2019年高考數學一輪復習 坐標系與參數方程 第1節(jié) 坐標系學案 文 北師大版

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1、 第一節(jié)　坐標系 [考綱傳真]　1.理解坐標系的作用，了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.2.了解極坐標的基本概念，會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，能進行極坐標和直角坐標的互化.3.能在極坐標系中給出簡單圖形表示的極坐標方程． (對應學生用書第158頁) [基礎知識填充] 1．平面直角坐標系中的坐標伸縮變換 設點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換φ：的作用下，點P(x，y)對應到點P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換． 2．極坐標系 (1)極坐標與極坐標系的概念 在平面內取一個定點O，叫作極點，從O點引一條

2、射線Ox，叫作極軸，選定一個單位長度和角的正方向(通常取逆時針方向)．這樣就確定了一個平面極坐標系，簡稱為極坐標系．對于平面內任意一點M，用ρ表示線段OM的長，θ表示以Ox為始邊、OM為終邊的角度，ρ叫作點M的極徑，θ叫作點M的極角，有序實數對(ρ，θ)叫做點M的極坐標，記作M(ρ，θ)． 當點M在極點時，它的極徑ρ＝0，極角θ可以取任意值． 圖-- (2)極坐標與直角坐標的互化 設M為平面內的一點，它的直角坐標為(x，y)，極坐標為(ρ，θ)．由圖可知下面關系式成立： 或 圖-- 3．常用簡單曲線的極坐標方程 曲線 圖形 極坐標方程 圓心在極點，半徑為r

3、的圓 ρ＝r(0≤θ≤2π) 圓心為(r,0)，半徑為r的圓 ρ＝2rcos θ 圓心為，半徑為r的圓 ρ＝2rsin θ(0≤θ＜π) 過極點，傾斜角為α的直線 θ＝α(ρ∈R)或 θ＝π＋α(ρ∈R) 過點(a,0)，與極軸垂直的直線 ρcos θ＝a 過點，與極軸平行的直線 ρsin θ＝a(0＜θ＜π) [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平面直角坐標系內的點與坐標能建立一一對應關系，在極坐標系中點與坐標也是一一對應關系．(　　) (2)若點P的直角坐標為(1，－)，

4、則點P的一個極坐標是.(　　) (3)在極坐標系中，曲線的極坐標方程不是唯一的．(　　) (4)極坐標方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲線是一條直線．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．(教材改編)若以直角坐標系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，則線段y＝1－x(0≤x≤1)的極坐標方程為(　　) A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤ C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ A　[∵y＝1－x(0≤x≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴

5、ρ＝.] 3．(教材改編)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．若曲線C的極坐標方程為ρ＝2sin θ，則曲線C的直角坐標方程為________． x2＋y2－2y＝0　[由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ. 所以曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2y＝0.] 4．已知直線l的極坐標方程為2ρsin＝，點A的極坐標為A，則點A到直線l的距離為________． 　[由2ρsin＝，得 2ρ＝， ∴y－x＝1. 由A，得點A的直角坐標為(2，－2)． ∴點A到直線l的距離d＝＝.] 5．已知圓C的極坐標方程為ρ2＋2ρ·

6、sin－4＝0，求圓C的半徑. 【導學號：00090368】 [解]　以極坐標系的極點為平面直角坐標系的原點O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標系xOy. 圓C的極坐標方程可化為ρ2＋2ρ－4＝0， 化簡，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 則圓C的直角坐標方程為 x2＋y2－2x＋2y－4＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6， 所以圓C的半徑為. (對應學生用書第159頁) 平面直角坐標系中的伸縮變換 　將圓x2＋y2＝1上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C． (1)求曲線C的方程； (2)設直線l

7、：2x＋y－2＝0與C的交點為P1，P2，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程． [解]　(1)設(x1，y1)為圓上的點，在已知變換下變?yōu)榍€C上的點(x，y)，依題意，得 2分 由x＋y＝1得x2＋2＝1， 故曲線C的方程為x2＋＝1. 5分 (2)由 解得或 6分 不妨設P1(1,0)，P2(0,2)，則線段P1P2的中點坐標為，所求直線斜率為k＝， 8分 于是所求直線方程為y－1＝， 化為極坐標方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直線的極坐標方程為ρ＝. 10分

