2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 柯西不等式與排序不等式及其應(yīng)用本章復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修4-5

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1、第二章 柯西不等式與排序不等式及其應(yīng)用 本章復(fù)習(xí)課 1.認(rèn)識(shí)柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，會(huì)用二維、三維柯西不等式進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明與求最值. 2.理解并掌握兩個(gè)或三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均、幾何平均數(shù)不等式并會(huì)應(yīng)用它們求一些特定函數(shù)的最值. 3.了解排序不等式及平均值不等式. 知識(shí)結(jié)構(gòu) 知識(shí)梳理 1.二維形式的柯西不等式 (1)定理1(二維)：設(shè)a1，a2，b1，b2均為實(shí)數(shù)，則(a＋a)·(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2，上式等號(hào)成立?a1b2＝a2b1. (2)(二維變式)：·≥|ac＋bd|. (3)定理2(向量形式)：設(shè)α，β為平面上的兩個(gè)向量，則

2、|α||β|≥|α·β|，當(dāng)α及β為非零向量時(shí)，上式中等號(hào)成立?向量α與β共線(xiàn)(或平行)?存在實(shí)數(shù)λ≠0，使得α＝λβ. (4)定理3(三角不等式)：設(shè)a1，a2，b1，b2為實(shí)數(shù)，則 ＋≥， 等號(hào)成立?存在非負(fù)實(shí)數(shù)μ及λ，使μa1＝λb1，μa2＝λb2. (5)三角變式：設(shè)a1，a2，b1，b2，c1，c2為實(shí)數(shù)，則 ＋≥，等號(hào)成立?存在非負(fù)實(shí)數(shù)λ及μ使得μ(a1－b1)＝λ(b1－c1)且μ(a2－b2)＝λ(b2－c2). (6)三角向量式：設(shè)α，β，γ為平面向量，則|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|. 2.三維形式的柯西不等式：(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋

3、a2b2＋a3b3)2. 3.柯西不等式的一般形式：設(shè)a1，a2，…，an，b1，b2，b3，…，bn為實(shí)數(shù)，則(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|，其中等號(hào)成立?＝＝…＝. 4.柯西不等式的一般形式的證明：參數(shù)配方法. 5.排序不等式：設(shè)a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實(shí)數(shù)，c1，c2，…，cn為b1，b2，…，bn的任一排列，則有：a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn等號(hào)成立(反序和等于順序和)?a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.排序原理可簡(jiǎn)記作：反序和

4、≤亂序和≤順序和. 6.平均值不等式 (1)定理1：設(shè)a1，a2，…，an為n個(gè)正數(shù)，則≥，等號(hào)成立?a1＝a2＝…＝an. (2)推論1：設(shè)a1，a2，…，an為n個(gè)正數(shù)，且a1a2…an＝1，則a1＋a2＋…＋an≥n，且等號(hào)成立?a1＝a2＝…＝an＝1. (3)推論2：設(shè)C為常數(shù)，且a1，a2，…，an為n個(gè)正數(shù)，當(dāng)a1＋a2＋…＋an＝nC時(shí)，則a1a2…an≤Cn，且等號(hào)成立?a1＝a2＝…＝an. (4)定理2：設(shè)a1，a2，…，an為n個(gè)正數(shù)，則≥，等號(hào)成立?a1＝a2＝…＝an. 典例剖析 知識(shí)點(diǎn)1　利用柯西不等式證明不等式 【例1】 設(shè)a，b，c，d為正數(shù)，

5、且不全相等，求證：＋＋＋>. 證明　構(gòu)造兩組數(shù)，，，，與，，，， 則由柯西不等式得： (a＋b＋b＋c＋c＋d＋d＋a) ≥(1＋1＋1＋1)2. 即2(a＋b＋c＋d)≥16， 于是＋＋＋≥， 等號(hào)成立?＝＝＝ ?a＋b＝b＋c＝c＋d＝d＋a?a＝b＝c＝d. 因題設(shè)a，b，c，d不全相等， 故＋＋＋>. 知識(shí)點(diǎn)2　利用柯西不等式求最值 【例2】 已知x＋y＋z＝1，求＋＋的最大值. 解　由柯西不等式，得 (·1＋·1＋·1) ≤· ＝·＝＝3. 等號(hào)成立?＝＝， 即3x＋1＝3y＋2＝3z＋3 設(shè)3x＋1＝k，則x＝，y＝，z＝. 代入x＋y＋z＝

