（全國通用版）2019版高考數(shù)學大一輪復習 第十一章 坐標系與參數(shù)方程 第58講 參數(shù)方程優(yōu)選學案

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1、 第58講　參數(shù)方程 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義． 2．能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程． 2017·全國卷Ⅰ，22 2016·全國卷Ⅲ，23 2016·江蘇卷，21(C) 　參數(shù)方程部分主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化，并且多與極坐標方程結合考查． 分值：5～10分 1．參數(shù)方程 一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上__任意一點__的坐標x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)：并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱_

2、_參數(shù)__，相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做__普通方程__. 2．直線、圓、橢圓的參數(shù)方程 (1)過點M(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (2)圓心為點M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (3)①橢圓＋＝1(a>b>0)的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))； ②橢圓＋＝1(a>b>0)的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))． 1．思維辨析(在括號內“√”或“”)． (1)參數(shù)方程(t≥1)表示直線．(　×　) (2)參數(shù)方程當m為參數(shù)時表示直線，當θ為參數(shù)時表示的曲線為圓．(　√　) (3)直線 (t為參數(shù))的傾斜角α為30

3、°.(　√　) (4)參數(shù)方程表示的曲線為橢圓．(　×　) 解析　(1)錯誤．∵t≥1，∴x＝t＋1≥2，y＝2－t≤1，故參數(shù)方程表示的曲線是直線的一部分． (2)正確．當m為參數(shù)時，x＋y＝cos θ＋sin θ表示直線，當θ為參數(shù)時(x－m)2＋(y＋m)2＝1表示圓． (3)正確．方程可化為表示直線其傾斜角為30°. (4)錯誤．∵θ∈，∴x≥0，y≥0，方程不表示橢圓． 2．參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為__3x＋y－4＝0(x∈[0,2))__. 解析　∵x＝， y＝＝＝4－3×＝4－3x， 又x＝＝＝2－∈[0,2)， ∴x∈[0,2)，∴所求的普通方程為

4、3x＋y－4＝0(x∈[0,2))． 3．在平面直角坐標系xOy中，曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為和(t為參數(shù))，則曲線C1與C2的交點坐標為__(2,1)__. 解析　由C1得x2＋y2＝5，且由C2得x＝1＋y， ∴聯(lián)立解得或(舍)． 4．直線(t為參數(shù))與圓(θ為參數(shù))相切，則切線的傾斜角為__　或　__. 解析　直線的普通方程為bx－ay－4b＝0，圓的普通方程為(x－2)2＋y2＝3，因為直線與圓相切，則圓心(2,0)到直線的距離為，從而有＝，即3a2＋3b2＝4b2，所以b＝±a，而直線的傾斜角α的正切值tan α＝，所以tan α＝±，因此切線的傾斜角為或. 5．在直

5、角坐標系xOy中，已知曲線C1：(t為參數(shù))與曲線C2：(θ為參數(shù)，a>0)有一個公共點在x軸上，則a＝__　　__. 解析　將曲線C1與C2的方程化為普通方程求解． 將消去參數(shù)t，得2x＋y－3＝0， 又消去參數(shù)θ，得＋＝1. 根據(jù)題意可知C1與x軸交點在C2上， 則在方程2x＋y－3＝0中，令y＝0，得x＝. 將代入＋＝1，得＝1，又a>0，∴a＝. 一　參數(shù)方程與普通方程的互化 將參數(shù)方程化為普通方程的方法 (1)將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結構特征，選取適當?shù)南麉⒎椒ǎＲ姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎?、加減消參法、平方消參法等，對于含三角函數(shù)的參

6、數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關系式消參，如sin2θ＋cos2θ＝1等． (2)將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，不要出現(xiàn)增解． 【例1】 (1)將下列參數(shù)方程化為普通方程． ①(t為參數(shù))； ②(θ為參數(shù))． (2)如圖，以過原點的直線的傾斜角θ為參數(shù)，求圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程． 解析　(1)①∵2＋2＝1，∴x2＋y2＝1. ∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1.又x＝， ∴x≠0.當t≥1時，0＜x≤1， 當t≤－1時，－1≤x＜0，∴所求普通方程為x2＋y2＝1， 其中或 ②∵y＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，

