2022年高考數學二輪復習 專題7 概率與統(tǒng)計 第1講 排列、組合與二項式定理 理

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1、2022年高考數學二輪復習 專題7 概率與統(tǒng)計 第1講 排列、組合與二項式定理 理 計數原理、排列、組合問題 1.將2名教師,4名學生分成2個小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動,每個小組由1名教師和2名學生組成,不同的安排方案共有(　A　) (A)12種 (B)10種 (C)9種 (D)8種 解析:分兩步:第一步,選派一名教師到甲地,另一名到乙地,共有=2(種)選派方法; 第二步,選派兩名學生到甲地,另外兩名到乙地,共有=6(種)選派 方法. 由分步乘法計數原理,不同選派方案共有2×6=12(種). 2.計劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫,排成一

2、列,要求同一品種的畫必須連在一起,并且水彩畫不放在兩端,那么不同的排列方式的種數有(　D　) (A) (B) (C) (D) 解析:先把3個品種的畫看成整體,而水彩畫受限制應優(yōu)先考慮,不能放在頭尾,油畫與國畫有種放法,再考慮國畫與油畫本身又可以全排列,故排列的方法有種. 3.從6本不同的書中選出4本,分別發(fā)給4個同學,已知其中兩本書不能發(fā)給甲同學,則不同分配方法有(　C　) (A)180 (B)220 (C)240 (D)260 解析:先從其他四本不同的書中選一本發(fā)給甲同學,有種;再從剩下的五本不同的書中選三本發(fā)給其他3個同學,有種;則不同分配方法有=240種. 4.用0,1,…

3、,9十個數字,可以組成有重復數字的三位數的個數為(　B　) (A)243 (B)252 (C)261 (D)279 解析:由0,1,…,9十個數字共可組成三位數個數為=900,其中無重復數字的三位數有=648(個),則符合題意的三位數個數為900-648=252.故選B. 5. 如圖,用6種不同的顏色把圖中A,B,C,D4塊區(qū)域分開,若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色,則涂色方法共有　　　　種(用數字作答).? 解析:從A開始涂色,A有6種涂色方法,B有5種涂色方法,C有4種涂色方法,D若與A顏色相同有1種涂色方法,否則有3種涂色方法.共有6×5×4×(1+3)=480種涂色方法. 答案:4

4、80 6.有4名優(yōu)秀學生A,B,C,D全部被保送到甲,乙,丙3所學校,每所學校至少去一名,則不同的保送方案共有　　　種.? 解析:先把4名學生分為2,1,1的3組,有=6種分法,再將這3組分配到3所學校,有=6種情況,則共有6×6=36種不同的保送方案. 答案:36 7.在運動會百米決賽上,8名男運動員參加100米決賽.其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數號跑道上,則安排這8名運動員比賽的方式共有　　　種.? 解析:分兩步安排這8名運動員. 第一步:安排甲、乙、丙三人,共有1,3,5,7四條跑道可安排. 所以安排方式有=4×3×2=24種. 第二

5、步:安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一條奇數號跑道安排,所以安排方式有=5×4×3×2×1=120種. 故安排這8人的方式有24×120=2880種. 答案:2880 二項式定理的應用 8.在(x-)5的二項展開式中,x2的系數為(　A　) (A)40 (B)-40 (C)80 (D)-80 解析:(x-)5的展開式的通項為 =x5-r(-)r=(-2)r, 令5-=2,得r=2,故展開式中x2的系數是(-2)2=40,故選A. 9.若二項式(x3-)n(n∈N*),展開式中含有常數項,則n的最小值為(　A　) (A)7 (B)6 (C)5 (D)4 解析:根據題

6、意,得Tr+1=x3(n-r)(-)r=,令6n-7r=0,得n=,故n的最小值為7,故選A. 10.已知關于x的二項式(+)n展開式的二項式系數之和為32,常數項為80,則a的值為(　C　) (A)1 (B)±1 (C)2 (D)±2 解析:根據題意,該二項式的展開式的二項式系數之和為32,則有2n=32,可得n=5,則二項式的展開式的通項公式為Tr+1=()5-r()r=ar令15-5r=0得r=3,由題意有a3=80,解可得a=2;故選C. 11.在二項式(x2+)n的展開式中,所有二項式系數的和是32,則展開式中各項系數的和為(　A　) (A)32 (B)-32 (C)0 (

