　第10次著地時，經(jīng)過的路程為100＋2(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200×＝100＋200(1－2－9)． 答案　A 5．(必修5P61A4(3)改編)1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝________(x≠0且x≠1)． 解析　設Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，① 則xSn＝x

6、＋2x2＋3x3＋…＋nxn，② ①－②得：(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn ＝－nxn， ∴Sn＝－. 答案?。? 6．(2018·麗水測試)“斐波那契數(shù)列”是數(shù)學史上一個著名數(shù)列，在斐波那契數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)則a7＝________；若a2 018＝m，則數(shù)列{an}的前2 016項和是________(用m表示)． 解析　①∵a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)，∴a3＝1＋1＝2，同理可得：a4＝3，a5＝5，a6＝8，則a7＝13. ②∵a1＝1，a2＝1，an＋an＋1＝an＋2

7、(n∈N*)， ∴a1＋a2＝a3， a2＋a3＝a4， a3＋a4＝a5， …， a2 015＋a2 016＝a2 017 a2 016＋a2 017＝a2 018. 以上累加得， a1＋2a2＋2a3＋2a4＋…＋2a2 016＋a2 017＝a3＋a4＋…＋a2 018， ∴a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2 016＝a2 018－a2＝m－1. 答案　13　m－1 考點一　分組轉化法求和 【例1】 (2016·天津卷)已知{an}是等比數(shù)列，前n項和為Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63. (1)求{an}的通項公式； (2)若對任意的n∈N*，bn是lo

8、g2an和log2an＋1的等差中項，求數(shù)列{(－1)nb}的前2n項和． 解　(1)設數(shù)列{an}的公比為q. 由已知，有－＝， 解得q＝2或q＝－1. 又由S6＝a1·＝63，知q≠－1， 所以a1·＝63，得a1＝1.所以an＝2n－1. (2)由題意，得bn＝(log2an＋log2an＋1)＝(log22n－1＋log22n)＝n－， 即{bn}是首項為，公差為1的等差數(shù)列． 設數(shù)列{(－1)nb}的前n項和為Tn，則 T2n＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b) ＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝＝2n2. 規(guī)律方法　(1)若數(shù)列{cn

9、}的通項公式為cn＝an±bn，且{an}，{bn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項和． (2)若數(shù)列{cn}的通項公式為cn＝其中數(shù)列{an}，{bn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求{an}的前n項和． 【訓練1】 (1)數(shù)列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n項和Sn的值等于(　　) A．n2＋1－ B．2n2－n＋1－ C．n2＋1－ D．n2－n＋1－ (2)(2017·杭州七校聯(lián)考)數(shù)列{an}的通項公式an＝ncos，其前n項和為Sn，則S2 016等于(　　) A．1 008 B．2 016 C．504

10、D．0 解析　(1)該數(shù)列的通項公式為an＝(2n－1)＋， 則Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝n2＋1－. (2)a1＝cos ＝0，a2＝2 cos π＝－2，a3＝0，a4＝4，…. 所以數(shù)列{an}的所有奇數(shù)項為0，前2 016項的所有偶數(shù)項(共1 008項)依次為－2，4，－6，8，…，－2 014，2 016. 故S2 016＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2 014＋2 016)＝1 008. 答案　(1)A　(2)A 考點二　裂項相消法求和 【例2】 Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通

11、項公式； (2)設bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和． 解　(1)由a＋2an＝4Sn＋3， 可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3. 可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1， 即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)． 由于an>0，可得an＋1－an＝2. 又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3. 所以{an}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，通項公式為an＝2n＋1. (2)由an＝2n＋1可知 bn＝＝＝. 設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝ ＝. 規(guī)律方法　(1)利用裂項相消法

12、求和時，應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項． (2)將通項公式裂項后，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等． 【訓練2】 (2017·全國Ⅲ卷)設數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n. (1)求{an}的通項公式； (2)求數(shù)列的前n項和． 解　(1)因為a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，① 故當n≥2時，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，② ①－②得(2n－1)an＝2，所以an＝， 又n＝1時，a1＝2適合上式， 從而{an}的通項公式為an＝. (

13、2)記的前n項和為Sn， 由(1)知＝＝－， 則Sn＝1－＋－＋…＋－ ＝1－＝. 考點三　錯位相減法求和 【例3】 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差數(shù)列，且an＝bn＋bn＋1. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式； (2)令cn＝.求數(shù)列{cn}的前n項和Tn. 解　(1)由題意知，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5. 當n＝1時，a1＝S1＝11，符合上式． 所以an＝6n＋5. 設數(shù)列{bn}的公差為d， 由即 可解得b1＝4，d＝3.所以bn＝3n＋1. (2)由(1)知，cn＝＝3(n＋1)·2n＋1.. 又Tn＝c1＋

