2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列學(xué)案 理

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1、 第五章 數(shù)　列 第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法 1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念 概念 含義 數(shù)列 按照一定順序排列的一列數(shù) 數(shù)列的項(xiàng) 數(shù)列中的每一個數(shù) 數(shù)列的通項(xiàng) 數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an 通項(xiàng)公式 數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系能用公式an＝f(n)表示，這個公式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式 前n項(xiàng)和 數(shù)列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做數(shù)列的前n項(xiàng)和 2.數(shù)列的表示方法 列表法 列表格表示n與an的對應(yīng)關(guān)系 圖象法 把點(diǎn)(n，an)畫在平面直角坐標(biāo)系中 公式法 通項(xiàng)公式 把數(shù)列的通項(xiàng)使用公式表示的方法 遞推公式 使用初始值a1和an＋

2、1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示數(shù)列的方法 3.通項(xiàng)公式和遞推公式的異同點(diǎn) 不同點(diǎn) 相同點(diǎn) 通項(xiàng)公式 可根據(jù)某項(xiàng)的序號n的值，直接代入求出an 都可確定一個數(shù)列，也都可求出數(shù)列的任意一項(xiàng) 遞推公式 可根據(jù)第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))的值，通過一次(或多次)賦值，逐項(xiàng)求出數(shù)列的項(xiàng)，直至求出所需的an 4.an與Sn的關(guān)系 若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn， 則an＝ 5．?dāng)?shù)列的分類 分類的標(biāo)準(zhǔn) 名稱 含義 例子 按項(xiàng)的個數(shù) 有窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列 1,2,3,4，…，100 無窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列 1,4,9，…，n2，…

3、 按項(xiàng)的變化趨勢 遞增數(shù)列 從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列 3,4,5，…，n 遞減數(shù)列 從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列 1，，，…， 常數(shù)列 各項(xiàng)都相等的數(shù)列 6,6,6,6，… 擺動數(shù)列 從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列 1，－2,3，－4 按項(xiàng)的有界性 有界數(shù)列 任一項(xiàng)的絕對值都小于某一正值 1，－1,1，－1,1，－1，… 無界數(shù)列 不存在某一正值能使任一項(xiàng)的絕對值小于它 1,3,4,4，… 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢? (1)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不

4、止一個．(　　) (2)1,1,1,1，…，不能構(gòu)成一個數(shù)列．(　　) (3)任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列．(　　) (4)如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則對?n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝9＋12n，則在下列各數(shù)中，不是{an}的項(xiàng)的是(　　) A．21　　　　　　　　　　 B．33 C．152 D．153 解析：選C　由9＋12n＝152，得n＝?N*. 3．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，則a4＝(　　) A. B. C.

5、 D. 解析：選B　由題意知，a1＝1，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝. 4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝an－1＋2n(n≥2)，則a7＝(　　) A．53 B．54 C．55 D．109 解析：選C　由題意知，a2＝a1＋2×2，a3＝a2＋2×3，……，a7＝a6＋2×7，各式相加得a7＝a1＋2(2＋3＋4＋…＋7)＝55. 5．?dāng)?shù)列1，，，，，…的一個通項(xiàng)公式an＝________. 解析：由已知得，數(shù)列可寫成，，，…，故通項(xiàng)公式可以為an＝. 答案： 6．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n－3，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是______

6、__________． 解析：當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2－3＝－1， 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－2n－1＝2n－1. 又a1＝－1不適合上式， 故an＝ 答案：an＝ 　　　　 [考什么·怎么考] 由Sn和an的關(guān)系求通項(xiàng)公式是一種常見題型，高考中選擇題、填空題、解答題都有呈現(xiàn)，但以解答題的分支命題為重點(diǎn)，近幾年來考查難度有所降低. 考法(一)　已知Sn，求an 1．已知Sn＝3n＋2n＋1，則an＝____________. 解析：因?yàn)楫?dāng)n＝1時，a1＝S1＝6； 當(dāng)n≥2時， an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1

7、)－[3n－1＋2(n－1)＋1] ＝2·3n－1＋2， 由于a1不適合此式， 所以an＝ 答案： 2．(2017·全國卷Ⅲ改編)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，則an＝____________. 解析：因?yàn)閍1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 故當(dāng)n≥2時， a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)． 兩式相減得(2n－1)an＝2， 所以an＝(n≥2)． 又由題設(shè)可得a1＝2，滿足上式， 從而{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n∈N*)． 答案：(n∈N*) [題型技法]　已知Sn求an的3步驟 (1)先利用a1＝S1

8、求出a1； (2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時an的表達(dá)式； (3)注意檢驗(yàn)n＝1時的表達(dá)式是否可以與n≥2的表達(dá)式合并． 考法(二)　由Sn與an的關(guān)系，求an，Sn 3．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2(an－1)(n∈N*)，則an＝(　　) A．2n　　　　　　　　　　　 B．2n－1 C．2n D．2n－1 解析：選C　當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，∴數(shù)列{an}為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所

