（全國版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第3講 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)學案

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1、 第3講　三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 板塊一　知識梳理·自主學習 [必備知識] 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì) [必會結(jié)論] 1．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為T＝，函數(shù)y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期為T＝. 2．正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是周期．而正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半周期． 3．三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函數(shù)一般可化為y＝Acosωx＋b的形式． [考點自測] 1．

2、判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)y＝cosx在第一、二象限內(nèi)是減函數(shù)．(　　) (2)函數(shù)y＝sin是偶函數(shù)，最小正周期為π.(　　) (3)函數(shù)y＝sinx的對稱軸方程為x＝2kπ＋(k∈Z)．(　　) (4)函數(shù)y＝tanx在整個定義域上是增函數(shù)．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．[課本改編]若函數(shù)f(x)＝－cos2x，則f(x)的一個遞增區(qū)間為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由f(x)＝－cos2x知遞增區(qū)間為，k∈Z，故只有B項滿足． 3．[2018·福建模擬]函數(shù)f(x)＝sin

3、的圖象的一條對稱軸是(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝－ D．x＝－ 答案　C 解析　由x－＝＋kπ，得x＝kπ＋，當k＝－1時，x＝－. 4．[2018·廈門模擬]函數(shù)y＝sin＋1的圖象的一個對稱中心的坐標是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　對稱中心的橫坐標滿足2x＋＝kπ，解得x＝－＋，k∈Z.當k＝1時，x＝，y＝1.故選B. 5．[課本改編]函數(shù)y＝tan的定義域是(　　) A．{x B．{x C．{x D．{x 答案　D 解析　y＝tan＝－tan，由x－≠＋kπ，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z.故選D. 6．

4、函數(shù)y＝3－2cos的最大值為________，此時x＝________. 答案　5　＋2kπ(k∈Z) 解析　函數(shù)y＝3－2cos的最大值為3＋2＝5，此時x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)． 板塊二　典例探究·考向突破 考向　三角函數(shù)的定義域、值域 例　1　(1)[2018·煙臺模擬]函數(shù)y＝的定義域為(　　) A. B.(k∈Z) C.(k∈Z) D．R 答案　C 解析　∵cosx－≥0，得cosx≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z. (2)函數(shù)y＝2sin(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為________． 答案　2－ 解析　∵0≤x≤

5、9，∴－≤x－≤， ∴－≤sin≤1， 故－≤2sin≤2. 即函數(shù)y＝2sin(0≤x≤9)的最大值為2，最小值為－.所以最大值與最小值的和為2－. 　本例(2)中的函數(shù)換為“y＝3－sinx－2cos2x，x∈”，如何解答？ 解　∵x∈，∴sinx∈. 又y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x) ＝22＋， ∴當sinx＝時，ymin＝； 當sinx＝－或sinx＝1時，ymax＝2. 故函數(shù)的最大值與最小值的和為2＋＝. 　本例(2)中的函數(shù)換為“y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]”，又該如何解答？ 解　令t＝sin

6、x－cosx，又x∈[0，π]， ∴t＝sin，t∈[－1，]． 由t＝sinx－cosx，得t2＝1－2sinxcosx， 即sinxcosx＝. ∴原函數(shù)變?yōu)閥＝t＋，t∈[－1，]． 即y＝－t2＋t＋. ∴當t＝1時，ymax＝－＋1＋＝1； 當t＝－1時，ymin＝－－1＋＝－1. 故函數(shù)的最大值與最小值的和為1－1＝0. 觸類旁通 三角函數(shù)定義域、值域的求解策略 (1)求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組)，也可借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解． (2)求解三角函數(shù)的值域(最值)，首先把三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值

