2022年高考數學5年真題備考題庫 第四章 第3節(jié) 平面向量的數量積與平面向量應用舉例 理（含解析）

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1、2022年高考數學5年真題備考題庫 第四章 第3節(jié) 平面向量的數量積與平面向量應用舉例 理（含解析） 1. （xx重慶，5分）已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，則實數k＝(　　) A．－ B．0 C．3 D. 解析：　因為2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3，選C. 答案：C 2. （xx山東，5分）在△ABC中，已知·＝tan A，當A＝時，△ABC的面積為________． 解析：根據平面向量數量積的概念得 ·＝||·||cos A， 當A＝時

2、，根據已知可得||·||＝， 故△ABC的面積為||·||·sin ＝. 答案： 3. （xx安徽，5分）已知兩個不相等的非零向量a，b，兩組向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2個a和3個b排列而成．記S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4＋x5·y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值．則下列命題正確的是________(寫出所有正確命題的編號)． ①S有5個不同的值； ②若a⊥b，則Smin與|a|無關； ③若a∥b，則Smin與|b|無關； ④若|b|>4|a|，則Smin>0； ⑤若|b|＝2a，Smin＝8|a|2，則a與

3、b的夾角為. 解析：對于①，若a，b有0組對應乘積，則S1＝2a2＋3b2，若a，b有2組對應乘積，則S2＝a2＋2b2＋2a·b，若a，b有4組對應乘積，則S3＝b2＋4a·b，所以S最多有3個不同的值，①錯誤； 因為a，b是不等向量，所以S1－S3＝2a2＋2b2－4a·b＝2(a－b)2>0，S1－S2＝a2＋b2－2a·b＝(a－b)2>0，S2－S3＝(a－b)2>0，所以S3

4、16|a|2＋16|a|2cos θ＝16|a|2(1＋cos θ)≥0，故Smin>0，④正確； 對于⑤，|b|＝2|a|，Smin＝4|a|2＋8|a|2cos θ＝8|a|2，所以cos θ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，⑤錯誤． 答案：②④ 4. （xx湖北，5分）設向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，則實數λ＝________. 解析：(a＋λb)⊥(a－λb)?(a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝0?18－2λ2＝0?λ＝±3. 答案：±3 5. （xx天津，5分）已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點E，F(xiàn)分別在邊B

5、C，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，則λ＋μ＝(　　) A. B. C. D. 解析：如圖所示，以菱形ABCD的兩條對角線所在直線為坐標軸，建立平面直角坐標系xOy，不妨設A(0，－1)，B(－，0)，C(0,1)，D(，0)，由題意得＝(1－λ)·＝(λ－，λ－1)，＝(1－μ) ＝(－μ，μ－1)． 因為·＝－，所以3(λ－1)·(1－μ)＋(λ－1)·(μ－1)＝－，即(λ－1)(μ－1)＝. 因為＝＋＝(λ－，λ＋1)， ＝＋＝(－μ，μ＋1)， 又·＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2. 由 整理得λ＋μ＝.選C. 答案：C

6、6. （xx江蘇，5分）如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，則·的值是________． 解析：因為＝＋＝＋， ＝＋＝－， 所以·＝·＝ ||2－||2－·＝2，將AB＝8，AD＝5代入解得·＝22. 答案：22 6. （xx安徽，5分）在平面直角坐標系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，點Q滿足OQ―→＝(a＋b)．曲線C＝{P|＝acos θ＋bsin θ，0≤θ<2π}，區(qū)域Ω＝{P|0

7、R<3 D．1

8、y)，由| |＝1，得(x－3)2＋y2＝1，向量＋＋＝(x－1，y＋)，故|＋＋|＝的最大值為圓(x－3)2＋y2＝1上的動點到點(1，－)距離的最大值，其最大值為圓(x－3)2＋y2＝1的圓心(3,0)到點(1，－)的距離加上圓的半徑，即＋1＝1＋. 答案：1＋ 6. （xx山東，12分）已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函數f(x)＝a·b，且y＝f(x)的圖象過點和點. (1)求m，n的值； (2)將y＝f(x)的圖象向左平移φ(0<φ<π)個單位后得到函數y＝g(x)的圖象．若y＝g(x)圖象上各最高點到點(0,3)的距離的最小值為1，求y＝g(x)

9、的單調遞增區(qū)間． 解：(1)由題意知f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x. 因為y＝f(x)的圖象過點和， 所以 即 解得m＝，n＝1. (2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin. 由題意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin. 設y＝g(x)的圖象上符合題意的最高點為(x0,2)，由題意知x＋1＝1，所以x0＝0， 即到點(0,3)的距離為1的最高點為(0,2)． 將其代入y＝g(x)得sin＝1， 因為0<φ<π，所以φ＝. 因此g(x)＝2sin＝2cos 2x. 由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z. 所

