2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列 第31講 數(shù)列求和學(xué)案

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1、 第31講　數(shù)列求和 考綱要求 考情分析 命題趨勢(shì) 1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式． 2．掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見方法. 2016·全國(guó)卷Ⅱ，17 2016·江蘇卷，18 2016·北京卷，12 利用公式求數(shù)列的前n項(xiàng)和，利用常見求和模型求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 分值：5分 1．公式法與分組求和法 (1)公式法 直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和． ①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： Sn＝＝__na1＋d__. ②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： Sn＝ (2)分組求和法 若一個(gè)數(shù)列是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則

2、求和時(shí)可用分組求和法分別求和后相加減． 2．倒序相加法與并項(xiàng)求和法 (1)倒序相加法 如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的． (2)并項(xiàng)求和法 在一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和． 形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 3．裂項(xiàng)相消法 (

3、1)把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和． (2)常見的裂項(xiàng)技巧 ①＝－. ②＝. ③＝. ④＝－. 4．錯(cuò)位相減法 如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的． 1．思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)． (1)如果已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，則在求其前n項(xiàng)和時(shí)使用公式Sn＝較為合理．(　√　) (2)如果數(shù)列為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項(xiàng)和Sn＝.(　√　) (3)當(dāng)n≥2時(shí)，＝－.(　×　) (4)求Sn＝a＋2a2＋

4、3a3＋…＋nan時(shí)只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得．(　×　) (5)如果數(shù)列是周期為k的周期數(shù)列，那么Skm＝mSk(m，k為大于1的正整數(shù))．(　√　) 解析 (1)正確．根據(jù)等差數(shù)列求和公式以及運(yùn)算的合理性可知． (2)正確．根據(jù)等比數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式可知． (3)錯(cuò)誤．直接驗(yàn)證可知＝. (4)錯(cuò)誤．含有字母的數(shù)列求和常需要分類討論，此題需要分a＝0，a＝1，以及a≠0且a≠1三種情況求和，只有當(dāng)a≠0且a≠1時(shí)才能用錯(cuò)位相減法求和． (5)正確．根據(jù)周期性可得． 2．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，則a5＝(　D　) A．1

5、＋ln 2　　 B．2＋ln 3　　 C．3＋ln 5　　 D．2＋ln 5 解析 因?yàn)閍n＋1－an＝ln ＝ln ＝ln (n＋1)－ln n， 所以a5－a1＝(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋(a2－a1) ＝(ln 5－ln 4)＋(ln 4－ln 3)＋(ln 3－ln 2)＋(ln 2－ln 1) ＝ln 5－ln 1＝ln 5，所以a5＝a1＋ln 5＝2＋ln 5，故選D． 3．若數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為(　C　) A．2n＋n2－1　　 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2　　 D．2n＋n－2 解析

6、 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n ＝＋2×－n＝2(2n－1)＋n2＋n－n ＝2n＋1＋n2－2. 4．若數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝(－1)n(3n－2)，則a1＋a2＋a3＋…＋a10＝(　A　) A．15　　 B．12　　 C．－12　　 D．－15 解析 ∵an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋a3＋…＋a10 ＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25＋28 ＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋(－13＋16)＋(

7、－19＋22)＋(－25＋28)＝3×5＝15. 5．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn且an＝n·2n(n∈N*)，則Sn＝__(n－1)2n＋1＋2__. 解析 ∵an＝n·2n， ∴Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.① ∴2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1.② ①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1 ＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2. ∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2. 一　分組法求和 分組求和法的常見類型 (1)若an＝bn±cn，且，為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法

8、求的前n項(xiàng)和． (2)通項(xiàng)公式為an＝的數(shù)列，其中數(shù)列，是等比或等差數(shù)列，可采用分組求和法． 【例1】 已知等差數(shù)列滿足a5＝9，a2＋a6＝14. (1)求的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝an＋qan(q＞0)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn. 解析 (1)設(shè)數(shù)列的公差為d， 則由a5＝9，a2＋a6 ＝14，得解得 所以的通項(xiàng)公式為an＝2n－1. (2)由an＝2n－1得bn＝2n－1＋q2n－1. 當(dāng)q＞0且q≠1時(shí)，Sn＝[1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)]＋(q1＋q3＋q5＋q7＋…＋q2n－1)＝n2＋； 當(dāng)q＝1時(shí)，bn＝2n，則Sn＝n(n＋1)． 所以數(shù)列的前n項(xiàng)

