2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)1 第9講 函數(shù)模型及其應(yīng)用習(xí)題 理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)1 第9講 函數(shù)模型及其應(yīng)用習(xí)題 理 新人教A版 一、填空題 1.給出下列函數(shù)模型：①一次函數(shù)模型；②冪函數(shù)模型；③指數(shù)函數(shù)模型；④對(duì)數(shù)函數(shù)模型.下表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，它最可能的函數(shù)模型是________(填序號(hào)). x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 答案?、? 2.某工廠6年來(lái)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前3年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，后3年年產(chǎn)量保持不變，則該廠6年來(lái)這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系圖象正確的是_______

2、_(填序號(hào)). 解析　前3年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，說(shuō)明呈高速增長(zhǎng)，只有①，③圖象符合要求，而后3年年產(chǎn)量保持不變，總產(chǎn)量增加，故①正確，③錯(cuò)誤. 答案?、? 3.某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元.一個(gè)月的本地網(wǎng)內(nèi)打出電話時(shí)間t(分鐘)與打出電話費(fèi)s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖，當(dāng)打出電話150分鐘時(shí)，這兩種方式電話費(fèi)相差________元. 解析　設(shè)A種方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為s＝k1t＋20， B種方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為s＝k2t， 當(dāng)t＝100時(shí)，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝， t＝150時(shí)，150k2－150k1－20＝1

3、50×－20＝10. 答案　10 4.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長(zhǎng)x為_(kāi)_______m. 解析　設(shè)內(nèi)接矩形另一邊長(zhǎng)為y，則由相似三角形性質(zhì)可得＝，解得y＝40－x，所以面積S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，當(dāng)x＝20時(shí)，Smax＝400. 答案　20 5.(xx·長(zhǎng)春模擬)一個(gè)容器裝有細(xì)沙a cm3，細(xì)沙從容器底下一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，t min 后剩余的細(xì)沙量為 y＝ae－bt(cm3)，經(jīng)過(guò) 8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過(guò)________min，容器

4、中的沙子只有開(kāi)始時(shí)的八分之一. 解析　當(dāng)t＝0時(shí)，y＝a，當(dāng)t＝8時(shí)，y＝ae－8b＝a， ∴e－8b＝，容器中的沙子只有開(kāi)始時(shí)的八分之一時(shí)， 即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b， 則t＝24，所以再經(jīng)過(guò)16 min. 答案　16 6. A，B兩只船分別從在東西方向上相距145 km的甲乙兩地開(kāi)出.A從甲地自東向西行駛.B從乙地自北向南行駛，A的速度是40 kmh，B的速度是 16 kmh，經(jīng)過(guò)________小時(shí)，AB間的距離最短. 解析　設(shè)經(jīng)過(guò)x h，A，B相距為y km， 則y＝(0≤x≤)，求得函數(shù)的最小值時(shí)x的值為. 答案　 7.某企

5、業(yè)投入100萬(wàn)元購(gòu)入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬(wàn)元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬(wàn)元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬(wàn)元.為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為_(kāi)_______. 解析　設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為x，設(shè)備年平均費(fèi)用為y，則x年后的設(shè)備維護(hù)費(fèi)用為2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均費(fèi)用為y＝＝x＋＋1.5，由基本不等式得y＝x＋＋1.5≥2 ＋1.5＝21.5，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝10時(shí)取等號(hào). 答案　10 8.(xx·北京卷改編)汽車(chē)的“燃油效率”是指汽車(chē)每消耗1升汽油行駛的里程.下圖描述了甲、乙、

6、丙三輛汽車(chē)在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是________(填序號(hào)). ①消耗1升汽油，乙車(chē)最多可行駛5千米；②以相同速度行駛相同路程，三輛車(chē)中，甲車(chē)消耗汽油量最多；③甲車(chē)以80千米/時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油；④某城市機(jī)動(dòng)車(chē)最高限速80千米/時(shí).相同條件下，在該市用丙車(chē)比用乙車(chē)更省油. 解析　根據(jù)圖象所給數(shù)據(jù)，逐個(gè)驗(yàn)證選項(xiàng).根據(jù)圖象知消耗1升汽油，乙車(chē)最多行駛里程大于5千米，故①錯(cuò)；以相同速度行駛時(shí)，甲車(chē)燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時(shí)，甲車(chē)消耗汽油最少，故②錯(cuò)；甲車(chē)以80千米/時(shí)的速度行駛時(shí)燃油效率為10千米/升，行駛1小時(shí)，里程為80千米，消耗8

7、升汽油，故③錯(cuò)；最高限速80千米/小時(shí)，丙車(chē)的燃油效率比乙車(chē)高，因此相同條件下，在該市用丙車(chē)比用乙車(chē)更省油，故④對(duì). 答案?、? 二、解答題 9.(xx·江蘇卷)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計(jì)劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù)y＝(其中a，b為常數(shù))模型.

