2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第2講 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第1課時 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)案 理 北師大版

《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第2講 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第1課時 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)案 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第2講 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第1課時 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)案 理 北師大版（19頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、知識梳理1函數(shù)的單調(diào)性在(a，b)內(nèi)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，f(x)在(a，b)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a，b)上為增函數(shù)f(x)0f(x)在(a，b)上為減函數(shù)2函數(shù)的極值函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xa的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)xa附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f(a)0；而且在點(diǎn)xa附近的左側(cè)f(x)0，則點(diǎn)a叫作函數(shù)yf(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫作函數(shù)yf(x)的極小值函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xb的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)xb附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f(b)0；而且在點(diǎn)xb附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0(f(x)0恒成立，所以f(x)是增函數(shù)2設(shè)函數(shù)f(x)ln x

2、，則()Ax為f(x)的極大值點(diǎn)Bx為f(x)的極小值點(diǎn)Cx2為f(x)的極大值點(diǎn)Dx2為f(x)的極小值點(diǎn)解析：選D.f(x)(x0)，當(dāng)0x2時，f(x)2時，f(x)0，所以x2為f(x)的極小值點(diǎn)3函數(shù)yx2cos x在區(qū)間上的最大值是_解析：因?yàn)閥12sin x，所以當(dāng)x時，y0；當(dāng)x時，y0.()(2)如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性()(3)函數(shù)的極大值不一定比極小值大()(4)對可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f(x0)0是x0點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件()(5)函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值()答案：(1)(2)(3)(4)(5

3、)二、易錯糾偏(1)原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系不清致誤；(2)極值點(diǎn)存在的條件不清致誤；(3)忽視函數(shù)的定義域1函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)()A無極大值點(diǎn)、有四個極小值點(diǎn)B有三個極大值點(diǎn)、一個極小值點(diǎn)C有兩個極大值點(diǎn)、兩個極小值點(diǎn)D有四個極大值點(diǎn)、無極小值點(diǎn)解析：選C.導(dǎo)函數(shù)的圖象與x軸的四個交點(diǎn)都是極值點(diǎn)，第一個與第三個是極大值點(diǎn)，第二個與第四個是極小值點(diǎn)2設(shè)aR，若函數(shù)yexax有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：因?yàn)閥exax，所以yexa.因?yàn)楹瘮?shù)yexax有大于零的極值點(diǎn)，所以方程yexa0有大于零的解，因?yàn)楫?dāng)x0時，ex1，所以aex

4、1.答案：(，1)3函數(shù)f(x)xln x的減區(qū)間為_解析：由f(x)11，即x0，所以函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(0，1)答案：(0，1)第1課時導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性不含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性(自主練透)1函數(shù)y4x2的增區(qū)間為()A(0，)BC(，1) D解析：選B.由y4x2，得y8x，令y0，即8x0，解得x，所以函數(shù)y4x2的增區(qū)間為.故選B.2已知函數(shù)f(x)xln x，則f(x)()A在(0，)上是增加的 B在(0，)上是減少的C在上是增加的 D在上是減少的解析：選D.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)xln x，定義域?yàn)?0，)，所以f(x)ln x1(x0)，當(dāng)f(x)0時，解得x，即函數(shù)的增區(qū)間為；當(dāng)f

5、(x)0時，解得0x0，則其在區(qū)間(，)上的解集為和，即f(x)的增區(qū)間為和.答案：和求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域(2)求f(x)(3)在定義域內(nèi)解不等式f(x)0，得增區(qū)間(4)在定義域內(nèi)解不等式f(x)0，得減區(qū)間提醒求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，一定要先確定函數(shù)的定義域，否則極易出錯 含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性(師生共研) 已知f(x)a(xln x)，a0.討論f(x)的單調(diào)性【解】f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)a.(1)當(dāng)0a1，當(dāng)x(0，1)或x時，f(x)0，f(x)是增加的，當(dāng)x時，f(x)2時，00，f(x)是增加的，當(dāng)x時，f(x)0，f(x)是減少的綜上所述，當(dāng)