7、D)1 解析:依題意得所有二項式系數的和為2n=32,解得n=5. 因此,令x=1,則該二項展開式中的各項系數的和等于(12+)5=32,故 選A. 12.(xx皖南八校三聯(lián))(+)n的展開式中第五項和第六項的二項式系數最大,則第四項為　　　.? 解析:由已知條件第五項和第六項二項式系數最大,得n=9,(+)9展開式的第四項為 T4=·()6·()3=. 答案: 13.若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,則a2+a4+…+a12=　　　　.? 解析:令x=1,則a0+a1+a2+…+a12=36, 令x=-1,則a0-a1+a2-…+a12=1,

8、 所以a0+a2+a4+…+a12=. 令x=0,則a0=1, 所以a2+a4+…+a12=-1=364. 答案:364 14.若(x2+ax+1)6(a>0)的展開式中x2的系數是66, 則sin xdx的值為　　　　.? 解析:由題意可得(x2+ax+1)6的展開式中x2的系數為+a2故+a2=66, 所以a=2或a=-2(舍去).故 sin xdx=sin xdx=(-cos x)=1- cos 2. 答案:1-cos 2 一、選擇題 1.從8名女生和4名男生中,抽取3名學生參加某檔電視節(jié)目,如果按性別比例分層抽樣,則不同的抽取方法數為(　B　) (A)22

9、4 (B)112 (C)56 (D)28 解析:根據分層抽樣,從12個人中抽取男生1人,女生2人;所以取2名女生1名男生的方法數為=112. 2.從0,2中選一個數字,從1,3,5中選兩個數字,組成無重復數字的三位數,其中奇數的個數為(　B　) (A)24 (B)18 (C)12 (D)6 解析:依該數三個數位數字的奇偶性可分為兩種情況:(1)奇偶奇;(2)偶奇奇.對于(1),有=12個數,對于(2)有·=6個數.滿足條件的數共有12+6=18個.故選B. 3.4位同學從甲、乙、丙3門課程中各選修1門,則恰有2人選修課程甲的不同選法有(　B　) (A)12種 (B)24種 (C

10、)30種 (D)36種 解析:分三步,第一步先從4位同學中選2人選修課程甲.共有種不同選法,第二步第3位同學選課程,有2種選法.第三步第4位同學選課程,也有2種不同選法.故共有×2×2=24(種). 4.(xx湖北卷)若二項式(2x+)7的展開式中的系數是84,則實數a等于(　C　) (A)2 (B) (C)1 (D) 解析:Tk+1=(2x)7-k()k=27-kakx7-2k,令7-2k=-3,得k=5,即T5+1=22a5x-3=84x-3,解得a=1.故選C. 5.設a∈Z,且0≤a<13,若51xx+a能被13整除,則a等于(　D　) (A)0 (B)1 (C)11 (D

11、)12 解析:51xx+a=a+(1-13×4)xx=a+1-(13×4)+(13×4)2+…+(13×4)xx, 顯然當a+1=13,即a=12時,51xx+a=13+13×4[-+(13×4)1+…+(13×4)xx],能被13整除.故a=12. 6.在(1+x)6(1+y)4的展開式中,記xmyn項的系數為f(m,n),則f(3,0) +f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)等于(　C　) (A)45 (B)60 (C)120 (D)210 解析:因為f(m,n)=,所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3) =+++=120. 7.從某班成員分別為3人

12、,3人和4人的三個學習小組中選派4人組成一個環(huán)保宣傳小組,則每個學習小組都至少有1人的選派方法種數是(　C　) (A)130 (B)128 (C)126 (D)124 解析:每個小組至少1人,則等價為有一個小組選派2人,其余兩個小組各1人, 則共有++=36+36+54=126,選C. 8.若(ax+)6展開式的所有項系數之和為64,則展開式的常數項為(　C　) (A)10或-270 (B)10 (C)20或-540 (D)20 解析:由(ax+)6展開式的所有項系數之和為64,知(a+1)6=64,解得a=1或a=-3,當a=1時,由Tr+1=·x6-r·x-r=·x6-2r,