7、(值域)，或用換元法(令t＝sinx，或t＝sinx±cosx)化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)． (3)換元法的應(yīng)用：把sinx或cosx看作一個整體，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，求給定區(qū)間上的值域(最值)問題．此時注意所換元的取值范圍． 【變式訓練1】　(1)函數(shù)y＝的定義域為(　　) A. B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 答案　B 解析　由2sinx－1≥0，得sinx≥，所以2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)． (2)函數(shù)y＝cos，x∈的值域是________． 答案　 解析　x∈，x＋∈， ∴y∈. 考向　三角函數(shù)的單調(diào)性 例　2　已知函數(shù)f(x)＝

8、2sin(ω＞0)的最小正周期為π. (1)求ω的值； (2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性． 解　(1)因為f(x)＝2sin的最小正周期為π，且ω＞0.從而有＝π，故ω＝1. (2)因為f(x)＝2sin. 若0≤x≤，則≤2x＋≤. 當≤2x＋≤，即0≤x≤時， f(x)單調(diào)遞增； 當＜2x＋≤，即＜x≤時，f(x)單調(diào)遞減． 綜上可知，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減． 觸類旁通 三角函數(shù)單調(diào)性問題的解題策略 (1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω>0)的單調(diào)區(qū)間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω

9、<0，那么一定先借助誘導公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯． (2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)．先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解． 【變式訓練2】　(1)設(shè)ω是正實數(shù)，函數(shù)f(x)＝2cosωx在x∈上是減函數(shù)，那么ω的值可以是(　　) A. B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　因為函數(shù)f(x)＝2cosωx在上單調(diào)遞減，所以要使函數(shù)f(x)＝2cosωx(ω>0)在區(qū)間 上單調(diào)遞減，則有≤，即T≥，所以T＝≥，解得ω≤.所以ω的值可以是.故選A. (2)函數(shù)y＝sin的遞增區(qū)間是________． 答案　(k∈Z) 解析　∵y＝－sin，

10、∴2kπ＋≤2x－≤2kπ＋ ∴kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)． 考向　三角函數(shù)的奇偶性、周期性及對稱性 命題角度1　三角函數(shù)的周期性與奇偶性 例　3　[2018·長沙模擬]設(shè)函數(shù)f(x)＝sin的最小正周期為π，且是偶函數(shù)，則(　　) A．f(x)在內(nèi)單調(diào)遞減 B．f(x)在內(nèi)單調(diào)遞減 C．f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增 D．f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增 答案　A 解析　由條件，知ω＝2. 因為f(x)是偶函數(shù)，且|φ|<，所以φ＝， 這時f(x)＝sin＝cos2x. 因為當x∈時，2x∈(0，π)， 所以f(x)在內(nèi)單調(diào)遞減． 命題角度2　三角函數(shù)的周期性與對稱性 例　4　已

11、知ω>0,0<φ<π，直線x＝和x＝是函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)圖象的兩條相鄰的對稱軸，則φ等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由題意得＝2， ∴ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)， ∴＋φ＝＋kπ(k∈Z)， ∴φ＝＋kπ(k∈Z)． 又∵0<φ<π，∴φ＝.故選A. 命題角度3　三角函數(shù)的奇偶性與對稱性 例　5　[2018·揭陽模擬]當x＝時，函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)取得最小值，則函數(shù)y＝f(　　) A．是奇函數(shù)且圖象關(guān)于點對稱 B．是偶函數(shù)且圖象關(guān)于點(π，0)對稱 C．是奇函數(shù)且圖象關(guān)于直線x＝對稱 D．是偶函數(shù)且

12、圖象關(guān)于直線x＝π對稱 答案　C 解析　∵當x＝時，函數(shù)f(x)取得最小值， ∴sin＝－1，∴φ＝2kπ－(k∈Z)， ∴f(x)＝sin＝sin， ∴y＝f＝sin(－x)＝－sinx， ∴y＝f是奇函數(shù)，且圖象關(guān)于直線x＝對稱． 觸類旁通 函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性和對稱性 (1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則有φ＝kπ＋(k∈Z)；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)． (2)對于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，其對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點，對稱中心一定是函數(shù)的零點，因此在判斷直線x＝x0或點(x0,0