6、0a2時，f(x)在內(nèi)是增加的，在內(nèi)是減少的，在(1，)內(nèi)是增加的解決含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題應(yīng)注意的2點(diǎn)(1)研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn) 已知函數(shù)f(x)ln(ex1)ax(a0)，討論函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間解：f(x)a1a.當(dāng)a1時，f(x)0恒成立，所以當(dāng)a1，)時，函數(shù)yf(x)在R上是減少的當(dāng)0a0，得(1a)(ex1)1，即ex1，解得xln ，由f(x)0，得(1a)(ex1)1，即ex1，解得xln .所以當(dāng)a(0，1)時，函數(shù)yf(x)在上是增加的，在上

7、是減少的綜上，當(dāng)a1，)時，f(x)在R上是減少的；當(dāng)a(0，1)時，f(x)在上是增加的，在上是減少的函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(多維探究)角度一比較大小或解不等式 (1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(1)2，對任意xR，f(x)2，則f(x)2x4的解集為()A(1，1) B(1，)C(，1) D(，)(2)已知定義在上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且對于任意的x，都有f(x)sin xf Bff(1)C.ff Dff【解析】(1)由f(x)2x4，得f(x)2x40，設(shè)F(x)f(x)2x4，則F(x)f(x)2，因?yàn)閒(x)2，所以F(x)0在R上恒成立，所以F(x)在R上是增加的，而F(1

8、)f(1)2(1)42240，故不等式f(x)2x40等價于F(x)F(1)，所以x1，故選B.(2)令g(x)，則g(x)，由已知得g(x)g，即，所以ff.【答案】(1)B(2)A角度二已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù) 已知函數(shù)f(x)ln xax22x(a0)(1)若函數(shù)f(x)存在減區(qū)間，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)在1，4上是減少的，求a的取值范圍【解】(1)f(x)ln xax22x，x(0，)，所以f(x)ax2，由于f(x)在(0，)上存在減區(qū)間，所以當(dāng)x(0，)時，ax20有解即a有解，設(shè)G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)1，所以G(x)min1.所以a1.(2)

9、由f(x)在1，4上是減少的，當(dāng)x1，4時，f(x)ax20恒成立，即a恒成立所以aG(x)max，而G(x)1，因?yàn)閤1，4，所以，所以G(x)max(此時x4)，所以a，即a的取值范圍是.【遷移探究1】(變問法)若函數(shù)f(x)在1，4上是增加的，求a的取值范圍解：由f(x)在1，4上是增加的，當(dāng)x1，4時，f(x)0恒成立，所以當(dāng)x1，4時，a恒成立，又當(dāng)x1，4時，1(此時x1)，所以a1，即a的取值范圍是(，1【遷移探究2】(變問法)若函數(shù)f(x)在1，4上存在減區(qū)間，求a的取值范圍解：f(x)在1，4上存在減區(qū)間，則f(x)0在1，4上有解，所以當(dāng)x1，4時，a有解，又當(dāng)x1，4時，

10、1，所以a1，即a的取值范圍是(1，)【遷移探究3】(變條件)若函數(shù)f(x)在1，4上不單調(diào)，求a的取值范圍解：因?yàn)閒(x)在1，4上不單調(diào)，所以f(x)0在(1，4)上有解，即a有解，令m(x)，x(1，4)，則1m(x)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為. (1)利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的常用技巧利用題目條件，構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，再由單調(diào)性比較大小或解不等式(2)利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的解題思路由函數(shù)在區(qū)間a，b上是增加(減少)的可知f(x)0(f(x)0)在區(qū)間a，b上恒成立列出不等式；利用分離參數(shù)法或函數(shù)的性質(zhì)求解恒成立問題

11、；對等號單獨(dú)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使f(x)在整個區(qū)間恒等于0，若f(x)恒等于0，則參數(shù)的這個值應(yīng)舍去；若只有在個別點(diǎn)處有f(x)0，則參數(shù)可取這個值提醒f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)內(nèi)的任意一個非空子區(qū)間上f(x)0.應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解 1設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，f(x)，g(x)為其導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)g(x)f(x)g(x)0且g(3)0，則不等式f(x)g(x)0的解集是()A(3，0)(3，)B(3，0)(0，3)C(，3)(3，)D(，3)(0，3)解析：選D.令h(x)f(