7、sin2θ＝x－2， ∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0.∵0≤sin2 θ≤1，∴2≤x≤3， ∴所求的普通方程為2x＋y－4＝0(2≤x≤3)． (2)圓的半徑為，記圓心為C，連接CP，則∠PCx＝2θ， 故xP＝＋cos 2θ＝cos2 θ， yP＝sin 2θ＝sin θcos θ(θ為參數(shù))． 所以圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 二　參數(shù)方程的應用 (1)圓的參數(shù)方程(θ為參數(shù))與直線的參數(shù)方程(t的參數(shù))在外觀上沒有區(qū)別，如何區(qū)分兩者，主要看參數(shù)是什么．另外，圓的參數(shù)θ和直線的參數(shù)t是有幾何意義的，只要我們理解準確，運用恰當，便可以加速解題的過程．因此，牢記圓的

8、參數(shù)方程，直線參數(shù)方程的標準式，是利用參數(shù)解決問題的關鍵． (2)解決與圓、圓錐曲線的參數(shù)方程有關的綜合問題時，要注意普通方程與參數(shù)方程的互化公式，主要是通過互化解決與圓、圓錐曲線上與動點有關的問題，如最值、范圍等． (3)根據(jù)直線的參數(shù)方程的標準式中t的幾何意義，有如下常用結論： 過定點M0的直線與圓錐曲線相交，交點為M1，M2，所對應的參數(shù)分別為t1，t2. ①弦長l＝|t1－t2|； ②M0為弦M1M2的中點?t1＋t2＝0； ③|M0M1|·|M0M2|＝|t1t2|. 【例2】 已知曲線C1：(θ為參數(shù))及曲線C2：(t為參數(shù))． (1)指出C1，C2各是什么曲線，并

9、說明C1與C2公共點的個數(shù)； (2)若把C1，C2上各點的縱坐標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線C′1，C′2，寫出C′1，C′2的參數(shù)方程．C′1與C′2公共點的個數(shù)和C1與C2公共點的個數(shù)是否相同？說明你的理由． 解析　(1)C1是圓，C2是直線，C1的普通方程為x2＋y2＝1， 圓心C1(0,0)，半徑r＝1.C2的普通方程為x－y＋＝0. 因為圓心到直線x－y＋＝0的距離為1， 所以C1與C2只有一個公共點． (2)壓縮后的參數(shù)方程分別為 C′1：(θ為參數(shù))，C′2：(t為參數(shù))． 化為普通方程為C′1：x2＋4y2＝1，C′2：y＝x＋， 聯(lián)立消元得2x2＋2x＋

10、1＝0，其Δ＝(2)2－4×2×1＝0， 故壓縮后C′1與C′2仍然只有一個公共點，和C1與C2公共點的個數(shù)相同．　 【例3】 (2018·河南鄭州一中月考)在平面直角坐標系中，已知曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)寫出曲線C和直線l的普通方程； (2)若點B坐標為(0,3)，直線l與曲線C交于兩P，Q點，求|BP|·|BQ|. 解析　(1)由題意得曲線C的普通方程為＋＝1, 直線l的普通方程為2x＋y－3＝0. (2)將直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入＋＝1，得t2＋t＋24＝0.設方程t2＋t＋24＝0的兩個根為t1，t2，所以|BP|·|

11、BQ|＝|t1t2|＝. 三　參數(shù)方程與極坐標方程的綜合問題 涉及參數(shù)方程和極坐標方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解．當然，還要結合題目本身特點，確定選擇何種方程． 【例4】 在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，過點P(－2，－4)的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，l與C分別交于點M，N. (1)寫出C的直角坐標方程和l的普通方程； (2)若，，成等比數(shù)列，求a的值． 解析　(1)曲線C的直角坐標方程為y2＝2ax(a＞0)，直線l的普通方程為x－y－2＝0. (2)