9、和Sn＝ 二　錯(cuò)位相減法求和 利用錯(cuò)位相減法求和的兩點(diǎn)注意 (1)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式． (2)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．同時(shí)要注意等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是多少． 【例2】 若公比為q的等比數(shù)列的首項(xiàng)a1＝1，且滿足an＝(n＝3,4,5，…)． (1)求q的值； (2)設(shè)bn＝n·an，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn. 解析 (1)由題意易知2an＝an－1＋an－2， 即2a1qn－1＝a1qn－2＋a1qn－3. ∴2q2－q－1＝0，解

10、得q＝1或q＝－. (2)①當(dāng)q＝1時(shí)，a1＝1，bn＝n，Sn＝. ②當(dāng)q＝－時(shí)，an＝n－1，bn＝n·n－1， Sn＝1·0＋2·1＋3·2＋…＋n·n－1， －Sn＝1·1＋2·2＋…＋(n－1)·n－1＋n·n，　 兩式相減，得Sn＝1－n·n＋，　 整理得Sn＝－·n. 三　裂項(xiàng)相消法求和 常見的裂項(xiàng)方法 數(shù)列(n∈N*) 裂項(xiàng)方法(n∈N*) (k為非零常數(shù)) ＝ ＝ ＝ ＝(－) (a＞0，a≠1) loga＝loga(n＋1)－logan ＝－ 【例3】 已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn，an，成等差數(shù)列． (1

11、)證明：數(shù)列是等比數(shù)列； (2)若bn＝log2an＋3，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. 解析 (1)證明：由題意知2an＝Sn＋. 當(dāng)n＝1時(shí)，2a1＝a1＋，∴a1＝. 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn ＝2an－，Sn－1＝2an－1－， 兩式相減，得an＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1. ∵為正項(xiàng)數(shù)列，∴＝2(n≥2)， ∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列． (2)由(1)知an＝a1·2n－1＝2n－2，∴bn＝log22n－2＋3＝n－2＋3＝n＋1. ∴＝＝－. ∴Tn＝＋＋＋＋…＋＝－＝. 1．已知等比數(shù)列中，a2·a8＝4a5，等差數(shù)列中，b4＋b6＝

12、a5，則數(shù)列的前9項(xiàng)和S9＝(　B　) A．9　　 B．18　　 C．36　　 D．72 解析 ∵a2·a8＝4a5，即a＝4a5，∴a5＝4， ∴a5＝b4＋b6＝2b5＝4，∴b5＝2.∴S9＝9b5＝18，故選B． 2．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足a－6a＝an＋1an.若a1＝2，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為__3n－1__. 解析 ∵a－6a＝an＋1an，∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0. ∵an＞0，∴an＋1＝3an.又a1＝2， ∴是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列．∴Sn＝＝3n－1. 3．在數(shù)列中，a1＝1，an＋1·an＝an－an＋1. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式

13、； (2)若bn＝lg，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn. 解析 (1)由題意得－＝1. 又因?yàn)閍1＝1，所以＝1.所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以＝n，即an＝，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝. (2)由(1)得bn＝lg n－lg(n＋2)． 所以Sn＝lg 1－lg 3＋lg 2－lg 4＋lg 3－lg 5＋…＋lg(n－2)－lg n＋lg(n－1)－lg(n＋1)＋lg n－lg(n＋2)＝lg 1＋lg 2－lg(n＋1)－lg(n＋2)＝lg. 4．設(shè)數(shù)列滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝(n∈N*)． (1)求數(shù)列的通項(xiàng)； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列的前n

14、項(xiàng)和Sn. 解析 (1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，① ∴a1＝ ， a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝(n≥2) ，② ①－②，得3n－1an＝－＝(n≥2)，化簡(jiǎn)得an＝(n≥2)． 顯然，a1＝也滿足上式，故an＝(n∈N*)． (2)由(1)得bn＝n·3n. 于是Sn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n ，③ 3Sn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1 ，④ ③－④，得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1， 即－2Sn＝－n·3n＋1.∴Sn＝·3n＋1＋. 易錯(cuò)點(diǎn)1　求和時(shí)數(shù)不清項(xiàng)數(shù) 錯(cuò)因分