9、以an＝2n. 4．(2015·全國卷Ⅱ)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________. 解析：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1， ∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1. ∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1. 又＝－1，∴是首項(xiàng)為－1，公差為－1的等差數(shù)列． ∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－. 答案：－ [題型技法]　Sn與an關(guān)系問題的求解思路 根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化． (1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解． (2)利用Sn

10、－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解． 　　　　 [考什么·怎么考] 由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，有選擇題、填空題，也出現(xiàn)在解答題的第(1)問中，近幾年考查難度有所降低，但也要引起關(guān)注. 方法(一)　疊乘法求通項(xiàng)公式 1．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為__________． 解析：∵an＝an－1(n≥2)， ∴an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1. 以上(n－1)個式子相乘得 an＝a1···…·＝＝. 當(dāng)n＝1時，a1＝1，上式也成立．∴an＝(n∈N*)

11、． 答案：an＝(n∈N*) [方法點(diǎn)撥]　疊乘法求通項(xiàng)公式的4步驟 方法(二)　疊加法求通項(xiàng)公式 2．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________________． 解析：由題意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)． 以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝. 又∵a1＝1，∴an＝(n≥2)． ∵當(dāng)n＝1時也滿足上式，∴an＝(n∈N*)． 答案：an＝(n∈N*) [方法點(diǎn)撥]　疊加法求通項(xiàng)公式的4步驟 方法(三)　構(gòu)造法求通項(xiàng)公式 3．已知數(shù)列{an}滿足

12、a1＝1，an＋1＝3an＋2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________________． 解析：∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴＝3， ∴數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3， 又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1， ∴an＝2·3n－1－1(n∈N*)． 答案：an＝2·3n－1－1(n∈N*) [方法點(diǎn)撥]　構(gòu)造法求通項(xiàng)公式的3步驟 [怎樣快解·準(zhǔn)解] 1．正確選用方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式 (1)對于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為＝f(n)的數(shù)列，并且容易求數(shù)列{f(n)}前n項(xiàng)的積時，采用疊乘法求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． (2)對于遞推關(guān)系

13、式可轉(zhuǎn)化為an＋1＝an＋f(n)的數(shù)列，通常采用疊加法(逐差相加法)求其通項(xiàng)公式． (3)對于遞推關(guān)系式形如an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的數(shù)列，采用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)． 2．避免2種失誤 (1)利用疊乘法，易出現(xiàn)兩個方面的問題：一是在連乘的式子中只寫到，漏掉a1而導(dǎo)致錯誤；二是根據(jù)連乘求出an之后，不注意檢驗(yàn)a1是否成立． (2)利用構(gòu)造法求解時應(yīng)注意數(shù)列的首項(xiàng)的正確求解以及準(zhǔn)確確定疊加、疊乘后最后一個式子的形式． 　　　　 從近幾年高考可以看出，數(shù)列中的最值、周期是高考的熱點(diǎn)，一般難度稍大.在復(fù)習(xí)中，從函數(shù)的角度認(rèn)識數(shù)列，注意數(shù)列的函數(shù)特征，特別是利用函數(shù)的方法研

14、究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì). [典題領(lǐng)悟] 1．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝，若a1＝，則a2 018＝(　　) A．－1　　　　　　　　　　 B. C．1 D．2 解析：選D　由a1＝，an＋1＝，得a2＝＝2， a3＝＝－1，a4＝＝，a5＝＝2，…， 于是可知數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，因此a2 018＝a3×672＋2＝a2＝2. 2．已知數(shù)列{an}滿足an＝(n∈N*)，則數(shù)列{an}的最小項(xiàng)是第________項(xiàng)． 解析：因?yàn)閍n＝，所以數(shù)列{an}的最小項(xiàng)必為an<0，即<0,3n－16<0，從而n<.又n∈N*，所以當(dāng)n＝5時，an的值最?。? 答案：5

15、 [解題師說] 1．解決數(shù)列周期性問題的方法 先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值． 2．判斷數(shù)列單調(diào)性的2種方法 (1)作差比較法：比較an＋1－an與0的大?。? (2)作商比較法：比較與1的大小，注意an的符號． 3．求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法 (1)利用不等式組(n≥2)找到數(shù)列的最大項(xiàng)； (2)利用不等式組(n≥2)找到數(shù)列的最小項(xiàng)． [沖關(guān)演練] 1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，則a2 018＝(　　) A．1 B．0 C．2 018 D．－2 018 解析：選B　∵a1＝1，an

