2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次聯(lián)考試題 理（含解析）新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次聯(lián)考試題 理（含解析）新人教A版 【試卷綜析】試題考查的知識涉及到函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等幾章知識，重視學(xué)科基礎(chǔ)知識和基本技能的考察，同時(shí)側(cè)重考察了學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和思維能力的考察，知識點(diǎn)綜合與遷移。試卷的整體水準(zhǔn)應(yīng)該說比較高，綜合知識、創(chuàng)新題目的題考的有點(diǎn)少,試題適合階段性質(zhì)考試. 一、選擇題：本大題共10小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 【題文】1.已知復(fù)數(shù)滿足(其中是虛數(shù)單位,滿足),則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是 A. B. C. D

2、. 【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念與運(yùn)算. L4 【答案解析】B 解析：，故選B. 【思路點(diǎn)撥】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求得復(fù)數(shù)z=1+3i，再由共軛復(fù)數(shù)的定義求的共軛復(fù)數(shù). 【題文】2.已知集合,則下列結(jié)論正確的是 A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】集合運(yùn)算. A1 【答案解析】D 解析： ,,故選D. 【思路點(diǎn)撥】求出集合A，然后依次求各選項(xiàng)中的集合，得出正確選項(xiàng). 【題文】3.設(shè),則“”是“”成立的 A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 【知識點(diǎn)】充分條件；必要條件.

3、A2 【答案解析】A 解析：，成立；而a=-5,b=1時(shí)，但 不成立. 所以“”是“”成立的充分而不必要條件.故選A. 【思路點(diǎn)撥】分別判斷充分性、必要性是否成立得結(jié)論. 【題文】4.已知點(diǎn),則與向量方向相同的單位向量是 A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】平面向量的概念；向量的坐標(biāo)運(yùn)算. F1 F2 【答案解析】C 解析：因?yàn)?，所以與向量方向相同的單位向量是，故想C. 【思路點(diǎn)撥】求出向量AB的坐標(biāo)，提出向量AB的模得與向量AB方向相同的單位向量. 【題文】5.已知函數(shù)是上的奇函數(shù),且在區(qū)間上單調(diào)遞增,若

4、,則 A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用. B3 B4 【答案解析】B 解析：因?yàn)?， 而函數(shù)是上的奇函數(shù),且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以a>0,b<0,c<0，又因?yàn)? ，所以b>c，所以a>b>c，故選B. 【思路點(diǎn)撥】利用誘導(dǎo)公式化簡各自變量值，根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，把a(bǔ),b,c分成正數(shù)、負(fù)數(shù)兩類，由銳角余弦值小于其正切值得，再根據(jù)單調(diào)性得負(fù)數(shù)b,c大小關(guān)系，從而得a,b,c的大小順序. 【題文】6.函數(shù)的最大值與最小值的和是 A. B.0

5、 C. D. 【知識點(diǎn)】與三角函數(shù)有關(guān)的最值. C7 【答案解析】C 解析：，所以函數(shù)的最大值是，最小值是-3，所以最大值與最小值的和是-，故選C. 【思路點(diǎn)撥】把已知函數(shù)化為二次函數(shù)形式求得結(jié)論. 【題文】7.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. B12 【答案解析】D 解析：，由得x>e-1， 故選D. 【思路點(diǎn)撥】求定義域上導(dǎo)函數(shù)大于0的x范圍. 【題文】8.由直線,,曲線及軸所圍成的封閉圖形的面

6、積是 A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】定積分與微積分基本定理. B13 【答案解析】A 解析：，故選A. 【思路點(diǎn)撥】由定積分的幾何意義及微積分基本定理求解. 【題文】9.在中,角所對的邊分別是,若,則的最小角的正弦值等于 A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】向量；解三角形. F1 C8 【答案解析】C 解析：由得 , 因?yàn)椴还簿€，所以，所以角A最小，又cosA= ，所以sinA=，故選C

7、. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)向量共線的意義得關(guān)于a,b,c的方程組，由此確定三角形的最小內(nèi)角，再由余弦定理求得此最小內(nèi)角的余弦值，進(jìn)而求其正弦值. 【題文】10.已知定義在上的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,當(dāng)時(shí),滿足 ,則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 A.1 B.3 C.5 D.1或3 【知識點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性；函數(shù)的零點(diǎn)；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用. B4 B9 B12 【答案解析】A 解析：設(shè)則， 因?yàn)闀r(shí),滿足， 所以時(shí), ，所以函數(shù)是上的增函數(shù)，又是定義在上的奇函數(shù)，所以是R上增函數(shù)，所以在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，