12、將直線l的參數(shù)方程與C的直角坐標方程聯(lián)立并整理， 得t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0，(*) Δ＝8a(4＋a)＞0，設點M，N分別對應參數(shù)t1，t2，則t1，t2恰為上述方程的兩根，則|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|. 由題設得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|. 由(*)得t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)＞0， 則有(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a＝1或a＝－4.因為a＞0，所以a＝1.　 1．將下列參數(shù)方程化為普通方程． (1)(k為參數(shù))； (2)(θ為參數(shù))． 解

13、析　(1)兩式相除，得k＝，將其代入x＝，得x＝，化簡得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得y2＝2－x.又x＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程為y2＝2－x，x∈[0,2]． 2．設直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，α為傾斜角)，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (1)若直線l經過圓C的圓心，求直線l的斜率； (2)若直線l與圓C交于兩個不同的點，求直線l的斜率的取值范圍． 解析　(1)由已知得直線l經過的定點是P(3,4)，而圓C的圓心是C(1，－1)，所以當直線l經

14、過圓C的圓心時，直線l的斜率為k＝. (2)由圓C的參數(shù)方程得圓C的圓心是C(1，－1)，半徑為2. 由直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，α為傾斜角)，知直線l的普通方程為y－4＝k(x－3)(斜率存在)，即kx－y＋4－3k＝0. 當直線l與圓C交于兩個不同的點時，圓心到直線的距離小于圓的半徑，即＜2，由此解得k＞，即直線l的斜率的取值范圍為. 3．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (1)已知在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，點P的極坐標為，判斷點P與直線l的位置關系； (2)設點Q是曲線C上

15、的一個動點，求點Q到直線l的距離的最小值與最大值． 解析　(1)點P的直角坐標為(2,2)，令關于t的方程組無解，所以點P在直線l外． (2)直線l的普通方程為x－y＋1＝0，設Q(2＋cos θ，sin θ)，點Q到直線l的距離為d， 則d＝＝，所以當sin＝－1時，dmin＝； 當sin＝1時，dmax＝. 4．已知P(x，y)是圓x2＋y2－2y＝0上的動點． (1)求2x＋y的取值范圍； (2)若x＋y＋c≥0恒成立，求實數(shù)c的取值范圍． 解析　方程x2＋y2－2y＝0變形為x2＋(y－1)2＝1， 其參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (1)2x＋y＝2cos θ＋sin

16、θ＋1＝sin(θ＋φ)＋1， 其中φ由sin φ＝，cos φ＝確定， ∴1－≤2x＋y≤1＋. (2)若x＋y＋c≥0恒成立， 則c≥－(cos θ＋sin θ＋1)對一切θ∈R恒成立． ∵－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值是－1， ∴當且僅當c≥－1時，x＋y＋c≥0恒成立． 錯因分析：不清楚直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，導致解題錯誤． 【例1】 已知直線l過點P(2,0)，斜率為，直線l和拋物線y2＝2x相交于A，B兩點，設線段AB的中點為M，求： (1)P，M兩點間的距離； (2)點M的坐標； (3)線段AB的長． 解析　(1)∵直線l過點P(

17、2,0)，斜率為， 設直線l的傾斜角為α，tan α＝，sin α＝，cos α＝， ∴直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．(*) ∵直線l與拋物線相交，將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程y2＝2x中，整理得8t2－15t－50＝0，且Δ＝152＋4×8×50＞0， 設這個一元二次方程的兩個根為t1，t2， 由根與系數(shù)的關系，得t1＋t2＝，t1t2＝－， 由M為線段AB的中點，根據(jù)t的幾何意義，得＝＝. (2)將t中＝＝代入(*)式，得點M的坐標為. (3)＝＝＝. 【跟蹤訓練1】 已知直線l：(t為參數(shù))．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝

18、2cos θ. (1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程； (2)設點M的直角坐標為(5，)，直線l與曲線C的交點為A，B，求|MA|·|MB|的值． 解析　(1)ρ＝2cos θ等價于ρ2＝2ρcos θ.① 將ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入①，得曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0.② (2)將代入②，得t2＋5t＋18＝0，設這個方程的兩個實根分別為t1，t2，則由參數(shù)t的幾何意義即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18. 課時達標　第58講 [解密考綱]高考中，主要涉及曲線的參數(shù)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化，能寫出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程，常以解答題

