九年級數(shù)學競賽輔導講座 第十九講 轉(zhuǎn)化靈活的圓中角

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1、九年級數(shù)學競賽輔導講座 第十九講 轉(zhuǎn)化靈活的圓中角 角是幾何圖形中最重要的元素，證明兩直線位置關(guān)系、運用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角，而圓的特征，賦予角極強的活性，使得角能靈活地互相轉(zhuǎn)化． 根據(jù)圓心角與圓周角的倍半關(guān)系，可實現(xiàn)圓心角與圓周角的轉(zhuǎn)化；由同弧或等弧所對的圓周角相等，可將圓周角在大小不變的情況下，改變頂點在圓上的位置進行探索；由圓內(nèi)接四邊形的對角互補和外角等于內(nèi)對角，可將與圓有關(guān)的角互相聯(lián)系起來． 熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論． 注：根據(jù)頂點、角的兩邊與圓的位置關(guān)系，我們定義了圓心角與圓周角，類似地，當角的頂點在圓外或圓內(nèi)，我們可以定義圓外角與圓

2、內(nèi)角，這兩類角分別與它們的所夾弧度數(shù)有怎樣的關(guān)系?讀者可自行作一番探討． 【例題求解】 【例1】 如圖，直線AB與⊙O相交于A，B再點，點O在AB上，點C在⊙O上，且∠AOC＝40°，點E是直線AB上一個動點(與點O不重合)，直線EC交⊙O于另一點D，則使DE=DO的點正共有 個． 思路點撥 在直線AB上使DE=DO的動點E與⊙O有怎樣的位置關(guān)系? 分點E在AB上(E在⊙O內(nèi))、在BA或AB的延長線上(E點在⊙O外)三種情況考慮，通過角度的計算，確定E點位置、存在的個數(shù)． 注： 弧是聯(lián)系與圓

3、有關(guān)的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使與圓有關(guān)的角相互轉(zhuǎn)化的基本方法． 【例2】 如圖，已知△ABC為等腰直角三形，D為斜邊BC的中點，經(jīng)過點A、D的⊙O與邊AB、AC、BC分別相交于點E、F、M，對于如下五個結(jié)論：①∠FMC=45°；②AE+AF＝AB；③；④2BM2=BF×BA；⑤四邊形AEMF為矩形．其中正確結(jié)論的個數(shù)是( ) A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 思路點撥 充分運用與圓有關(guān)的角，尋找特殊三角形、特殊四邊

4、形、相似三角形，逐一驗證． 注：多重選擇單選化是近年出現(xiàn)的一種新題型，解這類問題，需把條件重組與整合，挖掘隱合條件，作深入的探究，方能作出小正確的選擇． 【例3】 如圖，已知四邊形ABCD外接⊙O的半徑為5，對角線AC與BD的交點為E，且AB2=AE×AC，BD＝8，求△ABD的面積． 思路點撥 由條件出發(fā)，利用相似三角形、圓中角可推得A為弧BD中點，這是解本例的關(guān)鍵． 【例4】 如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，連結(jié)AC，過點C作直線CD⊥AB于D(AD

5、F，連結(jié)AF與直線CD交于點G． (1)求證：AC2=AG×AF； (2)若點E是AD(點A除外)上任意一點，上述結(jié)論是否仍然成立?若成立．請畫出圖形并給予證明；若不成立，請說明理由． 思路點撥 (1)作出圓中常用輔助線證明△ACG∽△AFC； （2）判斷上述結(jié)論在E點運動的情況下是否成立，依題意準確畫出圖形是關(guān)鍵． 注：構(gòu)造直徑上90°的圓周角，是解與圓相關(guān)問題的常用輔助線，這樣就為勾股定理的運用、相似三角形的判定創(chuàng)造了條件． 【例5】 如圖，圓內(nèi)接六邊形ABCDEF滿足AB=CD=EF，且對角線