16、＋1＝a－2an＋1＝(an－1)2，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知數(shù)列{an}是以2為周期的數(shù)列，∴a2 018＝a2＝0，選B. 2．等差數(shù)列{an}的公差d<0，且a＝a，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最大值時的項(xiàng)數(shù)n的值為(　　) A．5 B．6 C．5或6 D．6或7 解析：選C　由a＝a，可得(a1＋a11)(a1－a11)＝0， 因?yàn)閐<0，所以a1－a11≠0，所以a1＋a11＝0， 又2a6＝a1＋a11，所以a6＝0. 因?yàn)閐<0，所以{an}是遞減數(shù)列， 所以a1>a2>…>a5>a6＝0

17、>a7>a8>…，顯然前5項(xiàng)和或前6項(xiàng)和最大，故選C. (一)普通高中適用作業(yè) A級——基礎(chǔ)小題練熟練快 1．已知數(shù)列1,2，，，，…，則2在這個數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)是(　　) A．16　　　　　　　　　　 B．24 C．26 D．28 解析：選C　因?yàn)閍1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以an＝.令an＝＝2＝，解得n＝26. 2．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，則ap－aq＝(　　) A．10 B．15 C．－5 D．20 解析：選D　當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－

18、1)]＝4n－5，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝－1，符合上式，所以an＝4n－5，所以ap－aq＝4(p－q)＝20. 3．(2017·河南許昌二模)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋2－an＝6，則a11的值為(　　) A．31 B．32 C．61 D．62 解析：選A　∵數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋2－an＝6， ∴a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19，a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31. 4．(2018·云南檢測)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－bn，若數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為(　　) A．(－∞，－1]

19、 B．(－∞，2] C．(－∞，3) D. 解析：選C　因?yàn)閿?shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，所以an＋1－an＝2n＋1－b>0(n∈N*)，所以b<2n＋1(n∈N*)，所以b<(2n＋1)min＝3，即b<3. 5．(2018·湖南湘潭一中、長沙一中等六校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足：?m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝(　　) A. B. C. D. 解析：選A　∵數(shù)列{an}滿足：?m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，∴a2＝a1a1＝，a3＝a1·a2＝，∴a5＝a3·a2＝. 6．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋an＋1＝(n∈

20、N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S21為(　　) A．5 B. C. D. 解析：選B　∵an＋an＋1＝，a2＝2， ∴an＝ ∴S21＝11×＋10×2＝. 7．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，則an＝________. 解析：當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1， 當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝4≠2×1＋1， 因此an＝ 答案： 8．已知數(shù)列{an}為，，－，，－，，…，則數(shù)列{an}的一個通項(xiàng)公式是________． 解析：各項(xiàng)的分母分別為21,22,23,24，…，易看出從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)的分子都比分母少

21、3，且第1項(xiàng)可變?yōu)椋? 故原數(shù)列可變?yōu)椋?，，－，，? 故其通項(xiàng)公式為an＝(－1)n·，n∈N*. 答案：an＝(－1)n·，n∈N* 9．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2，n∈N*)，且S2＝3，則a1＋a3的值為________． 解析：∵Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，令n＝2， 得S2＋S1＝3，由S2＝3得a1＝S1＝0， 令n＝3，得S3＋S2＝5，所以S3＝2， 則a3＝S3－S2＝－1，所以a1＋a3＝0＋(－1)＝－1. 答案：－1 10．在一個數(shù)列中，如果?n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k為常數(shù))，那么這個數(shù)

22、列叫做等積數(shù)列，k叫做這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，則a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________. 解析：依題意得數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28. 答案：28 B級——中檔題目練通抓牢 1．若a1＝，an＝4an－1＋1(n≥2)，則an>100時，n的最小值為(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：選C　由a1＝，an＝4an－1＋1(n≥2)得， a2＝4a1＋1＝4×＋1＝3，a3＝4a2＋1＝

23、4×3＋1＝13， a4＝4a3＋1＝4×13＋1＝53，a5＝4a4＋1＝4×53＋1＝213>100. 2．(2018·咸陽模擬)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，＋＋…＋＝(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(　　) A．a(chǎn)n＝n B．a(chǎn)n＝n2 C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝ 解析：選B　∵＋＋…＋＝， ∴＋＋…＋＝(n≥2)， 兩式相減得＝－＝n(n≥2)， ∴an＝n2(n≥2)． 又當(dāng)n＝1時，＝＝1，a1＝1，適合上式， ∴an＝n2，n∈N*.故選B. 3．若數(shù)列{an}滿足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和數(shù)值最大時，n的

24、值為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：選B　∵a1＝19，an＋1－an＝－3， ∴數(shù)列{an}是以19為首項(xiàng)，－3為公差的等差數(shù)列， ∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n. 設(shè){an}的前k項(xiàng)和數(shù)值最大， 則有k∈N*，∴ ∴≤k≤， ∵k∈N*，∴k＝7.∴滿足條件的n的值為7. 4．在數(shù)列{an}中，an>0，且前n項(xiàng)和Sn滿足4Sn＝(an＋1)2(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________． 解析：當(dāng)n＝1時，4S1＝(a1＋1)2，解得a1＝1； 當(dāng)n≥2時，由4Sn＝(an＋1)2＝a＋2an＋1， 得4Sn－