13、令6-2r=0,得r=3,展開式的常數項為=20;當a=-3時,由Tr+1=·(-3)6-r·x6-r·x-r=·(-3)6-r·x6-2r,令6-2r=0,得r=3,展開式的常數項為(-3)3·=-540. 9.某公司新招聘5名員工,分給下屬的甲、乙兩個部門,其中兩名英語翻譯人員不能分給同一部門;另三名電腦編程人員不能都分給同一個部門,則不同的分配方案種數是(　B　) (A)6 (B)12 (C)24 (D)36 解析:先安排兩名英語翻譯,有種辦法;然后從三名電腦編程人員選出兩名安排在同一部門,種辦法,因此,滿足條件的不同分配方案種數是··=2×3×2=12. 10.(xx河北滄州4

14、月質檢)(x-1)(+x)6的展開式中的一次項系數是(　C　) (A)5 (B)14 (C)20 (D)35 解析:(+x)6中展開式的通項為Tr+1=()6-rxr=x2r-6,令2r-6=0,得r=3,此時展開式中的常數項為20,令2r-6=1,無整數解,故(+x)6的展開式中無一次項.故(x-1)(+x)6的展開式中的一次項系數是20.故選C. 11.將甲、乙等5名交警分配到三個不同路口疏導交通,每個路口至少一人,且甲、乙在同一路口的分配方案共有(　C　) (A)18種 (B)24種 (C)36種 (D)72種 解析:先分組:(1)一路口3人,另兩路口各1人,因為甲、乙在同一路

15、口,則共有=3(種);(2)兩路口2人,一路口1人,因為甲、乙在同一路口,則共有=3(種).再排列,所有的分配方案共有(+) =36(種). 12.設函數f(x)=(2x+a)n,其中n=6cos xdx,=-12,則f(x)的展開式中x4的系數為(　B　) (A)-240 (B)240 (C)-60 (D)60 解析:根據題意, n=6 cosxdx =6sin x =6(sin -sin 0) =6, 故n=6,所以f(x)=(2x+a)6, 從而得到f′(x)=6(2x+a)5×2=12(2x+a)5,f′(0)=12a5,f(0)=a6, 故===-12,解得a=

16、-1, 故f(x)=(2x-1)6,f(x)的展開式的通項公式Tr+1=(2x)r(-1)6-r,T4+1=(2x)4(-1)6-4=240x4,故選B. 二、填空題 13.已知(ax+1)5的展開式中x2的系數與(x+)4的展開式中x3的系數相等,則a=　　　　.? 解析:由二項式定理知:(ax+1)5的展開式中x2的系數為a2,(x+)4的展開式中x3的系數為,于是有a2=,解得a2=,所以可得a=±. 答案:± 14.5位同學排隊,其中3位女生,2位男生.如果2位男生不能相鄰,且女生甲不能排在排頭,則排法種數為　　　　　.? 解析:先排3個女生,三個女生之間有4個空,從4個

17、空中選2個排男生,共有=72種,若女生甲排在第1個,則三個女生之間有3個空,從3個空中選2個排男生,有=12種,所以滿足條件的不同排法有72-12=60種. 答案:60 15.若(-)n展開式的各項系數的絕對值之和為1024,則展開式中x的系數為　　　　.? 解析:Tr+1=()n-r(-)r=(-3)r·, 因為展開式的各項系數絕對值之和為 +|(-3)1|+(-3)2+|(-3)3|+…+ |(-3)n|=(1+3)n=1024, 解得n=5,令=1,解得r=1, 所以展開式中x的系數為(-3)1=-15. 答案:-15 16. 現(xiàn)有四種不同顏色的染料,給如圖的四個不同區(qū)域染色,每個區(qū)域只染一種顏色,相鄰區(qū)域涂不同的顏色,若同一種顏色可重復使用,則共有　　　種不同的染色方法(用數字作答).? 解析:有四種不同顏色的染料完成這件事情最少需要兩種染料,最多可用四種,故按照使用染料的種數來分類;第一類使用兩種染料時有=12(種)方法; 第二類使用三種染料時有=72(種)方法;第三類使用四種染料時有=24(種)方法,所以最終一共有12+72+24=108(種)不同的染色方法. 答案:108