《（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 數(shù)列 第2講 等差數(shù)列及其前n項和學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 數(shù)列 第2講 等差數(shù)列及其前n項和學(xué)案（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第2講 等差數(shù)列及其前n項和
板塊一 知識梳理·自主學(xué)習(xí)
[必備知識]
考點1 等差數(shù)列的有關(guān)概念
1．定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．符號表示為an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))．
2．等差中項：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝，其中A叫做a，b的等差中項．
考點2 等差數(shù)列的有關(guān)公式
1．通項公式：an＝a1＋(n－1)d.
2．前n項和公式：Sn＝na1＋d＝.
[必會結(jié)論]
等差數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}
2、為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則am＋an＝2ap.
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d.
(4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．
(5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d, 則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．
(6)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn, 則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差數(shù)列，其公差為n2d.
[考點自測]
1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
3、
(1)等差數(shù)列的公差是相鄰兩項的差．( )
(2)若一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列．( )
(3)等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù)．( )
(4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( )
(5)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2．[課本改編]在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項和S11＝( )
A．58 B．88 C．143 D．176
答案 B
解析 因為
4、{an}是等差數(shù)列，所以a4＋a8＝2a6＝16?a6＝8，則該數(shù)列的前11項和為S11＝＝11a6＝88.故選B.
3．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9等于( )
A．63 B．45 C．36 D．27
答案 B
解析 S3，S6－S3，S9－S6成等差數(shù)列，即9,27，a7＋a8＋a9成等差數(shù)列，∴a7＋a8＋a9＝54－9＝45.故選B.
4．若等差數(shù)列{an}的前5項之和S5＝25，且a2＝3，則a7＝( )
A．12 B．13 C．14 D．15
答案 B
解析 由S5＝，得25＝，解得a4＝7，所以7＝3
5、＋2d，即d＝2，所以a7＝a4＋3d＝7＋3×2＝13.故選B.
5．[課本改編]在數(shù)列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，則a101＝________.
答案 52
解析 由2an＋1＝2an＋1，得an＋1－an＝，故數(shù)列{an}是首項為2，公差為的等差數(shù)列，所以a101＝2＋100×＝52.
6．[2018·蘇北四市模擬]在等差數(shù)列{an}中，已知a2＋a8＝11，則3a3＋a11的值為________．
答案 22
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意可得a2＋a8＝11＝2a5，則a5＝，所以3a3＋a11＝3(a5－2d)＋a5＋6d＝4a5＝4×＝2
6、2.
板塊二 典例探究·考向突破
考向 等差數(shù)列的基本運算
例 1 (1)[2017·全國卷Ⅰ]記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 C
解析 設(shè){an}的公差為d，則
由得
解得d＝4.故選C.
(2)[2018·吉林模擬]已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若6a3＋2a4－3a2＝5，則S7＝( )
A．28 B．21 C．14 D．7
答案 D
解析 由6a3＋2a4－3a2＝5，得6(a1＋2d)＋2(a1＋3d)－3(a1＋d)＝5a1＋15d
7、＝5(a1＋3d)＝5，即5a4＝5，所以a4＝1，所以S7＝＝＝7a4＝7.故選D.
觸類旁通
等差數(shù)列計算中的兩個技巧
(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題．
(2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法．
【變式訓(xùn)練1】 (1)[2016·全國卷Ⅰ]已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27，a10＝8，則a100＝( )
A．100 B．99 C．98 D．97
答案 C
解析 設(shè){an}的公
8、差為d，由等差數(shù)列前n項和公式及通項公式，得解得
an＝a1＋(n－1)d＝n－2，∴a100＝100－2＝98.故選C.
(2)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a12＝－8，S9＝－9，則S16＝________.
答案?。?2
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，
由已知，得解得
∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72.
考向 等差數(shù)列的性質(zhì)
命題角度1 等差數(shù)列項的性質(zhì)
例 2 (1)等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則a9－a11的值是( )
A．14 B．15 C．16 D．17
答案 C
解析 因
9、為{an}是等差數(shù)列，所以a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8＝120，∴a8＝24.所以a9－a11＝a8＋d－(a8＋3d)＝a8＝16.
(2)若兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別是Sn，Tn，已知＝，則＝________.
答案
解析 ＝＝＝＝＝.
