江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前回扣2 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)學(xué)案

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1、 2.函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 1．求函數(shù)的定義域，關(guān)鍵是依據(jù)含自變量x的代數(shù)式有意義來列出相應(yīng)的不等式(組)求解，如開偶次方根，被開方數(shù)一定是非負(fù)數(shù)；對(duì)數(shù)式中的真數(shù)是正數(shù)；列不等式時(shí)，應(yīng)列出所有的不等式，不應(yīng)遺漏． 對(duì)抽象函數(shù)，只要對(duì)應(yīng)法則相同，括號(hào)里整體的取值范圍就完全相同． [問題1]　函數(shù)f(x)＝＋lg(1＋x)的定義域是________________． 答案　(－1,1)∪(1，＋∞) 2．分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用不同的式子來表示對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)，它是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)． [問題2]　已知函數(shù)f(x)＝的值域?yàn)镽，那么a的取值范圍是____________

2、． 答案　 解析　要使函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽， 需使所以 所以－1≤a<. 3．求函數(shù)最值(值域)常用的方法 (1)單調(diào)性法：適合于已知或能判斷單調(diào)性的函數(shù)． (2)圖象法：適合于已知或易作出圖象的函數(shù)． (3)基本不等式法：特別適合于分式結(jié)構(gòu)或兩元的函數(shù)． (4)導(dǎo)數(shù)法：適合于可導(dǎo)函數(shù)． (5)換元法(特別注意新元的范圍)． (6)分離常數(shù)法：適合于一次分式． [問題3]　函數(shù)y＝(x≥0)的值域?yàn)開_______． 答案　 解析　方法一　∵x≥0，∴2x≥1，∴≥1， 解得≤y<1.∴其值域?yàn)閥∈. 方法二　y＝1－， ∵x≥0，∴0<≤， ∴y∈.

3、4．判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，有時(shí)還要對(duì)函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響． [問題4]　f(x)＝是________函數(shù)．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 答案　奇 解析　由得定義域?yàn)?－1,0)∪(0,1)， f(x)＝＝. ∴f(－x)＝－f(x)，f(x)為奇函數(shù)． 5．函數(shù)奇偶性的性質(zhì) (1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反． (2)若f(x)為偶函數(shù)，則f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． (3)若奇函數(shù)f(x)的定義域中含有0，則必有f(0)＝0.

4、 “f(0)＝0”是“f(x)為奇函數(shù)”的既不充分又不必要條件． [問題5]　設(shè)f(x)＝lg是奇函數(shù)，且在x＝0處有意義，則該函數(shù)在定義域上單調(diào)遞________． 答案　增 解析　由題意可知f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0， 解得a＝－1， 故f(x)＝lg ，函數(shù)f(x)的定義域是(－1,1)， 在此定義域內(nèi)f(x)＝lg ＝lg(1＋x)－lg(1－x)， 函數(shù)y1＝lg(1＋x)是增函數(shù)，函數(shù)y2＝lg(1－x)是減函數(shù)，故f(x)＝y(tǒng)1－y2是增函數(shù)． 6．判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法 (1)能畫出圖象的，一般用數(shù)形結(jié)合法去觀察． (2)由基本初等函數(shù)通過加減運(yùn)

5、算或復(fù)合而成的函數(shù)，常轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)單調(diào)性判斷問題． (3)對(duì)于解析式較復(fù)雜的，一般用導(dǎo)數(shù)． (4)對(duì)于抽象函數(shù)，一般用定義法． [問題6]　函數(shù)y＝|log2|x－1||的遞增區(qū)間是________________． 答案　[0,1)，[2，＋∞) 解析　∵y＝ 作圖可知正確答案為[0,1)，[2，＋∞)． 7．有關(guān)函數(shù)周期的幾種情況必須熟記：(1)f(x)＝f(x＋a)(a>0)，則f(x)的周期T＝a；(2)f(x＋a)＝(f(x)≠0)或f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)的周期T＝2a. [問題7]　設(shè)f(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，當(dāng)x∈[－2,1)時(shí)

