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1、2022年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第82講 圓錐曲線常用解題技巧
【知識要點】
圓錐曲線解題常用技巧有點差法、設(shè)而不求法、韋達(dá)定理法、定義法等.
【方法講評】
方法一
點差法
使用情景
一般已知中涉及直線和圓錐曲線相交產(chǎn)生的弦的中點
解題步驟
一般先“設(shè)點代點”，再作差，最后化簡.
【例1】雙曲線的一條弦的中點是(1,2)，此弦所在的直線方程是__________________.
【點評】（1）如果已知中涉及圓錐曲線的弦的中點，一般利用點差法，可以減少運算，提高解題效率. （2）使用點差法，一般先“設(shè)點代點”，再作差，最后化簡，最后可以得到中點的坐標(biāo)和
2、直線的斜率的關(guān)系.
【反饋檢測1】橢圓中有如下結(jié)論：橢圓上斜率為1的弦的中點在直線上，類比上述結(jié)論：雙曲線上斜率為1的弦的中點在直線 上.
方法二
設(shè)而不求法
使用情景
一般已知中涉及圓錐曲線上的兩個動點.
解題步驟
一般先設(shè)點，再利用韋達(dá)定理.
【例2】已知橢圓上任意一點到兩焦點距離之和為，離心率為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線的斜率為，直線與橢圓交于兩點．點為橢圓上一點，求的面積的最大值．
則由弦長公式得．
又點到直線的距離，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得最大值．∴面積的最大值為2．
【點評】本題就利用了“
3、設(shè)而不求”的方法，先設(shè)再利用韋達(dá)定理，并不要求把這兩個點的坐標(biāo)解答出來，實際上也是解答不出來的.
【反饋檢測2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點在直線：上運動，過點與垂直的直線和線段的垂直平分線相交于點．
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）過（1）中軌跡上的點(1,2)作兩條直線分別與軌跡相交于，兩點．試探究：當(dāng)直線的斜率存在且傾斜角互補時，直線的斜率是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．
方法三
韋達(dá)定理法
使用情景
一般已知中涉及圓錐曲線上的兩個動點.
解題步驟
一般先設(shè)點，再寫出韋達(dá)定理，再代韋達(dá)定理.?
【例3】已知點在雙曲線上，且
4、雙曲線的一條漸近線的方程是．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若過點且斜率為的直線與雙曲線有兩個不同交點，求實數(shù)的取值范圍；
(3)設(shè)(2)中直線與雙曲線交于兩個不同點，若以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，求實數(shù)的值．
∴
解得．
【點評】本題涉及“直線與雙曲線交于兩個不同點”，所以一般用到韋達(dá)定理,把韋達(dá)定理代到里化簡即可.
【反饋檢測3】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長是短軸長的倍，其上一點到右焦點的最短距離為
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線交橢圓于兩點，當(dāng)時求直線的方程.
方法四
定義法
5、使用情景
一般已知中涉及圓錐曲線的定義中的焦半徑、準(zhǔn)線等.
解題步驟
一般要聯(lián)想到圓錐曲線的定義，利用定義解答.
【例4】已知雙曲線的離心率為，左、右焦點為，點在上，若，則
=__________.
【點評】由于已知中涉及了雙曲線的焦半徑，所以要聯(lián)想到雙曲線的定義解答.
【反饋檢測4】如圖所示，直線y=x-2與圓及拋物線依次交于A，B，C，D四點，則=（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第82講：
圓錐
6、曲線常用解題技巧參考答案
【反饋檢測1答案】
不妨設(shè)弦的兩個端點為，，則，中點設(shè)為，則，，將上述兩端點代入雙曲線方程得，
兩式相減得，而，
∴，化簡得，
而，，于是在直線上.
【反饋檢測2答案】（1）；（2）是定值，為-1,過程見解析．
【反饋檢測2詳細(xì)解析】（1）依題意，得
∴動點的軌跡是以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，
∴動點的軌跡的方程為．
【反饋檢測3答案】（1），（2）
【反饋檢測3詳細(xì)解析】（1）由題可知：
所以橢圓方程為
（2）由
設(shè)，則
所以直線的方程為：
【反饋檢測4答案】
，故選.
2022年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第82講 圓錐曲線常用解題技巧
