高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 課時(shí)分層作業(yè)二十 3.3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 理

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1、高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 課時(shí)分層作業(yè)二十 3.3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 理 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.(xx·海淀區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+)的最小正周期為π, 則ω= (　　) A.1 B.±1 C.2 D.±2 【解析】選D.因?yàn)門=,所以|ω|==2,故ω=±2. 【誤區(qū)警示】解答本題易出現(xiàn)選C的錯(cuò)誤答案,導(dǎo)致出現(xiàn)這種錯(cuò)誤的原因是忽略了周期公式T=中的ω應(yīng)加絕對(duì)值. 2.(xx·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)=cos ,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 (　　) A.f(x)的一個(gè)周期為-2π B.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=

2、對(duì)稱 C.f(x+π)的一個(gè)零點(diǎn)為x=　 D.f(x)在內(nèi)單調(diào)遞減 【解析】選D.當(dāng)x∈時(shí),x+∈,函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)不單調(diào). 3.函數(shù)y=-2cos2+1是 (　　) A.最小正周期為π的奇函數(shù) B.最小正周期為π的偶函數(shù) C.最小正周期為的奇函數(shù) D.最小正周期為的非奇非偶函數(shù) 【解析】選A.y=-2cos2+1 =-+1=sin 2x. 4.(xx·浙江高考)函數(shù)y=sin x2的圖象是(　　) 【解題指南】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和最值判斷. 【解析】選D.因?yàn)閥=sin x2為偶函數(shù),所以它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,排除A,C選項(xiàng);當(dāng)x2=,即x=±時(shí),ymax=1,排除B選

3、項(xiàng). 5.(xx·大連模擬)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx-)(ω>0),若函數(shù)f(x)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù),則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是 (　　) A. B. C. D. 【解析】選B.因?yàn)棣?x<, 所以ωπ-<ωx-<-, 由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得 即也即 所以≤ω≤. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.(xx·廣州模擬)若函數(shù)f(x)=cos(ωx+)(ω∈N*)的一個(gè)對(duì)稱中心是,則ω的最小值為________.? 【解析】因?yàn)閒=0,所以cos=0,即+=+kπ,故ω=2+6k(k∈Z),又因?yàn)棣亍蔔*,故ω的最小值為2. 答案:2 7.函數(shù)y=的

4、定義域?yàn)開_______.? 【解析】由題意得cos x≥,故2kπ-≤x≤+2kπ(k∈Z). 答案:,k∈Z 8.函數(shù)y=sin x-cos x+sin xcos x的值域?yàn)開_______. 【解析】設(shè)t=sin x-cos x, 則t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,sin xcos x=,且-≤t≤. 所以y=-+t+=-(t-1)2+1.當(dāng)t=1時(shí),ymax=1; 當(dāng)t=-時(shí),ymin=--.所以函數(shù)的值域?yàn)? 答案: 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.(xx·北京高考)已知函數(shù)f(x)=cos(2x-)-2sin xcos x.

5、 (1)求f(x)的最小正周期. (2)求證:當(dāng)x∈時(shí),f(x)≥-. 【解析】(1)f(x)=cos-2sin xcos x=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+ cos 2x=sin,所以T==π. (2)令t=2x+,因?yàn)?≤x≤, 所以-≤2x+≤, 因?yàn)閥=sin t在上遞增, 在上遞減,且sin

6、+=kπ+,k∈Z,則x=+,k∈Z. 所以函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸方程是x=+,k∈Z. (2)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 則kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z. (3)當(dāng)x∈時(shí),≤2x+≤, 所以-1≤sin≤,所以-≤f(x)≤1,所以當(dāng)x∈時(shí),函數(shù)f(x)的最大值為1,最小值為-. 1.(5分)已知函數(shù)f=sin(ω>0),x∈R.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-ω,ω)內(nèi)單調(diào)遞增,且函數(shù)y=f的圖象關(guān)于直線x=ω對(duì)稱,則ω的值為 (　　) A. B.2 C. D. 【解析】選D.因?yàn)閒(x)在區(qū)間(-ω,ω)內(nèi)單調(diào)遞

7、增,且函數(shù)圖象關(guān)于直線x=ω對(duì)稱,所以f(ω)必為一個(gè)周期上的最大值, 所以有ω·ω+=2kπ+,k∈Z, 所以ω2=+2kπ,k∈Z.又ω-(-ω)≤·, 即ω2≤,即ω2=,所以ω=. 2.(5分)(xx·廣州模擬)已知函數(shù)f(x)=sin ωx+cos ωx(x∈R),又f(α)=2,f(β)=2,且|α-β|的最小值是,則正數(shù)ω的值為 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】選D.函數(shù)f(x)=sin ωx+cos ωx =2sin. 由f(α)=2,f(β)=2,且|α-β|的最小值是, 所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=, 所以ω==4. 3.(5分)

8、(xx·深圳模擬)若函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù),且函數(shù)值從1減少到-1,則f=________. 【解析】由題意知=-=,故T=π,所以ω==2,又f=1,所以sin=1. 因?yàn)閨φ|<,所以φ=, 即f(x)=sin. 故f=sin=cos=. 答案: 4.(12分)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期為π. (1)求當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)φ的值. (2)若f(x)的圖象過(guò)點(diǎn),求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 【解析】由f(x)的最小正周期為π,則T==π,所以ω=2, 所以f(x)=sin(2x+φ). (1)當(dāng)f(x)為偶函數(shù)

9、時(shí),f(-x)=f(x). 所以sin(2x+φ)=sin(-2x+φ), 展開整理得sin 2xcos φ=0, 由已知上式對(duì)?x∈R都成立, 所以cos φ=0.因?yàn)?<φ<,所以φ=. (2)因?yàn)閒=,所以sin=,即+φ=+2kπ或+φ=+2kπ(k∈Z), 故φ=2kπ或φ=+2kπ(k∈Z), 又因?yàn)?<φ<,所以φ=, 即f(x)=sin, 由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)得 kπ-≤x≤kπ+(k∈Z), 故f(x)的遞增區(qū)間為. 5.(13分)已知函數(shù)f(x)=asin+a+b. (1)若a=-1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. (2)若

10、x∈[0,π],函數(shù)f(x)的值域是[5,8],求a,b的值. 【解析】f(x)=asin+a+b. (1)當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=-sin+b-1, 由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z), 得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z), 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ+,2kπ+],k∈Z. (2)因?yàn)?≤x≤π,所以≤x+≤, 所以-≤sin≤1,依題意知a≠0. ①當(dāng)a>0時(shí), 所以a=3-3,b=5. ②當(dāng)a<0時(shí), 所以a=3-3,b=8. 綜上所述,a=3-3,b=5 或a=3-3,b=8. 【變式備選】(xx·咸陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)=2sin. (1

11、)求函數(shù)的最大值及相應(yīng)的x值集合. (2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. (3)求函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心. 【解析】(1)當(dāng)sin=1時(shí),2x-=2kπ+,k∈Z, 即x=kπ+,k∈Z,此時(shí)函數(shù)取得最大值為2; 故f(x)的最大值為2,使函數(shù)取得最大值的x的集合為. (2)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z 得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z. 由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z 得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 ,k∈Z. (3)由2x-=+kπ,k∈Z 得x=+kπ,k∈Z. 即函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸為 x=+kπ,k∈Z. 由2x-=kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z, 即對(duì)稱中心為,k∈Z.