13、)是否是函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心時，可通過檢驗f(x0)的值進行判斷． 核心規(guī)律 1.討論三角函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)先把函數(shù)式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式． 2.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期為. 3.對于函數(shù)的性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、對稱性、最值等)可以通過換元的方法令t＝ωx＋φ，將其轉(zhuǎn)化為研究y＝sint的性質(zhì)． 滿分策略 1.閉區(qū)間上最值或值域問題，首先要在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性，含參數(shù)的最值問題，要討論參數(shù)對最值的影響． 2.要注意求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時ω的

14、符號，盡量化成ω>0時的情況． 3.三角函數(shù)的最值可能不在自變量區(qū)間的端點處取得，直接將兩個端點處的函數(shù)值作為最值是錯誤的. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 數(shù)學思想系列4——三角函數(shù)中的分類討論思想 [2018·龍巖模擬]已知函數(shù)f(x)＝2asin＋a＋b的定義域是，值域是[－5,1]，求a，b的值． 解題視點　①先求出2x＋的范圍，再求出sin的值域；②系數(shù)a的正、負影響著f(x)的值，因而要分a>0，a<0兩種情況討論；③根據(jù)a>0或a<0求f(x)的最值，列方程組求解． 解　因為0≤x≤，所以≤2x＋≤， －≤sin≤1. 所以當a>0時，解得 當a<0時，解得 因此

15、a＝2，b＝－5或a＝－2，b＝1. 答題啟示　(1)對此類問題的解決，首先利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性或單調(diào)性求出y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的最值，但要注意對A的正負進行討論，以便確定是最大值還是最小值； (2)再由已知列方程求解； (3)本題的易錯點是忽視對參數(shù)a>0或a<0的分類討論，導致漏解. 跟蹤訓練 已知a是實數(shù)，則函數(shù)f(x)＝1＋asinax的圖象不可能是(　　) 答案　D 解析　當a＝0時，f(x)＝1，即圖象C；當02π，即圖象A；當a>1時，三角函數(shù)的最大值為a＋

16、1 >2，且最小正周期為T＝<2π，即圖象B. 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級　基礎(chǔ)達標] 1．[2018·石家莊模擬]函數(shù)f(x)＝tan的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 答案　B 解析　由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)得，－＜x＜＋(k∈Z)，所以函數(shù)f(x)＝tan的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)．故選B. 2．[2018·桂林模擬]若函數(shù)f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函數(shù)，則φ＝(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵f(x)為偶函數(shù)，關(guān)于y軸對稱，x＝0為其對稱軸．

17、∴＝＋kπ，令x＝0，φ＝3kπ＋，當k＝0時，φ＝.選C項． 3．[2018·福州模擬]下列函數(shù)中 ，周期為π，且在上為減函數(shù)的是(　　) A．y＝sin B．y＝cos C．y＝sin D．y＝cos 答案　A 解析　對于選項A，注意到y(tǒng)＝sin＝cos2x的周期為π，且在上是減函數(shù)．故選A. 4．函數(shù)f(x)＝tanωx(ω>0)的圖象的相鄰兩支截直線y＝1所得的線段長為，則f的值是(　　) A．0 B. C．1 D. 答案　D 解析　由條件可知，f(x)的周期是.由＝，得ω＝4，所以f＝tan＝tan＝. 5．函數(shù)y＝2sin(x∈[0，π])

18、的增區(qū)間是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵y＝2sin＝－2sin，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函數(shù)的增區(qū)間為，k∈Z，∴當k＝0時，增區(qū)間為. 6．[2018·深圳模擬]函數(shù)y＝logcosx的一個單調(diào)減區(qū)間是(　　) A．(－π，0) B．(0，π) C. D. 答案　D 解析　首先應(yīng)保證cosx＞0?、?；函數(shù)y＝logcosx的單調(diào)減區(qū)間，即函數(shù)μ＝cosx的單調(diào)增區(qū)間　②.易知只有選項D符合①②. 7．[2018·鄭州模擬]如果函數(shù)y＝3sin(2x＋φ)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，則|