命題角度2 等差數(shù)列前n項和性質(zhì)的應(yīng)用
例 3 (1)已知等差數(shù)列{an}的公差為2，項數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項之和為15，所有偶數(shù)項之和為25，則這個數(shù)列的項數(shù)為( )
A．10 B．20 C．30 D．40
答案 A
解析 設(shè)這個數(shù)列有2n項，則由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：偶數(shù)項之和減去奇數(shù)項之和等于nd，
10、即25－15＝2n，故2n＝10，即數(shù)列的項數(shù)為10.故選A.
(2)[2018·杭州學(xué)軍中學(xué)月考]設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若＝，則＝( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 令S3＝1，則S6＝3，∴S9＝1＋2＋3＝6.S12＝S9＋4＝10，∴＝.故選A.
觸類旁通
等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用技巧
(1)等差數(shù)列項的性質(zhì)：利用等差數(shù)列項的性質(zhì)解決基本量的運算體現(xiàn)了整體求值思想，應(yīng)用時常將an＋am＝2ak(n＋m＝2k，n，m，k∈N*)與am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*)相結(jié)合，可減少運算量．
(2)等差數(shù)列和的性質(zhì)：在等差
11、數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an；若n為偶數(shù)，則S偶－S奇＝；若n為奇數(shù)，則S奇－S偶＝a中(中間項)．
考向 等差數(shù)列的判定與證明
例 4 [2018·遼寧大連雙基測試]數(shù)列{an}滿足an＋1＝，a1＝1.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項和Sn，并證明：＋＋…＋>.
解 (1)證明：∵an＋1＝，
∴＝，化簡得＝2＋，
即－＝2，
故數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列．
(2)由(1)知＝2n－1，所以
12、Sn＝＝n2.
證明：＋＋…＋＝＋＋…＋>＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝1－
＝.
觸類旁通
等差數(shù)列的判定方法
(1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù)，驗證an－an－1為同一常數(shù)；
(2)等差中項法：驗證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立；
(3)通項公式法：驗證an＝pn＋q；
(4)前n項和公式法：驗證Sn＝An2＋Bn.
提醒 在解答題中常應(yīng)用定義法和等差中項法，而通項公式法和前n項和公式法主要適用于選擇題、填空題中的簡單判斷．
【變式訓(xùn)練2】 [2018·昆明模擬]在數(shù)列{an}中，a1＝，an＋1＝2－，設(shè)bn＝，數(shù)列{bn}的前n項和是S
13、n.
(1)證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求Sn；
(2)比較an與Sn＋7的大?。?
解 (1)證明：∵bn＝，an＋1＝2－，∴bn＋1＝＝＋1＝bn＋1，∴bn＋1－bn＝1，∴數(shù)列{bn}是公差為1的等差數(shù)列．
由a1＝，bn＝，得b1＝－，
∴Sn＝－＋＝－3n.
(2)由(1)知，bn＝－＋n－1＝n－.
由bn＝，得an＝1＋＝1＋.
∴an－Sn－7＝－＋3n－6＋.
∵當(dāng)n≥4時，y＝－＋3n－6是減函數(shù)，y＝也是減函數(shù)，∴當(dāng)n≥4時，an－Sn－7≤a4－S4－7＝0.
又∵a1－S1－7＝－<0，a2－S2－7＝－<0，a3－S3－7＝－<0，∴?n∈N
14、*，an－Sn－7≤0，∴an≤Sn＋7.
核心規(guī)律
1.等差數(shù)列的判定方法：(1)定義法；(2)等差中項法；(3)通項公式法；(4)前n項和公式法．
2.方程思想和化歸思想：在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為a1和d等基本量，通過建立方程(組)獲得解．
3.在遇到三個數(shù)成等差數(shù)列問題時，可設(shè)三個數(shù)為(1)a，a＋d，a＋2d；(2)a－d，a，a＋d；(3)a－d，a＋d，a＋3d等，可視具體情況而定．
滿分策略
1.當(dāng)公差d≠0時，等差數(shù)列的通項公式是n的一次函數(shù)；當(dāng)公差d＝0時，an為常數(shù)．
2.公差不為0的等差數(shù)列的前n項和公式是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項為0.若
15、某數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項不為0的二次函數(shù)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列，它從第二項起成等差數(shù)列．
3.注意利用“an－an－1＝d”時加上條件“n≥2”；否則，當(dāng)n＝1時，a0無定義.