6、，f(x)＝則f?＝________. 答案?。? 8．函數(shù)圖象的幾種常見變換 (1)平移變換：左右平移——“左加右減”(注意是針對(duì)x而言)；上下平移——“上加下減”． (2)翻折變換：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)． (3)對(duì)稱變換：①證明函數(shù)圖象的對(duì)稱性，即證圖象上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖象上； ②函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱； ③函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關(guān)于直線x＝0 (y軸)對(duì)稱；函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝－f(x)的圖象關(guān)于直線y＝0(x軸)對(duì)稱． [問題8]　函數(shù)y＝的對(duì)稱中心是_______

7、_． 答案　(1,3) 9．如何求方程根的個(gè)數(shù)或范圍 求f(x)＝g(x)根的個(gè)數(shù)時(shí)，可在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)的圖象，看它們交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；求方程根(函數(shù)零點(diǎn))的范圍，可利用圖象觀察或零點(diǎn)存在性定理． [問題9]　已知函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． 答案　 解析　先作出函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1的圖象，如圖所示， 當(dāng)直線g(x)＝kx與直線AB平行時(shí)，斜率為1，當(dāng)直線g(x)＝kx過點(diǎn)A時(shí)，斜率為，故當(dāng)f(x)＝g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范

8、圍是. 10．二次函數(shù)問題 (1)處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)合．二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向，二看對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系． (2)若原題中沒有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式，要考慮到二次項(xiàng)系數(shù)可能為零的情形． [問題10]　若關(guān)于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一個(gè)正根，則a的取值范圍為________． 答案　 11．指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 可從定義域、值域、單調(diào)性、函數(shù)值的變化情況考慮，特別注意底數(shù)的取值對(duì)有關(guān)性質(zhì)的影響，另外，指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象恒過定點(diǎn)(0,1)，對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的圖象恒過定點(diǎn)(1,0)．

9、[問題11]　設(shè)a＝log36，b＝log510，c＝log714，則a，b，c的大小關(guān)系是________． 答案　a>b>c 12．函數(shù)與方程 (1)函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的根，也是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)． (2)y＝f(x)在[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)<0，那么f(x)在(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即至少存在一個(gè)x0∈(a，b)使f(x0)＝0.這個(gè)x0也就是方程f(x)＝0的根． (3)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)． [問題12]　函數(shù)f(x)＝的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________． 答案　1 13．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單

10、調(diào)性的步驟 (1)確定函數(shù)y＝f(x)的定義域． (2)求導(dǎo)數(shù)y′＝f′(x)． (3)解方程f′(x)＝0在定義域內(nèi)的所有實(shí)根． (4)將函數(shù)y＝f(x)的間斷點(diǎn)(即函數(shù)無定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和各個(gè)實(shí)數(shù)根按從小到大的順序排列起來，分成若干個(gè)小區(qū)間． (5)確定f′(x)在各個(gè)小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，由此確定每個(gè)區(qū)間的單調(diào)性． 特別提醒：(1)多個(gè)單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接； (2)f(x)為減函數(shù)時(shí)，f′(x)≤0恒成立，但要驗(yàn)證f′(x)是否恒等于0. [問題13]　若函數(shù)f(x)＝x2－ln x＋1在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_____

11、_________． 答案　 解析　因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝2x－， 由f′(x)＝0，得x＝. 利用圖象(圖略)可得 解得1≤k<. 14．導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)并不一定是極值點(diǎn)，例如：函數(shù)f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是極值點(diǎn)． [問題14]　函數(shù)f(x)＝x4－x3的極值點(diǎn)是________． 答案　x＝1 15．利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題的思想 (1)證明不等式f(x)

12、(x)＝x2＋2ax－ln x，若f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______． 答案　 解析　由題意知f′(x)＝x＋2a－≥0在上恒成立，即2a≥－x＋在上恒成立， 因?yàn)閙ax＝， 所以2a≥，即a≥. 易錯(cuò)點(diǎn)1　忽視函數(shù)的定義域 例1　函數(shù)y＝(x2－5x＋6)的單調(diào)增區(qū)間為__________． 易錯(cuò)分析　忽視對(duì)函數(shù)定義域的要求，漏掉條件x2－5x＋6>0. 解析　由x2－5x＋6>0，知x>3或x<2. 令u＝x2－5x＋6，則u＝x2－5x＋6在(－∞，2)上是減函數(shù)， ∴y＝(x2－5x＋6)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，2)． 答案　(－∞，2)