14、c2＋…＋cn. 得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]． 2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]． 兩式作差，得 －Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2] ＝3×＝－3n·2n＋2. 所以Tn＝3n·2n＋2. 規(guī)律方法　(1)一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法求和． (2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式． 【訓練3】 (2017·山東卷)已知{an}是

15、各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2){bn}為各項非零的等差數(shù)列，其前n項和為Sn，已知S2n＋1＝bnbn＋1，求數(shù)列的前n項和Tn. 解　(1)設{an}的公比為q， 由題意知a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2， 又an>0，由以上兩式聯(lián)立方程組解得a1＝2，q＝2， 所以an＝2n. (2)由題意知S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1， 又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0， 所以bn＝2n＋1. 令cn＝，則cn＝， 因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn ＝＋＋＋…＋＋， 又Tn＝＋＋＋…＋＋， 兩

16、式相減得Tn＝＋－， 所以Tn＝5－. 基礎鞏固題組 一、選擇題 1．(2017·杭州調(diào)研)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知Sn＝ 1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，則S17＝(　　) A．9 B．8 C．17 D．16 解析　S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋ (－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9. 答案　A 2．數(shù)列{an}的通項公式為an＝(－1)n－1·(4n－3)，則它的前100項之和S100等于(　　) A．200 B．－200 C．40

17、0 D．－400 解析　S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200. 答案　B 3．(2018·湖州調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝2，a1＝ －5，則|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝(　　) A．9 B．15 C．18 D．30 解析　∵an＋1－an＝2，a1＝－5，∴數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列． ∴an＝－5＋2(n－1)＝2n－7. 數(shù)列{an}的前n項和Sn＝＝n2－6n. 令an＝2n－7≥0，解得n≥. ∴n≤

18、3時，|an|＝－an；n≥4時，|an|＝an. 則|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋a6＝ S6－2S3＝62－6×6－2(32－6×3)＝18. 答案　C 4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，an＋1an－1＝an(n≥2)，則數(shù)列{an}的前40項和S40等于(　　) A．20 B．40 C．60 D．80 解析　由an＋1＝(n≥2)，a1＝1，a2＝3，可得a3＝3，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝3，…，這是一個周期為6的數(shù)列，一個周期內(nèi)的6項之和為，又40＝6×6＋4，所以S40＝6×＋1＋3＋3＋1＝6

19、0. 答案　C 5．(2018·麗水測試)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，則S2 018＝(　　) A．22 018－1 B．3·21 009－3 C．3·21 009－1 D．3·21 009－2 解析　a1＝1，a2＝＝2，又＝＝2，∴＝2.∴a1，a3，a5，…成等比數(shù)列；a2，a4，a6，…成等比數(shù)列， ∴S2 018＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2 017＋a2 018 ＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 017)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 018) ＝＋＝3·21 009－3. 答案　B 6.＋＋＋…＋的

20、值為(　　) A. B.－ C.－ D.－＋ 解析　∵＝＝ ＝， ∴＋＋＋…＋ ＝ ＝＝－. 答案　C 二、填空題 7．(2017·嘉興一中檢測)有窮數(shù)列1，1＋2，1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n－1所有項的和為________． 解析　由題意知所求數(shù)列的通項為＝2n－1，故由分組求和法及等比數(shù)列的求和公式可得和為－n＝2n＋1－2－n. 答案　2n＋1－2－n 8．數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則S21＝________． 解析　由an＋an＋1＝＝an＋1＋an＋2，∴an＋2＝an，

21、則a1＝a3＝a5＝…＝a21，a2＝a4＝a6＝…＝a20， ∴S21＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a20＋a21) ＝1＋10×＝6. 答案　6 9．(2017·全國Ⅱ卷)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3＝3，S4＝10，則＝________． 解析　設等差數(shù)列{an}首項為a1，公差為d，則 由得∴Sn＝， ＝＝2， ∴＝＋＋＋…＋ ＝2 ＝2＝. 答案　 10．(2018·金華模擬)在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，則an＝______，S100＝______． 解析　當n為奇數(shù)時，an＋

22、2－an＝0；當n為偶數(shù)時，an＋2－an＝2，∴{an}的一個通項公式為an＝ ∴S100＝S奇＋S偶＝50×1＋＝2 600. 答案　　2 600 三、解答題 11．(2016·北京卷)已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通項公式； (2)設cn＝an＋bn，求數(shù)列{cn}的前n項和． 解　(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q， 由得 ∴bn＝b1qn－1＝3n－1， 又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27， ∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2. ∴an

