高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式綜合檢測(cè) 新人教B版選修4-5

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1、高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式綜合檢測(cè) 新人教B版選修4-5 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．設(shè)S(n)＝＋＋＋…＋，則(　　) A．S(n)共有n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，S(2)＝＋ B．S(n)共有n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，S(2)＝＋＋ C．S(n)共有n2－n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，S(2)＝＋＋ D．S(n)共有n2－n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，S(2)＝＋＋ 【解析】　S(n)共有n2－n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，S(2)＝＋＋. 【答案】　D 2．?dāng)?shù)列an中，已知a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1＝

2、2n－1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是(　　) A．3n－2　 B．n2 C．3n－1 D．4n－3 【解析】　計(jì)算知a1＝1，a2＝4, a3＝9，a4＝16， ∴可猜想an＝n2. 【答案】　B 3．平面內(nèi)原有k條直線，他們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)記為f(k)，則增加一條直線l后，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為(　　) A．f(k)＋1 B．f(k)＋k C．f(k)＋k＋1 D．k·f(k) 【解析】　第k＋1條直線與前k條直線都有不同的交點(diǎn)，此時(shí)應(yīng)比原先增加k個(gè)交點(diǎn)． 【答案】　B 4．下列代數(shù)式，n∈N＋，能被13整除的是(　　) A．n3＋5n B．34n＋1＋5

3、2n＋1 C．62n－1＋1 D．42n＋1＋3n＋2 【解析】　當(dāng)n＝1時(shí)，n3＋5n＝6,34n＋1＋52n＋1＝368,62n－1＋1＝7,42n＋1＋3n＋2＝91. 只有91能被13整除． 【答案】　D 5．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上(　　) A．k2 B．(k＋1)2 C. D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 【解析】　當(dāng)n＝k時(shí)，左端＝1＋2＋3＋…＋k2， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)

4、上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 【答案】　D 6．若不等式＋＋…＋>對(duì)大于1的一切自然數(shù)n都成立，則自然數(shù)m的最大值為(　　) A．12 B．13 C．14 D．不存在 【解析】　令f(n)＝＋＋…＋ 易知f(n)是單調(diào)遞增的． ∴f(n)的最小值為f(2)＝＋＝. 依題意>，∴m<14. 因此取m＝13. 【答案】　B 7．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式(　　) A．1＋<2－ B．1＋＋<2－ C．1＋<2－ D．1＋＋<2－ 【解析】　∵n≥2，第一步應(yīng)是n＝2時(shí)，1＋ <2－. 【答

5、案】　A 8．設(shè)n∈N＋，則4 n與3n的大小關(guān)系是(　　) A．4n>3n B．4n＝3n C．4n<3n D．不確定 【解析】　4n＝(1＋3)n.根據(jù)貝努利不等式，有(1＋3)n≥1＋n×3＝1＋3n>3n，即4n>3n. 【答案】　A 9．若k棱柱有f(k)個(gè)對(duì)角面，則k＋1棱柱有對(duì)角面的個(gè)數(shù)為(　　) A．2f(k) B．k－1＋f(k) C．f(k)＋k D．f(k)＋2 【解析】　由n＝k到n＝k＋1時(shí)增加的對(duì)角面的個(gè)數(shù)與底面上由n＝k到n＝k＋1時(shí)增加的對(duì)角線的條數(shù)一樣，設(shè)底面為A1A2…Ak，n＝k＋1時(shí)底面為A1A2A3…AkAk＋1，增加的對(duì)角線為A2A

6、k＋1，A3Ak＋1，A4Ak＋1，…，Ak－1Ak＋1，A1Ak，共有k－1條，因此，對(duì)角面也增加了k－1個(gè)． 【答案】　B 10．用數(shù)學(xué)歸納法證明＋cos α＋cos 3α＋…＋cos(2n－1)α＝(α≠kπ，k∈Z，n∈N＋)，在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊計(jì)算所得的項(xiàng)是(　　) A. B.＋cos α C.＋cos α＋cos 3α D.＋cos α＋cos 2α＋cos 3α 【解析】　首項(xiàng)為，末項(xiàng)為cos(2×1－1)α＝cos α. 【答案】　B 11．如果命題P(n)對(duì)于n＝k成立，則它對(duì)n＝k＋2亦成立，又若P(n)對(duì)n＝2成立，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．P

7、(n)對(duì)所有自然數(shù)n成立 B．P(n)對(duì)所有偶自然數(shù)n成立 C．P(n)對(duì)所有正自然數(shù)n成立 D．P(n)對(duì)所有比1大的自然數(shù)n成立 【解析】　因?yàn)閚＝2時(shí)，由n＝k＋2的“遞推”關(guān)系，可得到n＝4成立，再得到n＝6成立，依次類推，因此，命題P(n)對(duì)所有的偶自然數(shù)n成立． 【答案】　B 12．在數(shù)列{an}中，a1＝且Sn＝n(2n－1)an，通過求a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式為(　　) A. B. C. D. 【解析】　∵a1＝，由Sn＝n(2n－1)an得， a1＋a2＝2(2×2－1)a2， 解得a2＝＝， a1＋a2＋a3＝3×(2×3－1)a3，

