2021高考數學一輪復習 第5章 平面向量、數系的擴充與復數的引入 第1節(jié) 平面向量的概念及線性運算教學案 理 北師大版

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1、1第第 5 5 章章 平面向量、數系的擴充與復數的引入平面向量、數系的擴充與復數的引入全國卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握1.考查形式本章在備考中一般為 2 個客觀題2.考查內容(1)對向量的考查，主要考查平面向量的線性運算、坐標運算、向量的平行與垂直、向量的數量積及應用，難度為容易或中檔(2)高考主要考查復數的基本概念、復數相等的充要條件以及復數的加、減、乘、除四則運算，其中復數的運算是高考的熱點，一般為選擇題3.備考策略(1)深刻理解并掌握向量的線性運算、向量的數量積、向量的模及夾角的運算(2)掌握復數的概念、復數的模、共軛復數、復數的幾何意義及四則運算.第一節(jié)平面向量的概念及線性運算最新考

2、綱1.了解向量的實際背景， 理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義， 理解向量的幾何表示.2.掌握向量加法、 減法的運算， 理解其幾何意義.3.掌握向量數乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.4.了解向量線性運算的性質及其幾何意義1向量的有關概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)(2)零向量：長度為 0 的向量，其方向是任意的(3)單位向量：長度等于 1 個單位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共線向量規(guī)定：0 與任一向量平行2(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量2向量的線性運算

3、向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a ab bb ba a；(2)結合律：(a ab b)c ca a(b bc c)減法求a a與b b的相反向量b b的和的運算叫做a a與b b的差三角形法則a ab ba a(b b)數乘求實數與向量a a的積的運算(1)|a a|a a|；(2)當0 時，a a的方向與a a的方向相同；當0時，a a的方向與a a的方向相反；當0 時，a a0( a a)()a a；()a aa aa a；(a ab b)a ab b3向量共線的判定定理和性質定理(1)判定定理：a a是一個非零向量，若存在

4、一個實數，使得b ba a，則向量b b與非零向量a a共線(2)性質定理：若向量b b與非零向量a a共線，則存在一個實數，使得b ba a.常用結論1若P為線段AB的中點，O為平面內任一點，則OP12(OAOB)2.OAOBOC(，為實數)O不在直線AB上，若點A，B，C共線，則1.3一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即A1A2A2A3A3A4An1AnA1An，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量4與非零向量a a共線的單位向量為a a|a a|.3一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)若兩個向量共線，則其方向必定相

5、同或相反()(2)若向量AB與向量CD是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上()(3)若a ab b，b bc c，則a ac.c.()(4)當兩個非零向量a a，b b共線時，一定有b ba a，反之成立()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1如圖，ABCD的對角線交于點M，若ABa a，ADb b，用a a，b b表示MD為()A.12a a12b bB.12a a12b bC.12a a12b bD.12a a12b bD D由題意可知BDADABb ba a，又BD2MD，MD12(b ba a)12b b12a a，故選 D.2對于非零向量a a，b b，“a ab b0

6、”是“a ab b”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件A A若a ab b0 0，則a ab b，所以a ab b.若a ab b，則a ab b0 0 不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件3已知ABCD的對角線AC和BD相交于點O，且OAa a，OBb b，則DC_，BC_.(用a a，b b表示)b ba aa ab b如圖，DCABOBOAb ba a，BCOCOBOAOBa ab b.4在平行四邊形ABCD中，若|ABAD|ABAD|，則四邊形ABCD的形狀為_4矩形如圖，因為ABADAC，ABADDB，所以|AC|DB|.由對角線長相等的平行四

7、邊形是矩形可知，四邊形ABCD是矩形考點 1平面向量的概念辨析向量有關概念的 5 個關鍵點(1)向量定義的關鍵是方向和長度(2)非零共線向量的關鍵是方向相同或相反，長度沒有限制(3)相等向量的關鍵是方向相同且長度相等(4)單位向量的關鍵是長度都是一個單位長度(5)零向量的關鍵是長度是 0，規(guī)定零向量與任何向量共線1.給出下列命題：兩個具有公共終點的向量一定是共線向量；兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大?。蝗鬭 a0(為實數)，則必為零；已知，為實數，若a ab b，則a a與b b共線其中正確命題的個數為()A1B2C3D4A A錯誤兩向量共線要看其方向而不是起點與終點正確因為向量既有大

8、小，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實數，故可以比較大小錯誤當a a0 0 時，無論為何值，a a0 0.錯誤當0 時，a ab b，此時，a a與b b可以是任意向量2給出下列命題：若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；若|a a|b b|，則a ab b或a ab b；若A，B，C，D是不共線的四點，且ABDC，則ABCD為平行四邊形；a ab b的充要條件是|a a|b b|且a ab b；其中真命題的序號是_5錯誤兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等；但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點錯誤|a a|b b|，但a a，b b方向不確定，所以a a，b b不

9、一定相等或相反正確因為ABDC，所以|AB|DC|且ABDC；又A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形錯誤 當a ab b且方向相反時， 即使|a a|b b|， 也不能得到a ab b， 所以|a a|b b|且a ab b不是a ab b的充要條件，而是必要不充分條件(1)只要不改變向量a a的大小和方向，可以自由平移a a，平移后的向量與a a相等(2)在研究向量的有關問題時，一定要結合圖形進行分析、判斷、求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧考點 2平面向量的線性運算向量線性運算的解題策略(1)向量的加減常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點的向量求