13、 例2　已知奇函數(shù)f(x)是定義在(－3,3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x－3)＋f(x2－3)<0，求x的取值范圍． 易錯(cuò)分析　解函數(shù)有關(guān)的不等式，除考慮單調(diào)性、奇偶性，還要把定義域放在首位． 解　由得 故03－x2，即x2＋x－6>0， 解得x>2或x<－3. 綜上得2

14、分段函數(shù)各段上函數(shù)值變化情況，忽視對(duì)定義域的臨界點(diǎn)處函數(shù)值的要求． 解析　若函數(shù)在R上單調(diào)遞減， 則有解得a≤－； 若函數(shù)在R上單調(diào)遞增， 則有解得1

15、0不是函數(shù)的零點(diǎn)，這樣函數(shù)有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)等價(jià)于方程f(x)＝mx2－2x＋1＝0有一個(gè)正根一個(gè)負(fù)根，即mf(0)<0，即m<0. 答案　(－∞，0]∪{1} 易錯(cuò)點(diǎn)4　混淆“在點(diǎn)”和“過點(diǎn)”致誤 例5　已知曲線f(x)＝x3－3x，過點(diǎn)A(0,16)作曲線f(x)的切線，求曲線的切線方程． 易錯(cuò)分析　“在點(diǎn)”處的切線，說明點(diǎn)在曲線上，且點(diǎn)是切點(diǎn)．“過點(diǎn)”的切線，說明切線經(jīng)過點(diǎn)：當(dāng)這個(gè)點(diǎn)不在曲線上時(shí)，一定不是切點(diǎn)；當(dāng)這個(gè)點(diǎn)在曲線上時(shí)，也未必是切點(diǎn)． 解　設(shè)切點(diǎn)為M(x0，x－3x0)．因?yàn)辄c(diǎn)M在切線上，所以x－3x0＝(3x－3)x0＋16，得x0＝－2， 所以切線方程為y＝

16、9x＋16. 易錯(cuò)點(diǎn)5　極值點(diǎn)條件不清 例6　已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值，且極值為10，則a＋b＝________. 易錯(cuò)分析　把f′(x0)＝0作為x0為極值點(diǎn)的充要條件，沒有對(duì)a，b值進(jìn)行驗(yàn)證，導(dǎo)致增解． 解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1時(shí)，函數(shù)取得極值10，得 聯(lián)立①②，得或 當(dāng)a＝4，b＝－11時(shí)， f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)． 在x＝1兩側(cè)的符號(hào)相反，符合題意． 當(dāng)a＝－3，b＝3時(shí)， f′(x)＝3(x－1)2在x＝1兩側(cè)的符號(hào)相同， 所以a＝－3，b＝3不符合題意，舍去． 綜上可知

17、，a＝4，b＝－11， 所以a＋b＝－7. 答案　－7 易錯(cuò)點(diǎn)6　函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系理解不準(zhǔn)確 例7　若函數(shù)f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________． 易錯(cuò)分析　誤認(rèn)為f′(x)>0恒成立是f(x)在R上是增函數(shù)的必要條件，漏掉f′(x)＝0的情況． 解析　f(x)＝ax3－x2＋x－5的導(dǎo)數(shù) f′(x)＝3ax2－2x＋1， 由f′(x)≥0，得 解得a≥. 答案　 1．函數(shù)f(x)＝log2(x2－6)的定義域?yàn)開_______________． 答案　(－∞，－)∪(，＋∞) 解析　由題意得x2－6>0?x>或x<－，

18、即定義域?yàn)?－∞，－)∪(，＋∞)． 2．若函數(shù)f(x)＝則滿足f(a)＝1的實(shí)數(shù)a的值為________． 答案?。? 解析　依題意，滿足f(a)＝1的實(shí)數(shù)a必不大于零，于是有由此解得a＝－1. 3．(2018·江蘇溧陽中學(xué)等三校聯(lián)考)若f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)＝x2－8x＋30，則f()＝________. 答案　－24 解析　由已知，得f()＝－f(－) ＝－f(4－)， 又f(4－)＝(4－)2－8(4－)＋30＝24， 故f()＝－24. 4．已知函數(shù)f(x)＝其中m>0，若函數(shù)y＝f(f(x))－1有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值