8、(1)求a，b的值； (2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t. ①請(qǐng)寫(xiě)出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t)，并寫(xiě)出其定義域； ②當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度. 解　(1)由題意知，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(5，40)，(20，2.5). 將其分別代入y＝， 得解得 (2)①由(1)知，y＝(5≤x≤20)， 則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，設(shè)在點(diǎn)P處的切線l交x，y軸分別于A，B點(diǎn)，y′＝－， 則l的方程為y－＝－(x－t)， 由此得A，B. 故f(t)＝＝，t∈[5，20]. ②設(shè)g(t)＝t2＋，則g′(t)＝2t－. 令g′(t)＝0，解得t＝10. 當(dāng)t∈

9、(5，10)時(shí)，g′(t)＜0，g(t)是減函數(shù)； 當(dāng)t∈(10，20)時(shí)，g′(t)＞0，g(t)是增函數(shù). 從而，當(dāng)t＝10時(shí)，函數(shù)g(t)有極小值，也是最小值， 所以g(t)min＝300，此時(shí)f(t)min＝15. 答：當(dāng)t＝10時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短，最短長(zhǎng)度為15千米. 10.(xx·南通模擬)某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y＝－48x＋8 000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸. (1)求年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本； (2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40

10、萬(wàn)元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？ 解　(1)每噸平均成本為(萬(wàn)元). 則＝＋－48≥2 －48＝32， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝200時(shí)取等號(hào). ∴年產(chǎn)量為200噸時(shí)，每噸平均成本最低為32萬(wàn)元. (2)設(shè)年獲得總利潤(rùn)為R(x)萬(wàn)元. 則R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000 ＝－＋88x－8 000 ＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210). ∵R(x)在[0，210]上是增函數(shù)，∴x＝210時(shí)， R(x)有最大值為－(210－220)2＋1 680＝1 660. ∴年產(chǎn)量為210噸時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)1 660萬(wàn)元. 能

11、力提升題組 (建議用時(shí)：20分鐘) 11.某桶裝水經(jīng)營(yíng)部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進(jìn)價(jià)是5元，銷(xiāo)售單價(jià)與日均銷(xiāo)售量的關(guān)系如表所示： 銷(xiāo)售單價(jià)/元 6 7 8 9 10 11 12 日均銷(xiāo)售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析，這個(gè)經(jīng)營(yíng)部為獲得最大利潤(rùn)，定價(jià)應(yīng)為_(kāi)_______元. 解析　設(shè)在進(jìn)價(jià)基礎(chǔ)上增加x元后，日均銷(xiāo)售利潤(rùn)為y元， 日均銷(xiāo)售量為480－40(x－1)＝520－40x(桶)， 則y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200，0＜x＜13. 當(dāng)

12、x＝6.5時(shí)，y有最大值.所以只需將銷(xiāo)售單價(jià)定為11.5元，就可獲得最大的利潤(rùn). 答案　11.5 12.某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，開(kāi)源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時(shí)，矩形兩邊長(zhǎng)x，y應(yīng)為_(kāi)_______. 解析　由三角形相似得＝.得x＝(24－y)， ∴S＝xy＝－(y－12)2＋180， ∴當(dāng)y＝12時(shí)，S有最大值，此時(shí)x＝15. 答案　x＝15，y＝12 13.一個(gè)工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬(wàn)元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬(wàn)元，年產(chǎn)量為x(x∈N*)件.當(dāng)x≤ 20時(shí)，年銷(xiāo)

13、售總收入為(33x－x2)萬(wàn)元；當(dāng)x＞20時(shí)，年銷(xiāo)售總收入為260萬(wàn)元.記該工廠生產(chǎn)并銷(xiāo)售這種產(chǎn)品所得的年利潤(rùn)為y萬(wàn)元，則y(萬(wàn)元)與x(件)的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______，該工廠的年產(chǎn)量為_(kāi)_______件時(shí)，所得年利潤(rùn)最大(年利潤(rùn)＝年銷(xiāo)售總收入－年總投資). 解析　當(dāng)0＜x≤20時(shí)，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；當(dāng)x＞20時(shí)，y＝260－100－x＝160－x. 故y＝(x∈N*). 當(dāng)0＜x≤20時(shí)，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16時(shí)，ymax＝156.而當(dāng)x＞20時(shí)，160－x＜140，故x＝16時(shí)取得最大年利潤(rùn). 答案

14、　y＝(x∈N*)　16 14.(xx·淮安調(diào)研) 在扶貧活動(dòng)中，為了盡快脫貧(無(wú)債務(wù))致富，企業(yè)甲將經(jīng)營(yíng)狀況良好的某種消費(fèi)品專(zhuān)賣(mài)店以5.8萬(wàn)元的優(yōu)惠價(jià)格轉(zhuǎn)讓給了尚有5萬(wàn)元無(wú)息貸款沒(méi)有償還的小型企業(yè)乙，并約定從該店經(jīng)營(yíng)的利潤(rùn)中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費(fèi)的開(kāi)支3 600元后，逐步償還轉(zhuǎn)讓費(fèi)(不計(jì)息).在甲提供的資料中：①這種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件14元；②該店月銷(xiāo)量Q(百件)與銷(xiāo)售價(jià)格P(元)的關(guān)系如圖所示；③每月需各種開(kāi)支2 000元. (1)當(dāng)商品的價(jià)格為每件多少元時(shí)，月利潤(rùn)扣除職工最低生活費(fèi)的余額最大？并求最大余額； (2)企業(yè)乙只依靠該店，最早可望在幾年后脫貧？ 解　設(shè)該店月利潤(rùn)余額為L(zhǎng)元， 則由題設(shè)得L＝Q(P－14)×100－3 600－2 000，① 由銷(xiāo)量圖易得Q＝ 代入①式得 L＝ (1)當(dāng)14≤P≤20時(shí)，Lmax＝450元，此時(shí)P＝19.5元； 當(dāng)20＜P≤26時(shí)，Lmax＝元，此時(shí)P＝元. 故當(dāng)P＝19.5元時(shí)，月利潤(rùn)余額最大，為450元. (2)設(shè)可在n年后脫貧， 依題意有12n×450－50 000－58 000≥0，解得n≥20. 即最早可望在20年后脫貧.