19、φ|的最小值為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由題意，得sin＝±1. 所以＋φ＝＋kπ，即φ＝＋kπ(k∈Z)， 故|φ|min＝. 8．函數(shù)y＝2sin－1，x∈的值域為________，并且取最大值時x的值為________． 答案　[－1,1]　 解析　∵x∈，∴2x＋∈， ∴sin∈[0,1]，∴y∈[－1,1]． 當2x＋＝時，即x＝時y取得最大值1. 9．[2018·江蘇模擬]函數(shù)y＝lg sin2x＋的定義域為________． 答案　∪ 解析　由得 ∴－3≤x＜－或0＜x＜.∴函數(shù)y＝lg sin2x＋的定義域為∪.

20、 10．如果函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖象關(guān)于點成中心對稱，那么|φ|的最小值為________． 答案　 解析　依題意得3cos＝0，＋φ＝kπ＋，φ＝kπ－(k∈Z)，所以|φ|的最小值是. [B級　知能提升] 1．[2017·全國卷Ⅲ]設(shè)函數(shù)f(x)＝cos，則下列結(jié)論錯誤的是(　　) A．f(x)的一個周期為－2π B．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱 C．f(x＋π)的一個零點為x＝ D．f(x)在單調(diào)遞減 答案　D 解析　A項，因為f(x)＝cos的周期為2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一個周期為－2π，A項正確．B項，因為f(x)＝cos圖象的對稱軸為

21、直線x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，B項正確．C項，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－π，當k＝1時，x＝，所以f(x＋π)的一個零點為x＝，C項正確．D項，因為f(x)＝cos的遞減區(qū)間為(k∈Z)，遞增區(qū)間為(k∈Z)，所以是減區(qū)間，是增區(qū)間，D項錯誤． 故選D. 2．[2018·寧夏模擬]已知ω＞0，函數(shù)f(x)＝sin在上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是(　　) A. B. C. D．(0,2) 答案　A 解析　由＜x＜π，ω＞0得，＋＜ωx＋＜ωπ＋，又y＝sinx在上遞減，所以解得 ≤ω≤.故選A. 3．已知

22、函數(shù)f(x)＝cos，其中x∈，若f(x)的值域是，則m的最大值是________． 答案　 解析　由x∈，可知≤3x＋≤3m＋， ∵f＝cos＝－，且f＝cosπ＝－1，∴要使f(x)的值域是，需要π≤3m＋≤，解得≤m≤，即m的最大值是. 4．[2018·廣東模擬]設(shè)函數(shù)f(x)＝tan. (1)求函數(shù)f(x)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間； (2)求不等式－1≤f(x)≤的解集． 解　(1)由－≠＋kπ(k∈Z)， 得x≠＋2kπ(k∈Z)， 所以函數(shù)f(x)的定義域是 . 因為ω＝，所以周期T＝＝2π. 由－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)， 得－＋2kπ

23、(k∈Z)． 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 (k∈Z)． (2)由－1≤tan≤，得－＋kπ≤－≤＋kπ(k∈Z)． 解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)． 所以不等式－1≤f(x)≤的解集是 . 5．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點M對稱． (1)求φ，ω的值； (2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (3)x∈， 求f(x)的最大值與最小值． 解　(1)因為f(x)＝sin(ωx＋φ)是R上的偶函數(shù)，所以φ＝＋kπ，k∈Z，且0≤φ≤π，則φ＝，即f(x)＝cosωx. 因為圖象關(guān)于點M對稱， 所以ω·＝＋kπ，k∈Z，且0<ω<1，所以ω＝. (2)由(1)得f(x)＝cosx，由－π＋2kπ≤x≤2kπ且k∈Z得，3kπ－≤x≤3kπ，k∈Z， 所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是，k∈Z. (3)因為x∈，所以x∈， 當x＝0時，即x＝0，函數(shù)f(x)的最大值為1， 當x＝－時，即x＝－，函數(shù)f(x)的最小值為0. 16