25、1＝a＋2an－1＋1， 兩式相減得4Sn－4Sn－1＝a－a＋2an－2an－1＝4an， 整理得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， 因?yàn)閍n>0，所以an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2， 又a1＝1，故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列， 所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1. 答案：an＝2n－1 5.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n·2n＋1，該數(shù)列的項(xiàng)排成一個數(shù)陣(如圖)，則該數(shù)陣中的第10行第3個數(shù)為________． a1 a2　a3 a4　a5　a6 …… 解析：由題意可得該數(shù)陣中的第10行第3個數(shù)為數(shù)列{an}

26、的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝＋3＝48項(xiàng)，而a48＝(－1)48×96＋1＝97，故該數(shù)陣中的第10行第3個數(shù)為97. 答案：97 6．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2＋kn＋4. (1)若k＝－5，則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時，an有最小值？并求出最小值； (2)對于n∈N*，都有an＋1>an，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1

27、由an＋1>an，知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列，又因?yàn)橥?xiàng)公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到n∈N*，所以－<，解得k>－3. 所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(－3，＋∞)． 7．已知二次函數(shù)f(x)＝x2－ax＋a(a>0，x∈R)，有且只有一個零點(diǎn)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝f(n)(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)cn＝1－(n∈N*)，定義所有滿足cm·cm＋1<0的正整數(shù)m的個數(shù)，稱為這個數(shù)列{cn}的變號數(shù)，求數(shù)列{cn}的變號數(shù)． 解：(1)依題意，Δ＝a2－4a＝0， 所以a＝0或a＝4. 又由a>0得a＝4， 所以f(x)

28、＝x2－4x＋4. 所以Sn＝n2－4n＋4. 當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1－4＋4＝1； 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－5. 所以an＝ (2)由題意得cn＝ 由cn＝1－可知，當(dāng)n≥5時，恒有cn>0. 又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－，c5＝，c6＝， 即c1·c2<0，c2·c3<0，c4·c5<0， 所以數(shù)列{cn}的變號數(shù)為3. C級——重難題目自主選做 1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n＋2)n(n∈N*)，則數(shù)列{an}的最大項(xiàng)是(　　) A．a(chǎn)6或a7 B．a(chǎn)7或a8 C．a(chǎn)8或a9 D．a(chǎn)7 解析：選B　因?yàn)閍n＋

29、1－an＝(n＋3)n＋1－(n＋2)n＝n·，當(dāng)n<7時，an＋1－an>0，即an＋1>an；當(dāng)n＝7時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當(dāng)n>7時，an＋1－an<0，即an＋1a9>a10>…，所以此數(shù)列的最大項(xiàng)是第7項(xiàng)或第8項(xiàng)，即a7或a8.故選B. 2．(2018·成都診斷)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，則an＝________. 解析：由題意知＝＝， 所以an＝a1×××…× ＝1×××…× ＝ ＝＝. 答案： (二)重點(diǎn)高中適用作業(yè) A級——保分題目巧做快做 1．已知數(shù)列1,2，，

30、，，…，則2在這個數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)是(　　) A．16　　　　　　　　　　　 B．24 C．26 D．28 解析：選C　因?yàn)閍1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以an＝.令an＝＝2＝，解得n＝26. 2.(2018·鄭州模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋2－an＝6，則a11的值為(　　) A．31 B．32 C．61 D．62 解析：選A　∵數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋2－an＝6， ∴a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19， a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31. 3．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2

31、－3n(n∈N*)，若p－q＝5，則ap－aq＝(　　) A．10 B．15 C．－5 D．20 解析：選D　當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝－1，符合上式，所以an＝4n－5，所以ap－aq＝4(p－q)＝20. 4．(2018·湖南湘潭一中、長沙一中等六校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足：?m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝(　　) A. B. C. D. 解析：選A　∵數(shù)列{an}滿足：?m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，∴a2＝a1a1＝

32、，a3＝a1·a2＝，∴a5＝a3·a2＝. 5．若數(shù)列{an}滿足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和最大時，n的值為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：選B　∵a1＝19，an＋1－an＝－3， ∴數(shù)列{an}是以19為首項(xiàng)，－3為公差的等差數(shù)列， ∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n. 設(shè){an}的前k項(xiàng)和最大， 則有k∈N*，∴ ∴≤k≤， ∵k∈N*，∴k＝7. ∴滿足條件的n的值為7. 6.(2018·河北唐山一模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝，若a4＝32，則a1＝________