6、1，得k＝3. ∴x＝，y＝，z＝0時(shí)取等號(hào). 知識(shí)點(diǎn)3　利用排序不等式證明不等式 【例3】 設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證： 2≥＋＋. 證明　由對(duì)稱(chēng)性， 不妨設(shè)a≥b≥c>0， 于是a＋b≥a＋c≥b＋c， 故a2≥b2≥c2，≥≥， 由排序不等式得： ＋＋≥＋＋ ＋＋≥＋＋ 以上兩式相加得：2 ≥＋＋. 知識(shí)點(diǎn)4　平均值不等式的實(shí)際應(yīng)用 【例4】 在半徑為R的球的所有外切圓錐中求全面積最小的一個(gè). 解　設(shè)x為圓錐底面半徑，S為它的全面積，則S＝πx2＋πx·AC＝πx2＋πx(x＋CD)由Rt△CAE∽R(shí)t△COD得 ＝＝ ＝. 解得CD＝. 于是S＝π

7、x＝. 因?yàn)镾和同時(shí)取得最小值，所以考慮的最小值問(wèn)題. ＝＝ ＝x2＋R2＋＝(x2－R2)＋＋2R2 ≥2＋2R2＝4R2.于是S≥8πR2， 等號(hào)成立?x2－R2＝?x＝R. 所以圓錐的最小全面積為8πR2. 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1.已知2x＋3y＋4z＝10，則x2＋y2取到最小值時(shí)的x，y，z的值為(　　) A.，， B.，， C.1，， D.1，， 解析　當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)，x2＋y2＋z2取到最小值，所以聯(lián)立可得x＝，y＝，z＝. 答案　B 2.設(shè)x1，x2，…，xn，取不同的正整數(shù)，則m＝＋＋…＋的最小值是(　　) A.1 B.2 C.1＋＋＋…＋

8、 D.1＋＋＋…＋ 解析　∵x1，x2，…，xn是n個(gè)不同的正整數(shù)，所以1，2，3，…，n就是最小的一組，m＝＋＋…＋≥1＋＋＋…＋(前邊是亂序和，后面是反序和). 答案　C 3.一批救災(zāi)物資隨26輛汽車(chē)從A市以v km/h勻速直達(dá)災(zāi)區(qū)，已知兩地公路長(zhǎng)400 km，為安全起見(jiàn)，兩車(chē)間距不得小于 km，那么這批物資全部到災(zāi)區(qū)，至少需要______h.(　　) A.5　　　　B.10　　　　C.15　　　　D.20 解析　依題意，所用時(shí)間為＝v＋≥10，當(dāng)且僅當(dāng)v＝80時(shí)取等號(hào). 答案　B 4.已知x＋2y＋3z＝1，則x2＋y2＋z2的最小值為_(kāi)_______. 解析　(x2＋

9、y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2＝1. ∴x2＋y2＋z2≥. 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝，即x＝，y＝，z＝時(shí)， x2＋y2＋z2取最小值. 答案　 5.設(shè)a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，則＋＋的最大值是________. 解析　3(a＋b＋c)＝(1＋1＋1)(a＋b＋c)≥(＋＋)2. 所以＋＋≤＝. 答案　 6.已知正數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a＋b＋c＝1， 證明：a3＋b3＋c3≥. 證明　利用柯西不等式 ＝ ≤[(a)2＋(b)2＋(c)2][a＋b＋c] ＝(a3＋b3＋c3)(a＋b＋c)2 (∵a＋b＋c＝1) 又因?yàn)閍2＋b2＋c2≥ab＋

