2022年高二數學二項式定理 人教版(I)

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1、2022年高二數學二項式定理 人教版(I) 【教學內容】 第十章 排列 組合 和概率 二項式定理 要求：（1）了解二項式、二項展開式、二項式系數等基本概念；理解和掌握二項式定理，掌握二項展開式的通項公式及其應用，會利用“楊輝三角”展開二項式。 （2）理解和掌握二項式系數的性質，能夠運用二項式宣中蘊含的數學思想，計算和證明一些簡單的問題。 【知識提要】 (一)重要概念 1、二項式定理 二項式系數（，r=0,1,2……n） 二項展開式

2、 二項展開式的通項 2、二項展開式中 （1）各項的二項式系數之和 （2）展開式中，奇數項的二項式系數之和等于偶數項的二項式系數之和： （二）學習提示 1、二項式定理實際上是二項式的n次方公式，是初中所學公式(a+b)2=a2+2ab+b2的一般情況。 使用二項式定理時，a、b可以為任何數、式，包括在高三時將要學到的復數。 2、二項展開式的通項表示(a+b)n展開式中的第項r+1項。應用時應注意結構上的統(tǒng)一。如要求“(1+x)10展開式中第4項”。即T4（不是T4+1，切記）。則“”將T4寫成T3+1的好處是求得公式結構上的統(tǒng)一，也提醒解題時，不要把T4中的

3、二項式系數寫成。 3、關于公式的證明。 課本采用了“賦值法”，這是一個常用的方法。我們對式子(a+b)n中的a，b賦以值1,-1,……，可以求得展開式中的系數和，奇數項、偶次項系數和參見例5 也可以構造一個問題（情景）來解決。 記集合A={1,2,3,……,n}是一個n元集合，它的r元子集(r=0,1,2,…n)有個（空集有個，1元素有個，以此類推），則它的所有子集共有個。 另一方面，從元素的角度考慮：元素“1”可以“選擇進入”或“選擇不進入”A的子集，同理，每個元素都和元素“1”一樣，有2種選擇方式，這樣，可以求得A的子集個數為個。 n個 【典型例題分析】 例1、求(1-

4、2x)7展開式中第4項的二項式系數、系數。 分析：先求出T4 解：T4=T3+1= ∴二項式系數為=35 系數為=-280 回顧：注意“系數”與“二項式系數”是不同的概念，在二項展開式中不論a、b的取值如何，第r+1項(Tr+1)的二項式系數總是。 例2、（1）求(2x+1)8展開式中含x3的項。 （2）求的展開式中含x3的項 （3）求展開式中含x4的項 （1）分析與解：(2x+1)8=(2x+1) (2x+1) (2x+1) (2x+1) (2x+1) (2x+1) (2x+1) (2x+1) 按多項式乘法公式，展開式的每一項都是形如(2x)m1

5、n的8次齊次式（其中m+n=8）。 要出現x3，只要有3個因式選用“2x”其余5個選用“1”參與運算即可。 ∴所求的項為。 （2）分析與解： （法一）本題無法直接象上題那樣求解，可考慮用通項公式 Tr+1=，令9-2r=3，從而得r=3，即T4=。 （法二）要求展開式中的x3項即求分子展開式中的x12項，即T= （3）分析與解： （法一）直接求解：含x4項為 （法二） 其中展開式的通項為 展開式的通項為 要使積為x4項，則4-r+4-k=4 ∴k+r=4 ∴x4項為

6、 = = x4 回顧：1、選題目的，遇到三項式或多項式的n次展開，要求其中某一項的，如“求(x+y+z)8展開式中的x2y3z3項”，可采用直接求解法，（結果為）。具體思路參見題（1）的解法或課本P105。 2、若要求將(x+y+z)8展開，可考慮用兩次二項式定理：如(x+y+z)8將(y+z)看作一項。展開后再將(y+z)r展開。 發(fā)展題：1、求(x+y+z)8展開后的項數。（答案45項） 2、求展開式中的常數項（-51） （略解）常數項即為

7、 例3、已知的展開式中，前3項的系數成等差數列，求展開式中的各有理項。 分析：先應解出n，再利用二項展開式的通項，求有理項。（整式與分式都為有理式） 解：，系數為1 ，系數為 ，系數為 由T1，T2，T3的系數成等差數列 ∴ ∴n2-9n+8=0 得n=8（n=1舍去，至少有3項，∴n≥2） 設第r+1項為有理項，則有則必為整數∴r被4整除，∴r=0,4,8 ∴這個展開式的有理項分別為 回顧：本題考查通項的應用，在解二項式定理有關問題時，通項是最基本的手段。 例4、求的展開式中含有項的系數。 解：（