8、 解得a3＝＝， a1＋a2＋a3＋a4＝4(2×4－1)a4， 解得a4＝＝. 【答案】　C 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把答案填在題中橫線上) 13．探索表達(dá)式A＝(n－1)(n－1)?。?n－2)(n－2)?。?×1?。?×1！(n>1且n∈N＋)的結(jié)果時(shí)，第一步n＝________時(shí)，A＝________. 【解析】　 第一步n＝2時(shí)，A＝(2－1)(2－1)?。?. 【答案】　2　1 14．已知數(shù)列，，，…，，…，則S1，S2，S3，S4的值分別是________ ，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想Sn＝________. 【解析】　S1＝，S2＝＋＝

9、，S3＝＋＝，S4＝＋＝，猜想Sn＝. 【答案】　，，，　 15．證明1＋＋＋＋…＋>(n∈N＋)，假設(shè)n＝k時(shí)成立，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)是________． 【解析】　左邊增加的項(xiàng)數(shù)為2k＋1－1－2k＋1＝2k. 【答案】　2k 16．在△ABC中，不等式＋＋≥成立；在四邊形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立；在五邊形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立．猜想在n邊形A1A2…An中，其不等式為________． 【解析】?。?，＝，＝，所以在n邊形A1A2…An中，＋＋…＋≥. 【答案】?。? 三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程

10、或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)設(shè)n∈N＋，求證：3n>2n. 【證明】　∵3n＝(1＋2)n，根據(jù)貝努利不等式，有(1＋2)n≥1＋n×2＝1＋2n. 上式右邊舍去1，得(1＋2)n>2n. ∴3n>2n成立． 18．(本小題滿分12分)求證：62n＋3n＋2＋3n是11的倍數(shù)(n∈N＋)． 【證明】　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，62×1＋31＋2＋31＝66，是11的倍數(shù)． (2)假設(shè)n＝k(k∈N＋，且k≥1)時(shí)，命題成立， 即62k＋3k＋2＋3k是11的倍數(shù)． 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 62(k＋1)＋3k＋3＋3k＋1＝62k＋2＋3k＋3＋3k＋1 ＝36·62k＋

11、3·3k＋2＋3·3k ＝33·62k＋3·62k＋3·3k＋2＋3·3k ＝33·62k＋3(62k＋3k＋2＋3k)． 由假設(shè)可知3(62k＋3k＋2＋3k)是11的倍數(shù)，而33·62k也是11的倍數(shù)，即n＝k＋1時(shí)，原命題正確． 由(1)(2)可知，對(duì)任意n∈N＋原命題成立． 19．(本小題滿分12分)求證：平面上通過同一點(diǎn)的n條直線分平面為2n部分． 【證明】　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，一條直線把平面分成兩部分，故命題成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥1)時(shí)，平面上通過同一點(diǎn)的k條直線把平面分成2k個(gè)部分，設(shè)第(k＋1)條直線落在相鄰的兩條直線之間，它把這兩條直線所圍成的平面上的兩個(gè)

12、區(qū)域變成4個(gè)區(qū)域，也即增加一條直線后，平面上的區(qū)域共有2k＋2＝2(k＋1)個(gè)，故命題對(duì)于n＝k＋1也成立． 由(1)、(2)知原命題對(duì)于任何正整數(shù)n都成立． 20．(本小題滿分12分)求證：＋＋＋…＋>(n≥2，且n∈N＋)． 【證明】　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，>0，不等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N＋)時(shí)，原不等式成立． 即＋＋＋＋…＋>. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 左邊＝＋＋＋…＋＋＋＋…＋ >＋＋＋…＋ >＋＋＋…＋(共2k－1個(gè)) ＝＋＝＝. ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，原不等式成立． 由(1)、(2)知，原不等式對(duì)n≥2的所有的自然數(shù)都成立． 故＋＋＋…＋>(n

13、≥2，n∈N＋)． 21．(本小題滿分12分)如果數(shù)列{an}滿足條件：a1＝－4，an＋1＝(n＝1,2，…)，證明：對(duì)任何自然數(shù)n，都有an＋1>an且an<0. 【證明】　(1)由于a1＝－4， a2＝＝＝>a1. 且a1<0，因此，當(dāng)n＝1時(shí)不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，ak＋1>ak且ak<0. 那么ak＋1＝<0. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，有ak＋2＝， ∴ak＋2－ak＋1＝－ ＝>0. 因此ak＋2>ak＋1且ak＋1<0 這就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式也成立， 根據(jù)(1)(2)，不等式對(duì)任何自然數(shù)n都成立． 因此，對(duì)任何自然數(shù)n，都有an＋1

14、>an且an<0. 22．(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn，an的等差中項(xiàng)為1. (1)寫出a1，a2，a3； (2)猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． 【解】　(1)由題意Sn＋an＝2，可得a1＝1，a2＝， a3＝. (2)猜想an＝()n－1. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，()n－1＝()0＝1，等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，等式成立，即ak＝()k－1， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由Sk＋1＋ak＋1＝2，Sk＋ak＝2， 得(Sk＋1－Sk)＋ak＋1－ak＝0，即2ak＋1＝ak， ∴ak＋1＝ak＝()·()k－1＝()(k＋1)－1. 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立． 由①②可知，對(duì)n∈N＋，an＝()n－1.