23、＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1，2，3，…)． (2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1，因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1. 從而數(shù)列{cn}的前n項和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1 ＝＋＝n2＋. 12．已知數(shù)列{an}的前n項和是Sn，且Sn＋an＝1(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝log(1－Sn＋1)(n∈N*)，令Tn＝＋＋…＋，求Tn. 解　(1)當n＝1時，a1＝S1， 由S1＋a1＝1，得a1＝， 當n≥2時，Sn＝1－an，Sn－1＝1－an－1， 則Sn－

24、Sn－1＝(an－1－an)，即an＝(an－1－an)， 所以an＝an－1(n≥2)． 故數(shù)列{an}是以為首項，為公比的等比數(shù)列． 故an＝·＝2·(n∈N*)． (2)因為1－Sn＝an＝. 所以bn＝log(1－Sn＋1)＝log＝n＋1， 因為＝＝－， 所以Tn＝＋＋…＋ ＝＋＋…＋＝－＝. 能力提升題組 13．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝(n∈N*)，其前n項和為Sn，則在數(shù)列S1，S2，…，S2 016中，有理數(shù)項的項數(shù)為(　　) A．42 B．43 C．44 D．45 解析　an＝ ＝ ＝－. 所以Sn＝1－＋＋＋…＋＝1－，

25、 因此S3，S8，S15…為有理項，又下標3，8，15，…的通項公式為n2－1(n≥2)， 所以n2－1≤2 016，且n≥2， 所以2≤n≤44，所以有理項的項數(shù)為43. 答案　B 14．在數(shù)列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則數(shù)列{an}的前12項和等于(　　) A．76 B．78 C．80 D．82 解析　因為an＋1＋(－1)nan＝2n－1，所以a2－a1＝1， a3＋a2＝3，a4－a3＝5，a5＋a4＝7，a6－a5＝9，a7＋a6＝11，…，a11＋a10＝19，a12－a11＝21，所以a1＋a3＝2，a4＋a2＝8，…，a12＋a1

26、0＝40， 所以從第一項開始，依次取兩個相鄰奇數(shù)項的和都等于2，從第二項開始，依次取兩個相鄰偶數(shù)項的和構成以8為首項，以16為公差的等差數(shù)列，以上式相加可得，S12＝a1＋a2＋a3＋…＋a12＝(a1＋a3)＋(a5＋a7)＋(a9＋a11)＋(a2＋a4)＋(a6＋a8)＋(a10＋a12)＝3×2＋8＋24＋40＝78. 答案　B 15．(2017·臺州調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an＋1＝，則a1a2a3…a15＝________；設bn＝(－1)nan，數(shù)列{bn}前n項的和為Sn，則S2 016＝________． 解析　∵a1＝2，an＋1＝，∴a2＝＝－3，a

27、3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2. ∴a4n＋1＝2，a4n＋2＝－3，a4n＋3＝－，a4n＝. ∴a4n＋1·a4n＋2·a4n＋3·a4n＝2×(－3)××＝1. ∴a1a2a3…a15＝a13a14a15＝a1a2a3＝2×(－3)×＝3. ∵bn＝(－1)nan， ∴b4n＋1＝－2，b4n＋2＝－3，b4n＋3＝，b4n＝. ∴b4n＋1＋b4n＋2＋b4n＋3＋b4n＝－2－3＋＋＝－. ∴S2 016＝－×＝－2 100. 答案　3?。? 100 16．(2016·浙江卷)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*. (1)求

28、通項公式an； (2)求數(shù)列{|an－n－2|}的前n項和． 解　(1)由題意得 則又當n≥2時， 由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an. 所以，數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－1，n∈N*. (2)設bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，b1＝2，b2＝1， 當n≥3時，由于3n－1＞n＋2， 故bn＝3n－1－n－2，n≥3. 設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn， 則T1＝2，T2＝3， 當n≥3時，Tn＝3＋－＝， 所以Tn＝ 17．(2017·山東卷)已知{xn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1＋x2＝3，x3－x2

29、＝2. (1)求數(shù)列{xn}的通項公式； (2)如圖，在平面直角坐標系xOy中，依次連接點P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折線P1P2…Pn＋1，求由該折線與直線y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所圍成的區(qū)域的面積Tn. 解　(1)設數(shù)列{xn}的公比為q， 由題意得 所以3q2－5q－2＝0， 由已知q＞0， 所以q＝2，x1＝1. 因此數(shù)列{xn}的通項公式為xn＝2n－1. (2)過P1，P2，…，Pn＋1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，…，Qn＋1. 由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1， 記梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面積為bn， 由題意bn＝×2n－1＝(2n＋1)×2n－2， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2.① 又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1.② ①－②得 －Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1 ＝＋－(2n＋1)×2n－1. 所以Tn＝. 15