33、. 解析：∵Sn＝，a4＝32， ∴S4－S3＝－＝32，∴a1＝. 答案： 7．已知數(shù)列{an}為，，－，，－，，…，則數(shù)列{an}的一個通項(xiàng)公式是________． 解析：各項(xiàng)的分母分別為21,22,23,24，…，易看出從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)的分子都比分母少3，且第1項(xiàng)可變?yōu)椋? 故原數(shù)列可變?yōu)椋?，－，，? 故其通項(xiàng)公式為an＝(－1)n·，n∈N*. 答案：an＝(－1)n·，n∈N* 8．在一個數(shù)列中，如果?n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k為常數(shù))，那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，則

34、a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________. 解析：依題意得數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28. 答案：28 9.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－n2＋kn，k∈N*，且Sn的最大值為8.試確定常數(shù)k，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解：因?yàn)镾n＝－n2＋kn＝－(n－k)2＋k2，其中k是常數(shù)，且k∈N*，所以當(dāng)n＝k時，Sn取最大值k2，故k2＝8，k2＝16，因此k＝4，從而Sn＝－n2＋4n. 當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝－＋4＝； 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1

35、＝－－(n－1)2＋4(n－1)＝－n. 當(dāng)n＝1時，－1＝＝a1，所以an＝－n. 10．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2＋kn＋4. (1)若k＝－5，則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時，an有最小值？并求出最小值； (2)對于n∈N*，都有an＋1>an，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1an，知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列，又

36、因?yàn)橥?xiàng)公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到n∈N*，所以－<，解得k>－3. 所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(－3，＋∞)． B級——拔高題目穩(wěn)做準(zhǔn)做 1.(2018·云南檢測)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－bn，若數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為(　　) A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．(－∞，3) D. 解析：選C　因?yàn)閿?shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，所以an＋1－an＝2n＋1－b>0(n∈N*)，所以b<2n＋1(n∈N*)，所以b<(2n＋1)min＝3，即b<3. 2.已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an＋2n，且

37、a1＝33，則的最小值為(　　) A．21 B．10 C. D. 解析：選C　由已知條件可知，當(dāng)n≥2時， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝33＋2＋4＋…＋2(n－1) ＝n2－n＋33，又n＝1時，a1＝33滿足此式． 所以＝n＋－1. 令f(n)＝＝n＋－1， 則f(n)在[1,5]上為減函數(shù)，在[6，＋∞)上為增函數(shù)． 又f(5)＝，f(6)＝，則f(5)>f(6)， 故f(n)＝的最小值為. 3.(2018·成都質(zhì)檢)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，則an＝________. 解析

38、：由題意知＝＝， 所以an＝a1×××…× ＝1×××…× ＝ ＝＝. 答案： 4.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n·2n＋1，該數(shù)列的項(xiàng)排成一個數(shù)陣(如圖)，則該數(shù)陣中的第10行第3個數(shù)為________． a1 a2　a3 a4　a5　a6 …… 解析：由題意可得該數(shù)陣中的第10行第3個數(shù)為數(shù)列{an}的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝＋3＝48項(xiàng)，而a48＝(－1)48×96＋1＝97，故該數(shù)陣中的第10行第3個數(shù)為97. 答案：97 5．已知二次函數(shù)f(x)＝x2－ax＋a(a>0，x∈R)，有且只有一個零點(diǎn)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝f(n)(n∈N

39、*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)cn＝1－(n∈N*)，定義所有滿足cm·cm＋1<0的正整數(shù)m的個數(shù)，稱為這個數(shù)列{cn}的變號數(shù)，求數(shù)列{cn}的變號數(shù)． 解：(1)依題意，Δ＝a2－4a＝0，所以a＝0或a＝4. 又由a>0得a＝4， 所以f(x)＝x2－4x＋4. 所以Sn＝n2－4n＋4. 當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1－4＋4＝1； 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－5. 所以an＝ (2)由題意得cn＝ 由cn＝1－可知，當(dāng)n≥5時，恒有cn>0. 又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－，c5＝，c6＝， 即c1·c2<0，c2

40、·c3<0，c4·c5<0， 所以數(shù)列{cn}的變號數(shù)為3. 6.已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，S4＝2S2＋4，在數(shù)列{bn}中，bn＝. (1)求公差d的值； (2)若a1＝－，求數(shù)列{bn}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值； (3)若對任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范圍． 解：(1)∵S4＝2S2＋4，∴4a1＋d＝2(2a1＋d)＋4，解得d＝1. (2)∵a1＝－， ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－＋(n－1)×1＝n－， ∴bn＝＝1＋＝1＋. ∵函數(shù)f(x)＝1＋在和上分別是單調(diào)減函數(shù)， ∴b3