8、法一）原式= 要求展開式中x2的系數即求分子上x3項的系數，即為 （法二）原式中，從第2項起展開后含有x2項，其系數依次為 則x2項的系數為 回顧：本題考查的是組合數性質的應用。二項式定理涉及許多組合數，應注意前后知識點的聯(lián)系。 法一是用到的等比數列前n項和公式。 例5、（1）已知，則= （2）若，則= （3）多項式展開式中，x的偶次項系數之和為 解：（1）令x=-1，則 又∵a0=16=1 ∴=728 （2） （3）設=a0+a1x+a2x2+…+axxx

9、 則a0-a1+a2-a3+ a0+a1+a2+a3+ 則偶次項系數之和 回顧：本例題賦值法的一個應用，令x=1或-1可以區(qū)分開含x的奇次項、偶次項的系數和。注意“賦值法”是用來計算二項式系數或是系數和的，若要計算展開式中某一項的系數，可以用展開式的通項。 例6、（1）求被8除的余數 解：91=8 ∴展開式的前92項都被8整除，末項為 ∴被8除余1 （2）求被5除所得的余數 解：（不能把2寫成5-3，這樣會余下這一項，依然無法求解） ∴被5除余2 回顧：利用二項式定理解整除性問題，如“Am被8除”，關鍵要將A寫成A=KB+n(k,n∈

10、Z)的形式。最好是使n=±1，這樣，才能更快地求出結果。此外應該注意n本身的正負號，否則可能獲得錯誤結論。 發(fā)展題：求被11除的余數。（提示：被11除余8） 例7、求證分析與證明：直接證較為困難，考慮“構造法” （法一）構造二項展開式 即求：展開式中的常數項： 左邊 另一方面要求常數項，即求得分子上的項∴所求為=右邊 （法二）構造問題情景 “從2n個元素中取n個元素”方法有種 另一方面，將2n個元素分成甲、乙兩組（每組n個元素） 列表 甲 乙 取法數 0個 n個

11、 1個 n-1個 … … …… n個 0個 （下略） 回顧：證明組合恒等式，若一味從公式出發(fā)證明，繁瑣而費力，應注意構造“多項式”定理或是構造“組合問題”利用計數原理，從而“巧妙”地加以證明。 【同步練習】 1、在(1-x3)(1+x)6的展開式中，x5的系數是 2、若二項式展開式中第八項為含有的項，則自然數n=

12、3、若的展開式中含有非零常數項，則正整數n的最小值是 4、在的展開式中，若存在相鄰兩項的系數之比為8:15，那么n的最小值為 5、已知，那么|a0|+|a1|+…+|a6|= 6、的展開式中，x2的系數為 7、展開式中含x4項的系數為 8、若(a+2b)20的展開式中的第4r項與第r+2項的二項式系數相等，則展開式中的第r項是 9、若展開式中各項的二項式系數和為512，則展開式中系數最大的項為 10、327被11除的余數為 11、若，則b=

13、 12、展開式的第二項小于第一項，但不小于第3項，求x的取值范圍。 13、計算： 14、求證： 15、求的近似值（精確到0.001） 參考答案 1、-9 2、29 T8=T7+1= ∴ ∴n=29 3、7 設為Tr+1，Tr+1= ∴2n-2r-=0 ∴6n=7r 當r=6時n=7 4、22 即 ∴8n=23r+15 n=3r+2- 當r=7時n小=22 5、729 由題意知a1,a3,a5<0 即求a0-a1+a2-a3+

14、a4-a5+a6=[1-2×(-1)]6=729 6、 即 提示：兩邊均補上一個 7、-960 含x4項為 8、9120a17b3 (4r-1=r+1舍去)則4r-1=20-r-1 得r=4 T4=T3+1= 9、126x6 ∴2n=512 n=9 二項式系數最大為第5項與第6項 而T5=126x6 T6=-126x3 ∴系數最大的項為126x6 10、9 327=3最后一項為-213×3 -3 最后一項為-24，∴余數為-24+33=9 另法： ∴被11除余9 11、-7 令x+1=t，則x=t-1 ∴ ∴b= 12、解： 依題意 ∴x的取值范圍是 13、解： ∴ ∴ 14、證明：∵ 這樣左邊= 15、解：原式= =