6、AD、BE、CF相交于一點Q，設AD與CF的交點為P． 求證：（1）；(2)． 思路點撥 解本例的關(guān)鍵在于運用與圓相關(guān)的角，能發(fā)現(xiàn)多對相似三角形． (1) 證明△QDE∽△ACF；(2)易證，通過其他三角形相似并結(jié)合(1)把非常規(guī)問題的證明轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題的證明． 注：有些幾何問題雖然表面與圓無關(guān)，但是若能發(fā)現(xiàn)隱含的圓，尤其是能發(fā)現(xiàn)共圓的四點，就能運用圓的豐富性質(zhì)為解題服務，確定四點共圓的主要方法有： (1)利用圓的定義判定； (2)利用圓內(nèi)接四

7、邊形性質(zhì)的逆命題判定． 學歷訓練 1．一條弦把圓分成2：3兩部分，那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)為 ． 2．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D、E都是⊙O上的一點，則∠1+∠2= ． 3．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，F(xiàn)是CG的中點，延長AF交⊙O于E，CF=2，AF=3，則EF的長為 ． 4．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB+AC=12，AD⊥BC于D，AD＝

8、3，設⊙O的半徑為，AB的長為，用的代數(shù)式表示，= ． 5．如圖，ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，延長BC到E，已知∠BCD：∠ECD＝3：2，那么∠BOD等于( ) A．120° B．136° C．144° D．150° 6．如圖，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，則∠BOC等于( ) A．20° B．30° C．40° D．50° 7．如圖，BC為半圓O的直徑，A、D為半圓O上兩點，AB=，BC=2，則∠D的度數(shù)為( ) A．60° B． 120° C．

9、 135° D．150° ⌒ ⌒ 8．如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，點P是弧AC上一點(點P不與A、C兩點重合)，連結(jié)PC、PD、PA、AD，點E在AP的延長線上，PD與AB交于點F．給出下列四個結(jié)論：①CH2=AH×BH；②AD=AC；③AD2=DF×DP；④ ∠EPC=∠APD，其中正確的個數(shù)是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 9．如圖，已知B正是△ABC的外接圓O的直徑，CD是△ABC的高． (1)求證：AC·BC=BE·CD； (2) 已知CD=6，AD=3，BD

10、=8，求⊙O的直徑BE的長． 10．如圖，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點D，延長DA交△ABC的外接圓于點F，連結(jié)FB，F(xiàn)C． (1)求證：FB=FC； (2)求證：FB2=FAFD； (3)若AB是△ABC的外接圓的直徑，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的長． 11．如圖，B、C是線段AD的兩個三等分點，P是以BC為直徑的圓周上的任意一點(B、C點除外)，則tan∠APB·tan∠CPD=

11、 ． 12．如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=，則四邊形ABCD的面積為 ． 13．如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AD=3，CD=2，則BC= ． ⌒ 14．如圖，AB是半圓的直徑，D是AC的中點，∠B=40°，則∠A等于( ) A．60° B．50° C．80° D．70°

12、 15．如圖，已知ABCD是一個以AD為直徑的圓內(nèi)接四邊形，AB=5，PC=4，分別延長AB和DC，它們相交于P，若∠APD=60°，則⊙O的面積為( ) A．25π B．16π C．15π D．13π 16．如圖，AD是Rt△ABC的斜邊BC上的高，AB=AC，過A、D兩點的圓與AB、AC

13、分別相交于點E、F，弦EF與AD相交于點G，則圖中與△GDE相似的三角形的個數(shù)為( ) A．5 B．4 C．3 D．2 17．如圖，已知四邊形ABCD外接圓⊙O的半徑為2，對角線AC與BD的交點為E，AE=EC，AB=AE，且BD=，求四邊形ABCD的面積． 18．如圖，已知ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，E是BD上的一點，且有∠BAE=∠DAC． 求證：(1)△ABE∽△ACD；(2)ABDC+AD·B C＝AC·BD． 19．如圖，已知P是⊙O直徑AB延長線上的一點，直線PCD交⊙O于C、D

14、兩點，弦DF⊥AB于點H，CF交AB于點E． (1)求證：PA·PB=PO·PE；(2)若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半徑為2，求弦CF的長． ⌒ 20．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC=4，S△ABC=，∠B為銳角，且關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，D是劣弧AC上任一點(點D不與點A、C重合)，DE平分∠ADC，交⊙O于點E，交AC于點F． (1)求∠B的度數(shù)； (2)求CE的長； (3)求證：DA、DC的長是方程的兩個實數(shù)根． 參考答案