15、析：弄清和式的構(gòu)成規(guī)律是數(shù)清項(xiàng)數(shù)的關(guān)鍵． 【例1】 設(shè)f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n≥－3，n∈Z)，則f(n)＝(　　) A．(8n－1)　　 B．(8n＋1－1) C．(8n＋3－1)　　 D．(8n＋4－1) 解析 1＝3×1－2,3n＋10＝3(n＋4)－2，所以f(n)是首項(xiàng)為2，公比為8的等比數(shù)列的前n＋4項(xiàng)的和． 由求和公式得f(n)＝＝(8n＋4－1)．選D． 答案：D 【跟蹤訓(xùn)練1】 把一數(shù)列依次按第一個(gè)括號(hào)內(nèi)一個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號(hào)內(nèi)兩個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號(hào)內(nèi)三個(gè)數(shù)，第四個(gè)括號(hào)內(nèi)一個(gè)數(shù)，……，循環(huán)分組為(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)

16、，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，則第50個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和為__392__. 解析 將三個(gè)括號(hào)作為一組，則由50＝16×3＋2，知第50個(gè)括號(hào)應(yīng)為第17組的第二個(gè)括號(hào)，即第50個(gè)括號(hào)中應(yīng)是兩個(gè)數(shù)．又因?yàn)槊拷M中含有6個(gè)數(shù)，所以第48個(gè)括號(hào)的最末一個(gè)數(shù)為數(shù)列{2n－1}的第16×6＝96項(xiàng)，第50個(gè)括號(hào)的第一個(gè)數(shù)應(yīng)為數(shù)列{2n－1}的第98項(xiàng)，即為2×98－1＝195，第二個(gè)數(shù)為2×99－1＝197，故第50個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和為195＋197＝392. 易錯(cuò)點(diǎn)2　找不到裂項(xiàng)相消的規(guī)律 錯(cuò)因分析：看清是相鄰項(xiàng)相消還是隔項(xiàng)相消，同時(shí)注意系數(shù)． 【例2】 求和：＋＋…＋.

17、 解析 an＝＝×， ∴原式＝ ＝ ＝－. 【跟蹤訓(xùn)練2】 數(shù)列1，，，，…，的前n項(xiàng)和為(　B　) A．　　 B． C．　　 D． 解析 ＝＝2， 數(shù)列1，，，，…，的前n項(xiàng)和為2＝ 2＝，故選B． 課時(shí)達(dá)標(biāo)　第31講 [解密考綱]考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和的方法，主要考查公式法、裂項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和，以及利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)公式，三種題型均有考查，位于各類題型的中間靠后位置． 一、選擇題 1．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an＝，則S6＝(　D　) A．　　 B． C．　　 D． 解析 因?yàn)閍n＝＝－，所以S6＝1－＋－＋…＋－＝1－＝

18、. 2．已知Sn＝＋＋＋…＋，若Sm＝10，則m＝(　C　) A．11　　 B．99 C．120　　 D．121 解析 因?yàn)椋剑剑?，所以Sm＝－＋－＋…＋－＝－1.由已知得－1＝10，所以m＝120，故選C． 3．在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1－an＝sin ，記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S2 018＝(　D　) A．1 006　　 B．1 007 C．1 008　　 D．1 010 解析 由題意，得an＋1＝an＋sin，所以a2＝a1＋sin π＝1，a3＝a2＋sin＝0，a4＝a3＋sin 2π＝0，a5＝a4＋sin＝1，…，因此，數(shù)列{an}是一個(gè)以

19、4為周期的周期數(shù)列，而2 018＝4×504＋2，所以S2 018＝504×(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝1 010，故選D． 4．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a5＝5，S5＝15，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為(　A　) A．　　 B． C．　　 D． 解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d. ∵a5＝5，S5＝15，∴ ∴∴an＝a1＋(n－1)d＝n. ∴＝＝－，∴數(shù)列的前100項(xiàng)和為1－＋－＋…＋－＝1－＝. 5．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝ncos ，其前n項(xiàng)和為Sn，則S2 018＝(　B　) A．2 017　　 B．－1 010 C．504