8、 [規(guī)律方法]　1.解答該類問題應明確兩點：一是根據平面直角坐標系中的伸縮變換公式的意義與作用；二是明確變換前的點P(x，y)與變換后的點P′(x′，y′)的坐標關系，利用方程思想求解． 2．求交點坐標，得直線方程，最后化為極坐標方程，其實質是將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入轉化． [變式訓練1]　在平面直角坐標系中，已知伸縮變換φ： (1)求點A經過φ變換所得點A′的坐標； (2)求直線l：y＝6x經過φ變換后所得直線l′的方程． [解]　(1)設點A′(x′，y′)，由伸縮變換 φ：得 ∴x′＝×3＝1，y′＝＝－1. ∴點A′的坐標為(1，

9、－1)． (2)設P′(x′，y′)是直線l′上任意一點． 由伸縮變換φ： 得 代入y＝6x，得2y′＝6·＝2x′， ∴y′＝x′為所求直線l′的方程． 極坐標與直角坐標的互化 　(2017·全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcos θ＝4. (1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程； (2)設點A的極坐標為，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值． [解]　(1)設點P的極坐標為(ρ，θ)(ρ>0)，點M的極坐標為(

10、ρ1，θ)(ρ1>0)． 由題設知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝. 由|OM|·|OP|＝16得C2的極坐標方程ρ＝4cos θ(ρ＞0). 2分 因此C2的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0). 4分 (2)設點B的極坐標為(ρB，α)(ρB>0)． 由題設知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面積 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB 6分 ＝4cos α· ＝2≤2＋. 8分 當α＝－時，S取得最大值2＋. 所以△OAB面積的最大值為2＋. 10分 [規(guī)律方法]　1.進行極坐標方程與直角坐標方程互化的關鍵是靈活應用互化

11、公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)． 2．進行極坐標方程與直角坐標方程互化時，要注意ρ，θ的取值范圍及其影響；要善于對方程進行合理變形，并重視公式的逆向與變形使用；要靈活運用代入法和平方法等方法． [變式訓練2]　(2016·北京高考改編)在極坐標系中，已知極坐標方程C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ. (1)求曲線C1，C2的直角坐標方程，并判斷兩曲線的形狀； (2)若曲線C1，C2交于A，B兩點，求兩交點間的距離． [解]　(1)由C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0， ∴x－y－1＝0

12、，表示一條直線． 由C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ， ∴x2＋y2＝2x，則(x－1)2＋y2＝1. ∴C2是圓心為(1,0)，半徑r＝1的圓． (2)由(1)知點(1,0)在直線x－y－1＝0上， 因此直線C1過圓C2的圓心． ∴兩交點A，B的連線段是圓C2的直徑． 因此兩交點A，B間的距離|AB|＝2r＝2. 直線與圓的極坐標方程的應用 　(2016·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(t為參數，a>0)．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝4cos θ. (1)說明C1是哪一種曲線，并將

13、C1的方程化為極坐標方程； (2)直線C3的極坐標方程為θ＝α0，其中α0滿足tan α0＝2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求A． [解]　(1)消去參數t得到C1的普通方程為x2＋(y－1)2＝a2，則C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓. 2分 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標方程為ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. 4分 (2)曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組 若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知tan θ＝2，得16cos2θ－8sin θcos

14、 θ＝0， 8分 從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1. 當a＝1時，極點也為C1，C2的公共點，且在C3上． 所以a＝1. 10分 [規(guī)律方法]　1.第(1)問將曲線C1的參數方程先化為普通方程，再化為極坐標方程，考查學生的化歸與轉化能力．第(2)問中關鍵是理解極坐標方程，有意識地將問題簡單化，進而求解． 2．由極坐標方程求曲線交點、距離等幾何問題時，如果不能直接用極坐標方程解決，可先轉化為直角坐標方程，然后求解． [變式訓練3]　(2018·石家莊模擬)已知曲線C1：x＋y＝和C2：(φ為參數)．以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，且兩種坐標

15、系中取相同的長度單位． (1)把曲線C1和C2的方程化為極坐標方程； (2)設C1與x，y軸交于M，N兩點，且線段MN的中點為P.若射線OP與C1，C2交于P，Q兩點，求P，Q兩點間的距離． [解]　(1)曲線C1化為ρcos θ＋ρsin θ＝. ∴ρsin＝. 2分 曲線C2化為＋＝1.(*) 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(*)式 得cos2θ＋sin2θ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6. ∴曲線C2的極坐標方程為ρ2＝. 4分 (2)∵M(，0)，N(0,1)，∴P， ∴OP的極坐標方程為θ＝， 6分 把θ＝代入ρsin＝得ρ1＝1，P. 把θ＝代入ρ2＝得ρ2＝2，Q. 8分 ∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q兩點間的距離為1. 10分 7