8、故選 A. 【思路點(diǎn)撥】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)在的單調(diào)性，再由奇偶性得函數(shù)在R上單調(diào)性，從而得到函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù). 二、填空題：本大題共5小題,每小題5分,共25分,請將答案填在題后橫線上. 【題文】11.命題“對任意”的否定是 【知識點(diǎn)】含量詞的命題的否定. A3 【答案解析】存在,使得. 解析：命題“對任意”的否定是“存在,使得” 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)含量詞的命題的否定方法寫出結(jié)論. 【題文】12.已知向量向量滿足,則的取值范圍是 【知識點(diǎn)】向量的幾何意義. F1 【答案解析】[2，8

9、] 解析：表示對應(yīng)的點(diǎn)與對應(yīng)的點(diǎn)距離是3，又，所以的最小值5-3=2，最大值5+3=8，即的取值范圍是[2，8]. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)向量差的模的幾何意義，得對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以（3，4）為圓心3為半徑的圓，由此得的取值范圍. 【題文】13.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則 【知識點(diǎn)】函數(shù)的性質(zhì). C4 【答案解析】 解析：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減，所以， 所以，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以. 【思路點(diǎn)撥】由已知條件得，從而, 而當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以. 【題文】14.設(shè)函數(shù),若互不相等的實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍是

10、 【知識點(diǎn)】分段函數(shù). B1 【答案解析】 解析：設(shè)，則， 所以的取值范圍是 【思路點(diǎn)撥】畫出函數(shù)的圖像，由圖像可知若， 則，由此得的取值范圍. 【題文】15.已知函數(shù),有下列五個(gè)命題 ①不論為什么值,函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱; ②若,函數(shù)的極小值是,極大值是; ③若,則函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)的切線都不可能經(jīng)過原點(diǎn); ④當(dāng)時(shí),對函數(shù)圖象上任意一點(diǎn),都存在唯一的點(diǎn),使得(其中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)) ⑤當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)的切線與直線及軸所圍成的三角形的面積是定值. 其中正確的命題是 (填上你認(rèn)為正確的所有命題

11、的序號) 【知識點(diǎn)】函數(shù)的性質(zhì). B12 【答案解析】①③⑤ 解析：顯然函數(shù)是奇函數(shù)，故命題①正確；當(dāng)a=b<0時(shí)函數(shù)的極小值是-,極大值是，故命題②不正確；假設(shè)存在過原點(diǎn)的切線，切點(diǎn)為，則切線斜率，又，所以=，得b=0，與矛盾，故命題③正確；當(dāng)a=b=1時(shí)，對勾函數(shù)以直線y=x,y軸為漸近線，，所以對函數(shù)圖象上任意一點(diǎn),都存在唯一的點(diǎn),使得不成立，故命題④不正確；由③得切線方程 與y=ax聯(lián)立得交點(diǎn)，切線與y軸交點(diǎn)，又原點(diǎn)（0,0），所以圍成三角形的面積是2ab是定值，故命題⑤正確.所以正確命題有①③⑤. 【思路點(diǎn)撥】①可判斷函數(shù)的奇偶性；②當(dāng)a=b<0時(shí)函數(shù)的極小值是-,

12、極大值是，故結(jié)論不成立；③反證法，假設(shè)存在過原點(diǎn)的切線，切點(diǎn)為，則切線斜率，又，所以=，得b=0，與矛盾，故命題③正確；④特殊值法，當(dāng)a=b=1時(shí)，對勾函數(shù)以直線y=x,y軸為漸近線，，所以，從而=1不成立，故命題④不正確；⑤由③得切線方程與y=ax聯(lián)立得交點(diǎn)，切線與y軸交點(diǎn)，又原點(diǎn)（0,0），所以圍成三角形的面積是2ab是定值，故命題⑤正確. 三、解答題本大題共6小題,共75分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟. 【題文】16(本小題滿分12分) 如圖,,動(dòng)點(diǎn)與分別在射線上,且線段的長為1,線段的長為2,點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn). (Ⅰ)用向量與表示向量; (Ⅱ)求向量的模.