20、　　 D．0 解析 因?yàn)閍n＝ncos，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an＝0， 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an＝其中m∈N*， 所以S2 018＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋…＋a2 016＋a2 017＋a2 018 ＝a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a2 016＋a2 018 ＝－2＋4－6＋8－10＋12－14＋…＋2 016－2 018 ＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋(－10＋12)＋…＋ (－2 014＋2 016)－2 018＝2×504－2 018＝－1 010，故選B． 6．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S2 018＝(

21、　B　) A．22 018－1　　 B．3×21 009－3 C．3×21 009－1　　 D．3×22 018－2 解析 依題意得an·an＋1＝2n，an＋1·an＋2＝2n＋1，于是有 ＝2，即＝2，數(shù)列a1，a3，a5，…，a2n－1，…是以a1＝1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列；數(shù)列a2，a4，a6，…，a2n，…是以a2＝2為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，于是有S2 018＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 017)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 018)＝＋＝3×21 009－3. 二、填空題 7．在數(shù)列{an}中，an＝＋＋…＋，又bn＝，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為____.

22、 解析 ∵an＝＝，∴bn＝＝8. ∴b1＋b2＋…＋bn＝8＝. 8．(2018·河南鄭州模擬)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－10(n∈N*)，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝__130__. 解析 由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，所以當(dāng)n<5時(shí)，an<0； 當(dāng)n≥5時(shí)，an≥0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130. 9．若數(shù)列{an}是正項(xiàng)數(shù)列，且＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N*)，則＋＋…＋＝__2n2＋6

23、n__. 解析 令n＝1，得＝4，∴a1＝16. 當(dāng)n≥2時(shí)，＋＋…＋＝(n－1)2＋3(n－1)． 與已知式相減，得＝(n2＋3n)－(n－1)2－3(n－1)＝2n＋2. ∴an＝4(n＋1)2，當(dāng)n＝1時(shí)，a1適合an. ∴an＝4(n＋1)2，∴＝4n＋4， ∴＋＋…＋＝＝2n2＋6n. 三、解答題 10．在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＝2an－1＋(n－2) (n≥2，n∈N*)． (1)求a2，a3的值； (2)證明：數(shù)列{an＋n}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式； (3)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn. 解析 (1)令n＝2得a2＝2a1＝6. 令n

24、＝3，得a3＝2a2＋1＝13. (2)證明：因?yàn)閍n＋n＝2[an－1＋(n－1)]，a1＋1＝4≠0，所以an＋n≠0，所以＝2， 所以數(shù)列{an＋n}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列， 所以an＋n＝4·2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－n. (3)因?yàn)閍n＝2n＋1－n， 所以Sn＝(22＋23＋…＋2n＋1)－(1＋2＋…＋n) ＝－＝2n＋2－. 11．(2018·安徽淮南模擬)在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比數(shù)列． (1)求d，an； (2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|. 解析 (1

25、)由題意得5a3·a1＝(2a2＋2)2， 所以d2－3d－4＝0，解得d＝－1或d＝4， 所以an＝－n＋11或an＝4n＋6. (2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn. 因?yàn)閐<0，所以d＝－1，an＝－n＋11. 當(dāng)n≤11時(shí)，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n； 當(dāng)n≥12時(shí)，|a1|＋|a2|＋…＋|a11|＋|a12|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a11－a12－…－an＝S11－(Sn－S11)＝－Sn＋2S11＝ n2－n＋110. 綜上所述，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝ 12．(2016·山東卷)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

26、＝3n2＋8n，{bn}是等差數(shù)列，且an＝bn＋bn＋1. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)令cn＝，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. 解析 (1)由題意知，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝ 6n＋5. 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝11，所以an＝6n＋5. 設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d. 由即可解得b1＝4，d＝3. 所以bn＝3n＋1. (2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1. 又Tn＝c1＋c2＋…＋cn， 得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]， 2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，兩式作差， 得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2] ＝3×＝－3n·2n＋2. 所以Tn＝3n·2n＋2. 13