19、范圍是________． 答案　(0,1) 解析　令f(f(x))＝1，得f(x)＝或f(x)＝m－1<0， 進(jìn)一步，得x＝或x＝m－<0或x＝. 因?yàn)閙>0，所以只要m<1，即00，且a≠1)對(duì)任意x∈(1,100)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________________

20、_____________________________________________________． 答案　(0,1)∪(，＋∞) 解析　不等式logax－ln2x<4可化為－ln2x<4， 即<＋ln x對(duì)任意x∈(1,100)恒成立． 因?yàn)閤∈(1,100)，所以ln x∈(0,2ln 10)，＋ln x≥4， 故<4，解得ln a<0或ln a>， 即0. 7．已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)上任一點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線斜率k＝(x0－3)(x0＋1)2，則該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為________． 答案　(－∞，3] 解析　由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知

21、，f′(x0)＝(x0－3)(x0＋1)2≤0，解得x0≤3，即該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(－∞，3]． 8．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)>x的解集為______________． 答案　(－5,0)∪(5，＋∞) 解析　方法一　不等式f(x)>x的解集，即為函數(shù)y＝f(x)圖象在函數(shù)y＝x圖象上方部分x的取值范圍．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)和y＝x都是R上的奇函數(shù)，且方程f(x)＝x的根為±5,0，由圖象知，不等式f(x)>x的解集為(－5,0)∪(5，＋∞)． 方法二　令x<0，則－x>0， 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

22、 所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－4(－x)]＝－x2－4x. 要使f(x)>x，則或或 解得－55， 所以不等式f(x)>x的解集為(－5,0)∪(5，＋∞)． 9．已知函數(shù)f(x＋1)是偶函數(shù)，當(dāng)10恒成立，設(shè)a＝f?，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為__________． 答案　b0， 知y

23、＝f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)， 又f?＝f?，且2<<3， 所以f(2)

24、g(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，在[2,4]上單調(diào)遞減，在[4，＋∞)上單調(diào)遞增， g(1)＝a＋16，g(2)＝a＋20，g(4)＝a＋16， 因?yàn)間(x)＝0有且僅有兩個(gè)根， 故g(1)＝g(4)＝a＋16＝0或g(2)＝a＋20＝0， 解得a＝－20或a＝－16. 11．已知函數(shù)f(x)＝在x＝1處取得極值2. (1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式； (2)當(dāng)m滿足什么條件時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(m,2m＋1)上單調(diào)遞增？ 解　(1)因?yàn)閒′(x)＝， 而函數(shù)f(x)＝在x＝1處取得極值2， 所以即解得 所以f(x)＝即為所求． (2)由(1)知，f′(x)＝＝， 由f

25、′(x)>0可知，－10且c≠1，k∈R)恰有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，其中一個(gè)是x＝－c. (1)求函數(shù)f(x)的另一個(gè)極值點(diǎn)； (2)求函數(shù)f(x)的極大值M和極小值m，并求M－m≥1時(shí)k的取值范圍． 解　(1)f′(x)＝ ＝， 由題意知f′(－c)＝0，即得c2k－2c－ck＝0，(*) ∵c≠0，∴k≠0.∴c－＝1. 由f′(x)＝0，得－kx2－2x＋ck＝0， ∴另一個(gè)極值點(diǎn)為x＝c－，即x＝1. (2)由(*)式得k＝，即c＝1＋. 當(dāng)c>1時(shí)，k>0；當(dāng)00時(shí)，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)上是減函數(shù)，在(－c,1)上是增函數(shù)， ∴M＝f(1)＝＝>0， m＝f(－c)＝＝<0， 由M－m＝＋≥1及k>0，解得k≥. ②當(dāng)k<－2時(shí)，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)上是增函數(shù)，在(－c,1)上是減函數(shù)， ∴M＝f(－c)＝>0，m＝f(1)＝<0， M－m＝－＝1－≥1恒成立． 綜上可知，所求k的取值范圍為(－∞，－2)∪[，＋∞)． 13