41、11－a1時，y>1. ∵對任意的n∈N*，都有bn≤b8， ∴7<1－a1<8，∴－7

42、d(n∈N*，d為常數(shù))． (2)等差中項(xiàng)：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝，其中A叫做a，b的等差中項(xiàng)． 2．等差數(shù)列的有關(guān)公式 (1)通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋d＝. 3．等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d. (4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列． (5)若{an

43、}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列． 4．與等差數(shù)列各項(xiàng)的和有關(guān)的性質(zhì) (1)若{an}是等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與{an}首項(xiàng)相同，公差是{an}公差的. (2)若{an}是等差數(shù)列，Sm，S2m，S3m分別為{an}的前m項(xiàng)，前2m項(xiàng)，前3m項(xiàng)的和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列． (3)關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)． ①若項(xiàng)數(shù)為2n，則S偶－S奇＝nd，＝. ②若項(xiàng)數(shù)為2n－1，則S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝. (4)兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)

44、和Sn，Tn之間的關(guān)系為＝. 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢? (1)若一個數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列．(　　) (2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．(　　) (3)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)．(　　) (4)已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝3－2n，則它的公差為－2.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．在等差數(shù)列中，若a2＝4，a4＝2，則a6＝(　　) A．－1　　　　　　　　　　 B．0 C．1 D．6 解析：選B　∵為等差數(shù)列， ∴2a4

45、＝a2＋a6，∴a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0. 3．(2017·全國卷Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項(xiàng)的和為(　　) A．－24 B．－3 C．3 D．8 解析：選A　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 因?yàn)閍2，a3，a6成等比數(shù)列，所以a2a6＝a， 即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2. 又a1＝1，所以d2＋2d＝0. 又d≠0，則d＝－2， 所以{an}前6項(xiàng)的和S6＝6×1＋×(－2)＝－24. 4．已知數(shù)列是等差數(shù)列，且a1＝1，a4＝4，則a10＝(　　) A．－ B．－

46、C. D. 解析：選A　設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可知，＝＋3d＝，解得d＝－，所以＝＋9d＝－，所以a10＝－. 5．已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a3＋a9＝a10－a8，若an＝0，則n＝________. 解析：因?yàn)閍3＋a9＝a10－a8， 所以a1＋2d＋a1＋8d＝a1＋9d－(a1＋7d)， 解得a1＝－4d， 所以an＝－4d＋(n－1)d＝(n－5)d， 令(n－5)d＝0(d≠0)，可解得n＝5. 答案：5 6．在等差數(shù)列{an}中，an>0，a7＝a4＋4，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S19＝________. 解析：設(shè)等差數(shù)列{an

47、}的公差為d，由a7＝a4＋4，得a1＋6d＝(a1＋3d)＋4，即a1＋9d＝8，所以a10＝8，因此S19＝＝19×a10＝19×8＝152. 答案：152 　　　　 [考什么·怎么考] 等差數(shù)列的基本運(yùn)算是高考中的常考內(nèi)容，多出現(xiàn)在選擇題、填空題和解答題的第(1)問中，屬于基礎(chǔ)題. 1．若等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5＝25，且a2＝3，則a7＝(　　) A．12　　　　　　　　　　　 B．13 C．14 D．15 解析：選B　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 由S5＝，得＝25，解得a4＝7， 所以7＝3＋2d，解得d＝2，所以a7＝a4＋3d＝7＋3×2＝1

48、3. 2．(2017·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：選C　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 則由得 即解得d＝4. 3．(2018·福州質(zhì)檢)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a2＝－d，若ak是a6與ak＋6的等比中項(xiàng)，則k＝(　　) A．5 B．6 C．9 D．11 解析：選C　因?yàn)閍k是a6與ak＋6的等比中項(xiàng)， 所以a＝a6ak＋6. 又等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a2＝－d， 所以[a2＋(k－2)d]2＝(a2＋4d)[a2＋(k＋4

49、)d]， 所以(k－3)2＝3(k＋3)， 解得k＝9，或k＝0(舍去)，故選C. 4．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a12＝－8，S9＝－9，則S16＝________. 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d， 由已知，得解得 ∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72. 答案：－72 [怎樣快解·準(zhǔn)解] 1．等差數(shù)列運(yùn)算中方程思想的應(yīng)用 (1)等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d，然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解． (2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用

50、方程的思想解決問題． [易錯提醒]　在求解數(shù)列基本量運(yùn)算中，要注意公式使用時的準(zhǔn)確性與合理性，更要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性．在遇到一些較復(fù)雜的方程組時，要注意整體代換思想的運(yùn)用，使運(yùn)算更加便捷． 2．等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用方法 根據(jù)不同的已知條件選用兩個求和公式，若已知首項(xiàng)和公差，則使用公式Sn＝na1＋d；若已知通項(xiàng)公式，則使用公式Sn＝，同時注意與性質(zhì)“a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…”的結(jié)合使用． 　　　　 等差數(shù)列的判定與證明是高考中常見題型，其基本方法是等差數(shù)列的定義，即證明an＋1－an是一個與n無關(guān)的常數(shù)，既有選擇題、填空題也有解答題，但以解答題為主，難度不大