12、x)g(x)，當(dāng)x0時，h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0，則h(x)在(，0)上是增加的，又f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以h(x)為奇函數(shù)，所以h(x)在(0，)上是增加的又由g(3)0，可得h(3)h(3)0，所以x3或0x3時h(x)0，故選D.2已知函數(shù)f(x)2x2ln x在區(qū)間1，2上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍解：f(x)4x，若函數(shù)f(x)在區(qū)間1，2上為單調(diào)函數(shù)，即f(x)4x0或f(x)4x0，即4x0或4x0在1，2上恒成立，即4x或4x.令h(x)4x，因?yàn)楹瘮?shù)h(x)在1，2上是增加的，所以h(2)或h(1)，即或3，解得a0或01，則

13、不等式f(x)x0的解集為_【解析】令g(x)f(x)x，所以g(x)f(x)1.由題意知g(x)0，所以g(x)為增函數(shù)因?yàn)間(2)f(2)20，所以g(x)0的解集為(2，)【答案】(2，)二、ex與f(x)的組合函數(shù) 已知f(x)(xR)有導(dǎo)函數(shù)，且對任意的xR，f(x)f(x)，nN，則有()Aenf(n)enf(0)Benf(n)f(0)，f(n)f(0)，f(n)enf(0)Denf(n)f(0)，f(n)0，g(x)為R上的增函數(shù)，故g(n)g(0)g(n)，即，即enf(n)enf(0)故選A.【答案】A 設(shè)a0，b0，e是自然對數(shù)的底數(shù)，則()A若ea2aeb3b，則abB若

14、ea2aeb3b，則abD若ea2aeb3b，則a0，b0，所以ea2aeb3beb2bbeb2b.對于函數(shù)yex2x(x0)，因?yàn)閥ex20，所以yex2x在(0，)上是增加的，因而ab成立故選A.【答案】A 基礎(chǔ)題組練1.已知定義在R上的函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)f(x)的大致圖像如圖所示，則下列敘述正確的是()Af(b)f(c)f(d)Bf(b)f(a)f(e)Cf(c)f(b)f(a)Df(c)f(e)f(d)解析：選C.由題意得，當(dāng)x(，c)時，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在(，c)上是增函數(shù)，因?yàn)閍bf(b)f(a)，故選C.2(2020江西紅色七校第一次聯(lián)考)若函數(shù)f(x)2x33m

15、x26x在區(qū)間(1，)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(，1B(，1)C(，2 D(，2)解析：選C.f(x)6x26mx6，由已知條件知x(1，)時，f(x)0恒成立設(shè)g(x)6x26mx6，則g(x)0在(1，)上恒成立當(dāng)36(m24)0，即2m2時，滿足g(x)0在(1，)上恒成立；當(dāng)36(m24)0，即m2時，則需解得m2，所以mf(e)f(3) Bf(3)f(e)f(2)Cf(3)f(2)f(e) Df(e)f(3)f(2)解析：選D.f(x)的定義域是(0，)，f(x)，令f(x)0，得xe.所以當(dāng)x(0，e)時，f(x)0，f(x)是增加的，當(dāng)x(e，)時，f(x)f(3)

16、f(2)，故選D.4設(shè)函數(shù)f(x)x29ln x在區(qū)間a1，a1上是減少的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(1，2 B(4，)C(，2) D(0，3解析：選A.因?yàn)閒(x)x29ln x，所以f(x)x(x0)，由x0，得00且a13，解得10恒成立，且a0，則下列說法正確的是()Af(a)f(0)Ceaf(a)f(0)解析：選D.設(shè)g(x)exf(x)，則g(x)exf(x)f(x)0，所以g(x)為R上的增函數(shù)，因?yàn)閍0，所以g(a)g(0)，即eaf(a)f(0)，故選D.6函數(shù)f(x)ln x的減區(qū)間是_解析：因?yàn)閒(x)ln x，所以函數(shù)的定義域?yàn)?0，)，且f(x)，令f(x)0，解得

17、0x5，所以函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(0，5)答案：(0，5)7若函數(shù)f(x)ax33x2x恰好有三個單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意知f(x)3ax26x1，由函數(shù)f(x)恰好有三個單調(diào)區(qū)間，得f(x)有兩個不相等的零點(diǎn)，所以3ax26x10需滿足a0，且3612a0，解得a3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(3，0)(0，)答案：(3，0)(0，)8已知函數(shù)f(x)ln x2x，若f(x22)0，函數(shù)是增函數(shù)，所以由f(x22)f(3x)得x223x，所以1x0)，則h(x)0，即h(x)在(0，)上是減函數(shù)由h(1)0知，當(dāng)0x0，從而f(x)0；當(dāng)x1時，h(x)0，從而f(x)0.