19、的形式出現(xiàn)． 1．已知曲線C1：(t為參數(shù))，C2：(θ為參數(shù))． (1)化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線； (2)若C1上的點P對應的參數(shù)為t＝，Q為C2上的動點，求PQ中點M到直線C3：(t為參數(shù))的距離的最小值． 解析　(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1. C1為圓心是(－4,3)，半徑為1的圓．C2為中心是坐標原點，焦點在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓． (2)當t＝時，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)， 故M. C3為直線x－2y－7＝0，M到C3的距離 d＝|4cos θ－3sin θ－13|

20、. 從而當cos θ＝，sin θ＝－時，d取得最小值. 2．(2017·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)若a＝－1，求C與l的交點坐標； (2)若C上的點到l距離的最大值為，求a. 解析　(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1. 當a＝－1時，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0. 由解得或 從而C與l的交點坐標為(3,0)，. (2)直線l的普通方程為x＋4y－a－4＝0，故C上的點(3cos θ，sin θ)到l的距離為d＝. 當a≥－4時，d的最大值為.由題設得＝， 所以a＝8； 當a<－4時，d

21、的最大值為.由題設得＝， 所以a＝－16. 綜上，a＝8或a＝－16. 3．在極坐標系中，圓C的圓心為C，半徑為2.以極點為原點，極軸為x軸的正半軸，取相同的長度單位建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)求圓C的極坐標方程； (2)設l與圓的交點為A，B，l與x軸的交點為P，求|PA|＋|PB|. 解析　(1)在直角坐標系中，圓心為C(1，)，所以圓C的方程為(x－1)2＋(y－)2＝4，即x2＋y2－2x－2y＝0， 化為極坐標方程得ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＝0， 即ρ＝4sin. (2)將代入x2＋y2－2x－2y＝0，得t2＝4，所以點

22、A，B對應的參數(shù)分別為t1＝2，t2＝－2. 令 ＋t＝0，得點P對應的參數(shù)為t0＝－2. 所以|PA|＋|PB|＝|t1－t0|＋|t2－t0|＝|2＋2|＋|－2＋2|＝2＋2＋(－2＋2)＝4. 4．已知曲線C的參數(shù)方程是(α為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)求曲線C與直線l的普通方程； (2)若直線l與曲線C相交于P，Q兩點，且|PQ|＝，求實數(shù)m的值． 解析　(1)由得 ①2＋②2得曲線C的普通方程為x2＋(y－m)2＝1. 由x＝1＋t，得t＝x－1，代入y＝4＋t，得y＝4＋2(x－1)， 所以直線l的普通方程為y＝2x＋2. (2)圓心(0，

23、m)到直線l的距離為d＝，所以由勾股定理得2＋2＝1，解得m＝3或m＝1. 5．直線l：(t為參數(shù))，圓C：ρ＝2cos(極軸與x軸的非負半軸重合，且單位長度相同)． (1)求圓心C到直線l的距離； (2)若直線l被圓C截得的弦長為，求a的值． 解析　(1)把化為普通方程為x＋2y＋2－a＝0，把ρ＝2cos化為直角坐標系中的方程為x2＋y2－2x＋2y＝0， ∴圓心C(1，－1)到直線l的距離為d＝. (2)由(1)知圓的半徑為，弦長的一半為， ∴2＋2＝()2， ∴a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2. 6．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸正半軸為

24、極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是ρ＝. (1)寫出直線l的極坐標方程與曲線C的普通方程； (2)若點P是曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值，并求出點P的坐標． 解析　(1)∵∴x－y＝1. ∴直線l的極坐標方程為ρcos θ－ρsin θ＝1， 即ρ＝1，即ρcos＝1. ∵曲線C的極坐標方程是ρ＝，∴ρ＝，∴ρcos2θ＝sin θ，∴(ρcos θ)2＝ρsin θ，即曲線C的普通方程為y＝x2. (2)設P(x0，y0)，y0＝x，∴P到直線l的距離為 d＝＝＝ ＝. ∴當x0＝時，d取最小值，dmin＝，此時P， ∴當點P的坐標為時，P到直線l的距離最小，最小值為. 11