51、. [典題領(lǐng)悟] (2018·貴州適應(yīng)性考試)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n. (1)求a2，a3； (2)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式． [思維路徑] (1)要求數(shù)列的項(xiàng)，可根據(jù)已知首項(xiàng)和遞推關(guān)系式，令n＝1,2可解得． (2)證明是等差數(shù)列，其關(guān)鍵應(yīng)推出－為常數(shù)，對所給條件進(jìn)行必要的變形即可． 解：(1)由已知，得a2－2a1＝4， 則a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6. 由2a3－3a2＝12， 得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15. (2)證明：由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，

52、得＝2，即－＝2， 所以數(shù)列是首項(xiàng)＝1，公差d＝2的等差數(shù)列． 則＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n. [解題師說] 等差數(shù)列的判定與證明方法 方　法 解　讀 適合題型 定義法 對于任意自然數(shù)n(n≥2)，an－an－1(n≥2，n∈N*)為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列 解答題中證明問題 等差中項(xiàng)法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立?{an}是等差數(shù)列 通項(xiàng)公式法 an＝pn＋q(p，q為常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列 選擇、填空題中的判定問題 前n項(xiàng)和公 式法 驗(yàn)證Sn＝An2＋Bn(A，B是常數(shù))對任意

53、的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列 [注意]　 用定義證明等差數(shù)列時，容易漏掉對起始項(xiàng)的檢驗(yàn)，從而產(chǎn)生錯解．比如，對于滿足an－an－1＝1(n≥3)的數(shù)列{an}而言并不能判定其為等差數(shù)列，因?yàn)椴荒艽_定起始項(xiàng)a2－a1是否等于1. [沖關(guān)演練] 1．(2018·陜西質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，則S7等于(　　) A．13　　　　　　　　　　 B．49 C．35 D．63 解析：選B　由Sn＝an2＋bn(a，b∈R)可知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，所以S7＝＝＝49. 2．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＝2－(n

54、≥2，n∈N*)，設(shè)bn＝(n∈N*)．求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列． 證明：∵an＝2－(n≥2)， ∴an＋1＝2－. ∴bn＋1－bn＝－＝－＝＝1， ∴{bn}是首項(xiàng)為b1＝＝1，公差為1的等差數(shù)列． 　　　　 等差數(shù)列的性質(zhì)在高考中也是?？純?nèi)容.靈活應(yīng)用由定義推導(dǎo)出的重要性質(zhì)，在解題過程中可以達(dá)到避繁就簡的目的.常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).,公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和的最值在高考中時常出現(xiàn)，題型既有選擇題、填空題也有解答題，難度不大. [典題領(lǐng)悟] 1．在等差數(shù)列{an}中，a1＝29，S10＝S20，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值為(　　) A．S1

55、5　　　　　　　　　　 B．S16 C．S15或S16 D．S17 解析：選A　∵a1＝29，S10＝S20， ∴10a1＋d＝20a1＋d，解得d＝－2， ∴Sn＝29n＋×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225. ∴當(dāng)n＝15時，Sn取得最大值． 2．(2018·石家莊一模)已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱，且f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)，若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a50)＝f(a51)，則數(shù)列{an}的前100項(xiàng)的和為 ?

56、 ? (　　) A．－200 B．－100 C．－50 D．0 [學(xué)審題] ①由函數(shù)的對稱性及單調(diào)性知f(x)在(－∞，－1)上也單調(diào)； ②結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)知a50＋a51＝－2. 解析：選B　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱，又函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)，所以f(x)在(－∞，－1)上也單調(diào)，且數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列．又f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝＝50(a50＋a51)＝－100. [解題師說] 1．應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解題的2個注意點(diǎn) (1)如果{an}為等

57、差數(shù)列，m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出現(xiàn)am－n，am，am＋n等項(xiàng)時，可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與am(或其他項(xiàng))有關(guān)的條件；若求am項(xiàng)，可由am＝(am－n＋am＋n)轉(zhuǎn)化為求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值． (2)要注意等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用，如an＝am＋(n－m)d，d＝，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝＝(n，m∈N*)等． 2．求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的2種方法 (1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Sn＝an2＋bn，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解． (2)鄰項(xiàng)變號

58、法： ①當(dāng)a1>0，d<0時，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm； ②當(dāng)a1<0，d>0時，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm. 3．理清等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與函數(shù)的關(guān)系 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn＝na1＋d可變形為Sn＝n2＋n，令A(yù)＝，B＝a1－，則Sn＝An2＋Bn. 當(dāng)A≠0，即d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，(n，Sn)在二次函數(shù)y＝Ax2＋Bx的圖象上，即為拋物線y＝Ax2＋Bx上一群孤立的點(diǎn)．利用此性質(zhì)可解決前n項(xiàng)和Sn的最值問題． [沖關(guān)演練] 1．(2018·岳陽模擬)在等差數(shù)列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝(　　)