18、綜上可知，f(x)的增區(qū)間是(0，1)，減區(qū)間是(1，)10已知函數(shù)f(x)x3ax1.(1)若f(x)在R上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)在(1，1)上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(1，1)，求實(shí)數(shù)a的值；(4)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，1)上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)因?yàn)閒(x)在(，)上是增函數(shù)，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2對xR恒成立因?yàn)?x20，所以只需a0.又因?yàn)閍0時，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函數(shù)，所以a0，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，0(2)由題意知f(x)3x2a0在(1，1)上

19、恒成立，所以a3x2在(1，1)上恒成立，因?yàn)楫?dāng)1x1時，3x20.令f(x)0，解得x.因?yàn)閒(x)在區(qū)間(1，1)上不單調(diào)，所以f(x)0在(1，1)上有解，需01，得0a3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0，3)綜合題組練1設(shè)f(x)，g(x)是定義在R上的恒大于0的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)g(x)f(x)g(x)0，則當(dāng)axf(b)g(b)Bf(x)g(a)f(a)g(x)Cf(x)g(b)f(b)g(x)Df(x)g(x)f(a)g(a)解析：選C.令F(x)，則F(x)0，所以F(x)在R上是減少的又ax.又f(x)0，g(x)0，所以f(x)g(b)f(b)g(x)2(2020西安模擬)定

20、義在R上的連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)x2，且x0時，f(x)x恒成立，則不等式f(x)f(1x)x的解集為()A. B.C. D(，0)解析：選A.令g(x)f(x)x2，則g(x)g(x)0g(x)為奇函數(shù)，又x0時，g(x)f(x)x0g(x)在(，0)上單調(diào)遞減，則g(x)在(，)上是減少的，由f(x)f(1x)x知f(x)x2f(1x)(1x)2，即g(x)g(1x)，從而x1xx，所以所求不等式的解集為.故選A.3已知函數(shù)f(x)x24x3ln x在區(qū)間t，t1上不單調(diào)，則t的取值范圍是_解析：由題意知f(x)x4，由f(x)0，得函數(shù)f(x)的兩個極值點(diǎn)為1和3，則只要這

21、兩個極值點(diǎn)有一個在區(qū)間(t，t1)內(nèi)，函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t1上就不單調(diào)，由t1t1或t3t1，得0t1或2t0，函數(shù)f(x)在(0，)上是增加的；當(dāng)a0時，令g(x)ax2(2a2)xa，(2a2)24a24(2a1)當(dāng)a時，0，f(x)0，函數(shù)f(x)在(0，)上是減少的當(dāng)a時，0，g(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)在(0，)上是減少的當(dāng)a0，設(shè)x1，x2(x10，所以當(dāng)x(0，x1)時，g(x)0，f(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)是增加的，當(dāng)x(x2，)時，g(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)是減少的綜上可得：當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)在(0，)上是增加的；當(dāng)a時，函數(shù)f(x)在(0，)上是減少的；當(dāng)a0時，f(x)的增區(qū)間為(0，1)，減區(qū)間為(1，)；當(dāng)a0時，f(x)的增區(qū)間為(1，)，減區(qū)間為(0，1)；當(dāng)a0時，f(x)為常函數(shù)(2)由(1)及題意得f(2)1，即a2，所以f(x)2ln x2x3，f(x).所以g(x)x3x22x，所以g(x)3x2(m4)x2.因?yàn)間(x)在區(qū)間(t，3)上總不是單調(diào)函數(shù)，即g(x)在區(qū)間(t，3)上有變號零點(diǎn)由于g(0)2，所以當(dāng)g(t)0時，即3t2(m4)t20對任意t1，2恒成立，由于g(0)0，故只要g(1)0且g(2)0，即m5且m9，即m0，即m.所以m9.即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.19