10、以函數y＝g(x)的單調遞增區(qū)間為，k∈Z. 7. （xx遼寧，12分）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a>c.已知·＝2，cos B＝，b＝3.求： (1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值． 解：(1)由·＝2得c·acos B＝2， 又cos B＝，所以ac＝6. 由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B. 又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13. 解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2. 因a>c，所以a＝3，c＝2. (2)在△ABC中， sin B＝＝＝， 由正弦定理，得sin C＝sin B＝·＝. 因a＝b>c，

11、所以C為銳角， 因此cos C＝＝＝. 于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝·＋·＝. 8．（xx湖南，5分）已知a，b是單位向量，a·b＝0.若向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的取值范圍是(　　) A．[－1，＋1]　　　　　　　　 B．[－1，＋2] C．[1，＋1] D．[1，＋2] 解析：本小題主要考查單位向量和向量的模的概念、向量垂直的條件，考查轉化化歸、數形結合、特殊與一般等數學思想．由a，b為單位向量且a·b＝0，可設a＝(1,0)，b＝(0,1)，又設c＝(x，y)，代入|c－a－b|＝1得(x－1)2＋(y－1)2＝1，又|

12、c|＝，故由幾何性質得 －1≤|c|≤ ＋1，即－1≤|c|≤＋1. 答案：A 9．（xx湖北，5分）已知點A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，則向量在方向上的投影為(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：本題考查向量的坐標運算及向量投影的概念，意在考查考生對基礎知識的掌握情況．＝(2,1)，＝(5,5)，向量＝(2,1)在＝(5,5)上的投影為||cos〈，〉＝||＝＝＝，故選A. 答案：A 10．（xx新課標全國Ⅰ，5分）已知兩個單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，則t＝________. 解析：本題考查

13、平面向量的數量積運算，意在考查考生的運算求解能力．根據數量積b·c＝0，把已知兩向量的夾角轉化到兩向量數量積的運算中．因為向量a，b為單位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夾角為60°，所以a·b＝，由b·c＝0得b·[ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝0，所以t＋(1－t)＝0，所以t＝2. 答案：2 11．（xx浙江，4分）設e1，e2為單位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夾角為，則的最大值等于________． 解析：本題考查向量的概念、運算、函數的最值等知識，考查轉化與化歸能力、函數與方程思想以及靈活利用知識分析問題、解決問題的能力

14、．當x＝0時，＝0，當x≠0時，2＝＝＝≤4，所以的最大值是2，當且僅當＝－時取到最大值． 答案：2 12．（xx天津，5分）在平行四邊形ABCD中， AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點．若·＝1, 則AB的長為________． 解析：本題考查平面向量的運算，意在考查考生的運算求解能力．設||＝x，x＞0，則·＝x.又·＝(＋)·(－)＝1－x2＋x＝1，解得x＝，即AB的長為. 答案： 13.（xx湖南，5分）在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，點P是邊AB上異于A，B的一點，光線從點P出發(fā)，經BC，CA反射后又回到點P(如圖)．若光線QR經過△ABC的重心，則AP

15、等于(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．1 C. D. 解析：本小題主要考查對稱性和解析法，考查轉化化歸、數形結合等數學思想．以AB、AC所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，則A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，得△ABC的重心D，設AP＝x，從而P(x,0)，x∈(0,4)，由光的幾何性質可知點P關于直線BC、AC的對稱點P1(4,4－x)、P2(－x,0)與△ABC的重心D共線，所以＝，求得x＝. 答案：D　 14．（xx遼寧，12分）設向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈. (1)若|a|＝|b|，求x的值； (2

16、)設函數f(x)＝a·b，求f(x)的最大值． 解：本題考查向量與三角函數的綜合應用，側重考查三角函數的性質． (1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x， |b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1， 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. 又x∈，從而sin x＝， 所以x＝. (2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋， 當x＝∈時，sin取最大值1. 所以f(x)的最大值為. 15．（xx遼寧，5分）已知兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結論正確的是(　　) A

17、．a∥b　　　　　　　　 B．a⊥b C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b 解析：由|a＋b|＝|a－b|，兩邊平方并化簡得a·b＝0，又a，b都是非零向量，所以a⊥b. 答案：B 16．（xx湖南，5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，則BC＝(　　) A. B. C．2 D. 解析：設角A，B，C的對邊分別為a，b，c.·＝1，即accos B＝－1.在△ABC中，再根據余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，及AB＝c＝2，AC＝b＝3，可得a2＝3，即BC＝. 答案：A 17．（2011廣東，5分）若向量a，b，c滿足a∥b且a⊥c，則c·

18、(a＋2b)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 解析：由a∥b及a⊥c，得b⊥c， 則c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0. 答案：D 18．（2011遼寧，5分）若a，b，c均為單位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，則|a＋b－c|的最大值為(　　) A.－1 B．1 C. D．2 解析：由已知條件，向量a，b，c都是單位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c)(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，因為|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c， 所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≤1， 故|a＋b－c|≤1. 答案：B