板塊三 啟智培優(yōu)·破譯高考
題型技法系列7——破解等差數(shù)列中的最值問題
[2018·北京海淀模擬]等差數(shù)列{an}中，設(shè)Sn為其前n項和，且a1>0，S3＝S11，則當(dāng)n為多少時，Sn最大？
解題視點 可利用Sn＝na1＋d及二次函數(shù)的性質(zhì)求解；也可以利用首項a1>0，公差d<0，找最后一個正項求解；還可以利用Sn＝An2＋Bn及二次函數(shù)圖象的對稱性求解．
解 解法一：由S3＝S11，得3a
16、1＋d＝11a1＋d，則d＝－a1.
從而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1.
又a1>0，所以－<0.故當(dāng)n＝7時，Sn最大．
解法二：由于Sn＝an2＋bn是關(guān)于n的二次函數(shù)，由S3＝S11，可知Sn＝an2＋bn的圖象關(guān)于n＝＝7對稱．由解法一可知a＝－<0，故當(dāng)n＝7時，Sn最大．
解法三：由解法一可知d＝－a1.
要使Sn最大，則有
即
解得6.5≤n≤7.5，故當(dāng)n＝7時，Sn最大．
解法四：由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，
即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，
故a7＋a8＝0，又由a1>0，S3＝S11可知d<0，
所以a7>0，a8<0，所以
17、當(dāng)n＝7時，Sn最大．
答題啟示 求等差數(shù)列前n項和的最值的方法
(1)運用配方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，借助二次函數(shù)的單調(diào)性以及數(shù)形結(jié)合的思想，從而使問題得解．
(2)通項公式法：求使an≥0(an≤0)成立時最大的n值即可．一般地，等差數(shù)列{an}中，若a1>0，且Sp＝Sq(p≠q)，則：①若p＋q為偶數(shù)，則當(dāng)n＝時，Sn最大；②若p＋q為奇數(shù)，則當(dāng)n＝或n＝時，Sn最大．
跟蹤訓(xùn)練
(1)[2018·江西模擬]已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{an}的前n項和為Sn，則使得Sn達(dá)到最大的n值是________．
答案 20
解析
18、a1＋a3＋a5＝105?a3＝35，a2＋a4＋a6＝99?a4＝33，則{an}的公差d＝33－35＝－2，a1＝a3－2d＝39，Sn＝－n2＋40n，因此當(dāng)Sn取得最大值時，n＝20.
(2)在等差數(shù)列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項和為Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時Sn取得最大值，則d的取值范圍為________．
答案
解析 ∵當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時Sn取得最大值，
∴即解得－1
19、
答案 C
解析 由已知得S3＝3a2＝12，即a2＝4，∴d＝a3－a2＝6－4＝2.故選C.
2．[2018·寧德模擬]等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則2a9－a10的值是( )
A．20 B．22 C．24 D．－8
答案 C
解析 因為a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.故選C.
3．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若S8＝4a3，a7＝－2，則a9等于( )
A．－6 B．－4 C．－2 D．2
答案 A
解析 S8＝＝4(a3＋a6)．因為S8＝4a3，
20、所以a6＝0.又a7＝－2，所以d＝a7－a6＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.故選A.
4．[2018·北京海淀期末]在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a7＋a8＋a12＝12，則此數(shù)列的前13項之和為( )
A．39 B．52 C．78 D．104
答案 A
解析 設(shè)數(shù)列的公差為d，則由a1＋a7＋a8＋a12＝12可得4a1＋24d＝12，即a1＋6d＝3，即a7＝3，故前13項之和為＝13a7＝39.故選A.
5．[2018·鄭州預(yù)測]已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若a1a2a3＝10，且＝，則a2＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答
21、案 A
解析 依題意得＝，a1a3＝5，a2＝＝2.故選A.
6．已知Sn表示等差數(shù)列{an}的前n項和，且＝，那么等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 因為該數(shù)列是等差數(shù)列，所以S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15成等差數(shù)列，又因為＝，所以S10＝3S5，所以S10－S5＝2S5，所以S15－S10＝3S5，所以S15＝6S5，同理可求S20＝10S5，所以＝.故選A.