59、 A．95　　　　　　　　　 　 B．100 C．135 D．80 解析：選B　由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8構(gòu)成新的等差數(shù)列，于是a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)[(a3＋a4)－(a1＋a2)]＝40＋3×20＝100. 2．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，則滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為(　　) A．6 B．7 C．12 D．13 解析：選C　因?yàn)閍1>0，a6a7<0，所以a6>0，a7<0，等差數(shù)列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<

60、0，所以S12>0，S13<0，所以滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為12. 3．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知前6項(xiàng)和為36，最后6項(xiàng)的和為180，Sn＝324(n＞6)，則數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為________． 解析：由題意知a1＋a2＋…＋a6＝36，① an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，② ①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216， ∴a1＋an＝36， 又Sn＝＝324， ∴18n＝324，∴n＝18. 答案：18 (一)普通高中適用作業(yè) A級——基礎(chǔ)小題練熟練快 1．(2018·蘭州

61、診斷考試)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，a8＋a10＝28，則S9＝(　　) A．36　　　　　　　　　　 B．72 C．144 D．288 解析：選B　法一：∵a8＋a10＝2a1＋16d＝28，a1＝2， ∴d＝，∴S9＝9×2＋×＝72. 法二：∵a8＋a10＝2a9＝28，∴a9＝14， ∴S9＝＝72. 2．(2018·安徽兩校階段性測試)若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a2＋S3＝4，a3＋S5＝12，則a4＋S7的值是(　　) A．20 B．36 C．24 D．72 解析：選C　由a2＋S3＝4及a3＋S5＝12， 得解得

62、 ∴a4＋S7＝8a1＋24d＝24. 3．(2018·西安質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，則正整數(shù)k＝(　　) A．21 B．22 C．23 D．24 解析：選C　由3an＋1＝3an－2?an＋1－an＝－?{an}是等差數(shù)列，則an＝－n.∵ak·ak＋1<0， ∴<0，∴

63、21 解析：選B　設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，則d＝b3－b2＝－14，因?yàn)閍n＋1－an＝bn，所以a8－a1＝b1＋b2＋…＋b7＝＝7b4＝7×(－2－14)＝－112，又a1＝3，所以a8＝－109. 5．(2018·云南11?？鐓^(qū)調(diào)研)在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝，則a4＝(　　) A. B．1 C. D. 解析：選A　依題意得＝＝＋，－＝，故數(shù)列是以＝為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列，則＝＋＝，an＝，a4＝. 6．(2018·東北四市高考模擬)已知數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝2，a1＝－5，則|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝(　　) A．9 B．15

64、 C．18 D．30 解析：選C　由an＋1－an＝2可得數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差d＝2，又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18. 7．(2016·北京高考)已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．若a1＝6，a3＋a5＝0，則S6＝________. 解析：∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0. ∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2. ∴S6＝6a1＋d＝6×6－30＝6. 答案：6 8．等差數(shù)列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，則{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值為_____

65、___． 解析：∵∴ ∴Sn的最大值為S5. 答案：S5 9．若等差數(shù)列{an}的前17項(xiàng)和S17＝51，則a5－a7＋a9－a11＋a13＝________. 解析：因?yàn)镾17＝×17＝17a9＝51，所以a9＝3. 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)知a5＋a13＝a7＋a11， 所以a5－a7＋a9－a11＋a13＝a9＝3. 答案：3 10．在等差數(shù)列{an}中，公差d＝，前100項(xiàng)的和S100＝45，則a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________. 解析：因?yàn)镾100＝(a1＋a100)＝45，所以a1＋a100＝， a1＋a99＝a1＋a100－d＝， 則a1＋a3＋a5

66、＋…＋a99＝(a1＋a99)＝×＝10. 答案：10 B級——中檔題目練通抓牢 1．(2018·湖南五市十校聯(lián)考)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4＋a5＝23，則S8＝(　　) A．72 B．88 C．92 D．98 解析：選C　法一：由Sn＋1＝Sn＋an＋3，得an＋1－an＝3，故數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列，又a4＋a5＝23＝2a1＋7d＝2a1＋21，∴a1＝1，S8＝8a1＋d＝92. 法二：由Sn＋1＝Sn＋an＋3，得an＋1－an＝3，故數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列，S8＝＝＝92. 2．(2018·廣東潮州二模)在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增一十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里，良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，二馬相逢，問：幾日相逢(　　) A．8日 B．9日 C．12日 D．16日 解析：選B　設(shè)n日相逢，則依題意得103n＋×13＋97n＋×＝1 125×2， 整理得n2＋31n－360＝0，