13、 【知識點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用；向量的線性運(yùn)算；向量的模.F1 【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ） . 解析：（Ⅰ）,兩式相加， 并注意到點(diǎn)分別是線段、的中點(diǎn)，得.-----6分 （Ⅱ）由已知可得向量與的模分別為與，夾角為， 所以,由得 =……………12分 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）根據(jù)向量加法的多邊形法則求解；（Ⅱ）根據(jù)向量模的平方與向量數(shù)量積的關(guān)系求解. 【題文】17(本小題滿分12分) 在中,角所對的邊分別是,若,且. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,求的面積. 【知識點(diǎn)】解三角形. C8 【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 解析：（Ⅰ）可得 所以，所以，……………3分 所以

14、 ,所以……6分 （Ⅱ）由（1）可得 在△中，由正弦定理 ∴ , ……………9分 ∴. ……………12分 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）已知等式展開，代入余弦定理得cosA,又代入得結(jié)論；（Ⅱ）由正弦定理求得邊c，代入面積公式求三角形面積. 【題文】18(本小題滿分12分) 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為. (Ⅰ)若函數(shù)在處取得極值,求實(shí)數(shù)的值; (Ⅱ)已知不等式對任意都成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用. B12 【答案解析】(Ⅰ) ；(Ⅱ) . 解析：(Ⅰ)，由于函數(shù)在時(shí)取得

15、極值，所以 . 即 解得， 此時(shí)在兩邊異號，在處取得極值--------6分 (Ⅱ) 方法一：由題設(shè)知： 對任意都成立 即對任意都成立……………9分 設(shè) , 則對任意，為單調(diào)遞增函數(shù) 所以對任意，恒成立的充分必要條件是 即 ，， 于是的取值范圍是………12分 方法二： 由題設(shè)知：，對任意都成立 即對任意都成立 于是對任意都成立，即……………9分 ， 于是的取值范圍是……………12分 【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)由可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件求a值；(Ⅱ)法一 即對任意都成立，把不等式左邊看成關(guān)于a的一次函數(shù)，利用一次函數(shù)單調(diào)性得關(guān)于

16、x的不等式求解；法二：分離參數(shù)法求x范圍. 【題文】19(本小題滿分12分) 已知函數(shù)(為奇函數(shù),且函數(shù)的圖象的兩相鄰對稱軸之間的距離為. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后,得到函數(shù)的圖象,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間. 【知識點(diǎn)】函數(shù)解析式的確定；圖像變換. C4 【答案解析】（Ⅰ）； （Ⅱ）（）. 解析：（Ⅰ） ．……………3分 因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，又，可得 所以，由題意得，所以． 故．因此． ……………6分 （Ⅱ）將的圖象向右平移個(gè)單位后，得到的圖象， 所以． ……………9分 當(dāng)（）， 即（）時(shí)，單調(diào)遞增， 因此的單調(diào)遞增

17、區(qū)間為（）． ……………12分 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）由奇偶性求，由周期性求，得解析式，從而求的值； （Ⅱ）根據(jù)圖像變換規(guī)律得函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間. 【題文】20(本小題滿分13分) 已知函數(shù),其中. (Ⅰ)若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)的取值范圍; (Ⅱ)若,且關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用. B12 【答案解析】（Ⅰ） ；(Ⅱ) . 解析：（Ⅰ）的定義域是，求導(dǎo)得 依題意在時(shí)恒成立，即在恒成立. ……3分 這個(gè)不等式提供2種解法，供參考 解法一：因?yàn)?，所以二次函?shù)開口向下

18、，對稱軸， 問題轉(zhuǎn)化為 所以，所以的取值范圍是 ……………6分 解法二，分離變量，得在恒成立， 即 當(dāng)時(shí)，取最小值，∴的取值范圍是 ………6分 （Ⅱ）由題意，即， 設(shè)則列表： - 極大值 ˉ 極小值 - ∴，， 又………10分 方程在[1，4]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. 則， 得 （注意） ………13分 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，再由分離參數(shù)法等求a范圍； （Ⅱ）即方程在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，利用導(dǎo)數(shù)求極值，通過分析極值的取值條件求得b范圍. 【題文

19、】21(本小題滿分14分) 已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為2. (Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值; (Ⅱ)設(shè),討論的單調(diào)性; (Ⅲ)已知且,證明 【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；分析法證明不等式. B12 E7 【答案解析】（Ⅰ）1；(Ⅱ) 在區(qū)間和都是單調(diào)遞增的；(Ⅲ)見解析. 解析：（Ⅰ）所以 由題意,得……3分 (Ⅱ)，所以 設(shè) 當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，， 所以，故在上為增函數(shù)； ………6分 當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，， 所以，故在上為增函數(shù)； 所以在區(qū)間和都是單調(diào)遞增的。 ……………8分 (Ⅲ)由已知可知要證，即證 ……………10分 即證，即證，即證， ……………12分 又，由（2）知成立，所以.……………14分 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求實(shí)數(shù)的值；(Ⅱ) 求得設(shè)則，通過討論的單調(diào)性得函數(shù)的單調(diào)性； (Ⅲ)分析法：要證，即證 即證，即證，即證，又， 由（2）知成立，所以.