10、bc＋ca， 在此不等式兩邊同乘以2， 再加上a2＋b2＋c2 得：(a＋b＋c)2≤3(a2＋b2＋c2) ∵(a2＋b2＋c2)2≤(a3＋b3＋c3)·3(a2＋b2＋c2) 故a3＋b3＋c3≥. 綜合提高 7.已知3x2＋2y2≤1，則3x＋2y的取值范圍是(　　) A.[0，] B.[－，0] C.[－，] D.[－5，5] 解析　|3x＋2y|≤·≤. 所以－≤3x＋2y≤. 答案　C 8.已知x，y，z∈R＋，且＋＋＝1，則x＋＋的最小值是(　　) A.5 B.6 C.8 D.9 解析　x＋＋ ＝ ≥ ＝9. 答案　D 9.函數(shù)

11、y＝2＋的最大值是________. 解析　y＝×＋1× ≤＝. 答案　 10.設(shè)x1，x2，…，xn取不同的正整數(shù)，則m＝＋＋…＋的最小值是________. 解析　設(shè)a1，a2，…，an是x1，x2，…，xn的一個(gè)排列，且滿(mǎn)足a1>>…>， 所以＋＋＋…＋ ≥a1＋＋＋…＋ ≥1×1＋2×＋3×＋…＋n× ＝1＋＋＋…＋. 答案　1＋＋＋…＋ 11.求橢圓＋＝1 (a>b>0)的內(nèi)接矩形的最大面積，并求此時(shí)矩形的邊長(zhǎng). 解　方法一：設(shè)第一象限頂點(diǎn)坐標(biāo)(x，y). ∵S與S2同時(shí)取得最大值. 又y

12、2＝(a2－x2)， ∴S2＝16x2y2＝16x2·(a2－x2) ＝x2(a2－x2)≤＝4a2b2. ∴Smax＝2ab.此時(shí)有x2＝a2－x2， 即x＝a時(shí)，內(nèi)接矩形面積最大， 此時(shí)，矩形的邊長(zhǎng)分別為a，b. 方法二：S＝4xy＝4ab··≤4ab＝2ab. 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)＝， 即＝， 即x＝a，y＝b時(shí)成立. ∴當(dāng)矩形的邊長(zhǎng)分別為a，b時(shí)， 內(nèi)接矩形面積最大為S＝2ab. 12.某自來(lái)水廠(chǎng)要制作容積為500 m3的無(wú)蓋長(zhǎng)方體水箱，現(xiàn)有三種不同規(guī)格的長(zhǎng)方形金屬制箱材料(單位：m)：①19×19；②30×10；③25×12. 請(qǐng)你選擇其中的一種規(guī)格材料，并設(shè)計(jì)出相

13、應(yīng)的制作方案.要求：用料最??；簡(jiǎn)便易行. 解　設(shè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為a m，b m，c m. 由題意，可得abc＝500. 長(zhǎng)方體水箱的表面積為S＝2bc＋2ac＋ab. 由均值不等式，知S＝2bc＋2ac＋ab≥3＝3＝300. 當(dāng)且僅當(dāng)2bc＝2ca＝ab，即a＝b＝10，c＝5時(shí)， S＝2bc＋2ca＋ab＝300為最小， 這表明將無(wú)蓋長(zhǎng)方體水箱的尺寸設(shè)計(jì)為10×10×5時(shí)，其用料最省. 如何選擇材料并設(shè)計(jì)制作方案？就要研究三種供選擇的材料，哪一種更易制作成無(wú)蓋長(zhǎng)方體水箱的平面展開(kāi)圖. 逆向思維：先將無(wú)蓋長(zhǎng)方體水箱展開(kāi)成平面圖如圖(1)所示，進(jìn)一步剪拼成如圖(2)所示的長(zhǎng)30 m，寬10 m(長(zhǎng)∶寬＝3∶1)的長(zhǎng)方形.因此，應(yīng)選擇規(guī)格為30×10的制作材料，制作方案如圖(3). 8