7．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a4＝15，a7＝27，則過點P(3，a3)，Q(5，a5)的直線斜率為( )
A．4 B. C．－4 D．－
答案 A
解析 由
22、數(shù)列{an}是等差數(shù)列，知an是關(guān)于n的“一次函數(shù)”，其圖象是一條直線上的等間隔的點(n，an)，因此過點P(3，a3)，Q(5，a5)的直線斜率即過點(4,15)，(7,27)的直線斜率，所以直線的斜率k＝＝4.故選A.
8．若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當(dāng)n＝________時，{an}的前n項和最大．
答案 8
解析 ∵{an}為等差數(shù)列，∴a7＋a9＝2a8，
∴a7＋a8＋a9＝3a8>0，即a8>0，又a7＋a10＝a8＋a9<0.
∴a9<0，
∴{an}為遞減數(shù)列．
又∵ S9＝S8＋a9S7，
∴當(dāng)n
23、＝8時，{an}的前n項和最大．
9．[2018·金版創(chuàng)新題]已知數(shù)列{an}中，a3＝7，a7＝3，且是等差數(shù)列，則a10＝________.
答案
解析 設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
則＝，＝.
∵是等差數(shù)列，
∴＝＋4d，即＝＋4d，解得d＝，
故＝＋7d＝＋7×＝，解得a10＝.
10．一個等差數(shù)列的前12項的和為354，前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和的比為32∶27，則該數(shù)列的公差d＝________.
答案 5
解析 設(shè)等差數(shù)列的前12項中奇數(shù)項的和為S奇，偶數(shù)項的和為S偶，等差數(shù)列的公差為d.由已知條件，得解得
又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.
[B級 知
24、能提升]
1．[2018·唐山統(tǒng)考]已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S11＝22，則a3＋a7＋a8＝( )
A．18 B．12 C．9 D．6
答案 D
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得S11＝＝＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6.故選D.
2．[2018·洛陽統(tǒng)考]設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，則滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為( )
A．6 B．7 C．12 D．13
答案 C
解析 ∵a1>0，a6a7<0，∴a6>
25、0，a7<0，等差數(shù)列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，∴S12>0，S13<0，∴滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為12.故選C.
3．已知等差數(shù)列{an}中，an≠0，若n≥2且an－1＋an＋1－a＝0，S2n－1＝38，則n等于________．
答案 10
解析 ∵2an＝an－1＋an＋1，又an－1＋an＋1－a＝0，
∴2an－a＝0，即an(2－an)＝0.
∵an≠0，∴an＝2.∴S2n－1＝2(2n－1)＝38，
解得n＝10.
4．[2018·云南模擬]設(shè)數(shù)列{an}的前n項積為Tn，且Tn＋2an＝2(n∈N*)．
26、
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設(shè)bn＝(1－an)(1－an＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
解 (1)證明：∵Tn＋2an＝2，∴當(dāng)n＝1時，T1＋2a1＝2，
∴T1＝，即＝.
又當(dāng)n≥2時，Tn＝2－2×，
得Tn·Tn－1＝2Tn－1－2Tn，
∴－＝，
∴數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．
(2)由(1)知，數(shù)列為等差數(shù)列，
∴＝＋(n－1)＝，∴an＝＝，
∴bn＝(1－an)(1－an＋1)＝＝－，
∴Sn＝＋＋…＋－＝－＝.
5．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2an－2n＋1.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)若不等式2n2－
27、n－3<(5－λ)an對任意的n∈N*恒成立，求λ的取值范圍．
解 (1)證明：當(dāng)n＝1時，S1＝2a1－22，得a1＝4.
Sn＝2an－2n＋1，
當(dāng)n≥2時，Sn－1＝2an－1－2n，兩式相減得
an＝2an－2an－1－2n，即an＝2an－1＋2n，
所以－＝－＝＋1－＝1，又＝2，所以數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列．
(2)由(1)知＝n＋1，即an＝n·2n＋2n.
因為an>0，所以不等式2n2－n－3<(5－λ)an，即(n＋1)(2n－3)<(5－λ)·2n(n＋1)等價于5－λ>.
記bn＝，b1＝－，b2＝，當(dāng)n≥2時，＝＝，則＝，即b3>b2，所以當(dāng)n≥3時，<1，所以(bn)max＝b3＝，所以λ<.
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（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 數(shù)列 第2講 等差數(shù)列及其前n項和學(xué)案