10、和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉化到同一個平行四邊形或三角形中求解向量的線性運算(1)(2018全國卷)在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點， 則EB()A.34AB14ACB.14AB34ACC.34AB14ACD.14AB34AC(2)(2019皖南八校聯考)如圖，在直角梯形ABCD中，AB2AD2DC，E為BC邊上一點，BC3EC，F為AE的中點，則BF()A13AB23ADB23AB13ADC13AB23ADD23AB13AD6(1 1)A A(2 2)B B(1)EBABAEA

11、B12ADAB1212(ABAC)34AB14AC，故選 A.(2)根據平面向量的運算法則得BF12BA12BE，BE23BC，BCACAB.因為ACADDC，DC12AB，所以BF12AB13AD12ABAB23AB13AD，故選 B.平面向量的線性運算技巧(1)不含圖形的情況：可直接運用相應運算法則求解(2)含圖形的情況：將它們轉化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質，把未知向量用已知向量表示出來求解根據向量線性運算求參數(2019山西師大附中模擬)在ABC中，AN14NC，P是直線BN上一點，若APmAB25AC，則實數m的值為()A4B1C1D4B

12、BAN14NC，AC5AN.又APmAB25AC，APmAB2AN，由B，P，N三點共線可知，m21，m1.與向量的線性運算有關的參數問題，一般是構造三角形，利用向量運算的三角形法則進行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關參數的值1. (2019西寧模擬)如圖，在ABC中，點D在BC邊上，且CD2DB，點E在AD邊上，且AD3AE，則用向量AB，AC表示CE為()7A.29AB89ACB.29AB89ACC.29AB79ACD.29AB79ACB B由平面向量的三角形法則及向量共線的性質可得CEAEAC13ADAC13(AB13BC)AC13AB13ACABAC29AB89AC.2(

13、2019棗莊模擬)設D為ABC所在平面內一點，AD13AB43AC，若BCDC(R R)，則()A2B3C2D3D D由BCDC可知ACAB(ACAD)，AD11 AC1AB，又AD13AB43AC，113，1143.解得3，故選 D.3在ABC中，點M，N滿足AM2MC，BNNC.若MNxAByAC，則x_；y_.1216MNMCCN813AC12CB13AC12(ABAC)12AB16ACxAByAC，x12，y16.考點 3共線向量定理的應用共線向量定理的 3 個應用證明向量共線對于向量a a，b b，若存在實數，使a ab b(b b0 0)，則a a與b b共線證明三點共線若存在實數

14、，使ABAC，則A，B，C三點共線求參數的值利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數的值設兩個非零向量a a與b b不共線，(1)若ABa ab b，BC2a a8b b，CD3(a ab b)，求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數k，使ka ab b和a akb b共線解(1)證明：ABa ab b，BC2a a8b b，CD3(a ab b)，BDBCCD2a a8b b3(a ab b)2a a8b b3a a3b b5(a ab b)5AB.AB，BD共線，又它們有公共點B，A，B，D三點共線(2)ka ab b和a akb b共線，存在實數，使ka ab b(a ak

15、b b)，9即ka ab ba akb b，(k)a a(k1)b b.a a，b b是兩個不共線的非零向量，kk10，k210，k1.母題探究若將本例(1)中“BC2a a8b b”改為“BCa amb b”， 則m為何值時，A，B，D三點共線？解BCCD(a amb b)3(a ab b)4a a(m3)b b，即BD4a a(m3)b b.若A，B，D三點共線，則存在實數，使BDAB.即 4a a(m3)b b(a ab b)4，m3，解得m7.故當m7 時，A，B，D三點共線利用向量共線定理解決問題應注意 2 點(1)向量共線的充要條件中，當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共

16、線的其他向量，注意待定系數法和方程思想的運用(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯系，當兩向量共線且有公共點時，才能得到三點共線1.在四邊形ABCD中，ABa a2b b，BC4a ab b，CD5a a3b b， 則四邊形ABCD的形狀是()A矩形B平行四邊形C梯形D以上都不對C C由已知， 得ADABBCCD8a a2b b2(4a ab b)2BC， 故ADBC.又因為AB與CD不平行，所以四邊形ABCD是梯形2已知向量e e1 10 0，R R，a ae e1 1e e2 2，b b2e e1 1，若向量a a與向量b b共線，則()A0Be

17、e2 20 0Ce e1 1e e2 2De e1 1e e2 2或0D D因為向量e e1 10 0，R R，a ae e1 1e e2 2，b b2e e1 1，又因為向量a a和b b共線，存在實數k，使得a akb b，所以e e1 1e e2 22ke e1 1，所以e e2 2(2k1)e e1 1，所以e e1 1e e2 2或0.103已知O為ABC內一點，且AO12(OBOC)，ADtAC，若B，O，D三點共線，則t()A.14B.13C.12D.23B B設E是BC邊的中點， 則12(OBOC)OE， 由題意得AOOE， 所以AO12AE14(ABAC)14AB14tAD，又因為B，O，D三點共線，所以1414t1，解得t13，故選 B.