2021高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù) 第7節(jié) 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)教學案 文 北師大版

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1、第七節(jié)　對數(shù)與對數(shù)函數(shù) [最新考綱]　1.理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對數(shù)轉化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用.2.理解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點，會畫底數(shù)為2,10，的對數(shù)函數(shù)的圖像.3.體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.4.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)． (對應學生用書第27頁) 1．對數(shù) 概念 如果ab＝N(a＞0，且a≠1)，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作logaN＝b，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù). 性質(zhì) a＝N logaa

2、b＝b(a＞0，且a≠1) 換底 公式 換底公式：logab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0) 運算 法則 loga(M·N)＝logaM＋logaN a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 2.對數(shù)函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì) 定義 函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù) 圖像 a＞1 0＜a＜1 性質(zhì) 定義域：(0，＋∞) 值域：R 當x＝1時，y＝0，即過定點(1,0) 當0＜x＜1時，y＜0； 當x＞1時，y＞0 當0＜x＜1時，y＞0； 當x＞1時

3、，y＜0 在(0，＋∞)上為增函數(shù) 在(0，＋∞)上為減函數(shù) 3.反函數(shù) 指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖像關于直線y＝x對稱． 1．換底公式的兩個重要結論 (1)loga b＝；(2)logambn＝loga b. 其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R且m≠0. 2．對數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)大小的比較 如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數(shù)圖像交點的橫坐標為相應的底數(shù)，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×

4、”) (1)函數(shù)y＝log2(x＋1)是對數(shù)函數(shù)． (　　) (2)log2x2＝2log2x. (　　) (3)函數(shù)y＝ln與y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定義域相同． (　　) (4)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)的圖像過定點(1,0)，且過點(a,1)，，函數(shù)圖像不在第二、三象限． (　　) [答案](1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材改編 1．(log29)·(log34)＝(　　) A.　　　　　　 B. C．2 D．4 D　[(log29)·(log34)＝×＝×＝4.故選D.] 2．已知a＝2，b＝log2，c＝log，則(　

5、　) A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b D　[因為0＜a＜1，b＜0，c＝log＝log2 3＞1.所以c＞a＞b.故選D.] 3．函數(shù)y＝的定義域是________． 　[由log(2x－1)≥0，得0＜2x－1≤1. ∴＜x≤1. ∴函數(shù)y＝的定義域是.] 4．函數(shù)y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的圖像恒過點________． (3,1)　[當4－x＝1即x＝3時，y＝loga1＋1＝1. 所以函數(shù)的圖像恒過點(3,1)．] (對應學生用書第28頁) ⊙考點1　對數(shù)式的化簡與求值 　對數(shù)運算的一般思路 (1)拆：首

6、先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后利用對數(shù)運算性質(zhì)化簡合并． (2)合：將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算性質(zhì)，轉化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運算． 　1.設2a＝5b＝m，且＋＝2，則m等于(　　) A.　　　 B．10 C．20 D．100 A　[由已知，得a＝log2m，b＝log5m， 則＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2. 解得m＝.] 2．計算：lg －lg 25÷100＝________. －20　[原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg×10＝lg 10－2×10＝

7、－2×10＝－20.] 3．計算：＝________. 1　[原式＝ ＝ ＝＝＝＝1.] 4．已知log23＝a,3b＝7，則log2的值為________． 　[由題意3b＝7，所以log3 7＝b. 所以log 2＝log ＝＝＝＝.] 　對數(shù)運算法則是在化為同底的情況下進行的，因此經(jīng)常會用到換底公式及其推論．在對含有字母的對數(shù)式進行化簡時，必須保證恒等變形． ⊙考點2　對數(shù)函數(shù)的圖像及應用 　對數(shù)函數(shù)圖像的識別及應用方法 (1)在識別函數(shù)圖像時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖像上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項． (2)一些對數(shù)型

8、方程、不等式問題常轉化為相應的函數(shù)圖像問題，利用數(shù)形結合法求解． (1)(2019·浙江高考)在同一直角坐標系中，函數(shù)y＝，y＝loga (a＞0，且a≠1)的圖像可能是(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D (2)當0＜x≤時，4x＜logax，則a的取值范圍是(　　) A． B. C．(1，) D．(，2) (1)D　(2)B　[(1)對于函數(shù)y＝loga，當y＝0時，有x＋＝1，得x＝，即y＝loga的圖像恒過定點，排除選項A、C；函數(shù)y＝與y＝loga在各自定義域上單調(diào)性相反，排除選項B，故選D. (2)構造函數(shù)f(x)＝4x和g(x)＝l

9、ogax，當a＞1時不滿足條件，當0＜a＜1時，畫出兩個函數(shù)在上的圖像，可知f＜g，即2＜loga，則a＞，所以a的取值范圍為.] [母題探究] 1．(變條件)若本例(2)變?yōu)椋喝舨坏仁絰2－logax＜0對x∈恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． [解]　由x2－logax＜0得x2＜logax，設f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈時，不等式x2＜logax恒成立，只需f1(x)＝x2在上的圖像在f2(x)＝logax圖像的下方即可．當a＞1時，顯然不成立； 當0＜a＜1時，如圖所示． 要使x2＜logax在x∈上恒成立，需f1≤f2，所以有≤loga，解得a≥，所以≤a＜

10、1. 即實數(shù)a的取值范圍是[，1). 2．(變條件)若本例(2)變?yōu)椋寒?＜x≤時，＜logax，求實數(shù)a的取值范圍． [解]　若＜logax在x∈(0，]成立，則0＜a＜1，且y＝的圖像在y＝logax圖像的下方，如圖所示， 由圖像知＜loga， 所以解得＜a＜1. 即實數(shù)a的取值范圍是. 　1.(2019·合肥模擬)函數(shù)y＝ln(2－|x|)的大致圖像為(　　) A　　　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　　　D A　[令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函數(shù)f(x)的定義域為{x|－2＜x＜2}，且f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝

11、f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，排除選項C，D. 當x＝時，f＝ln ＜0，排除選項B，故選A.] 2．已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a＞0，a≠1)的圖像如圖，則下列結論成立的是(　　) A．a(chǎn)＞1，c＞1 B．a(chǎn)＞1,0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1,0＜c＜1 D　[由對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換知0＜a＜1,0＜c＜1.] 3．設方程10x＝|lg(－x)|的兩個根分別為x1，x2，則(　　) A．x1x2＜0 B．x1x2＝0 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1 D　[作出y＝10x與y＝|lg(－x)|

12、的大致圖像，如圖． 顯然x1＜0，x2＜0. 不妨令x1＜x2，則x1＜－1＜x2＜0， 所以10＝lg(－x1)，10＝－lg(－x2)， 此時10＜10，即lg(－x1)＜－lg(－x2)， 由此得lg(x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1，故選D.] ⊙考點3　對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應用 　解與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)性質(zhì)問題的三個關注點 (1)定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論． (2)底數(shù)與1的大小關系． (3)復合函數(shù)的構成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的． 　比較大小 (1)(2019·天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，則a

13、，b，c的大小關系為(　　) A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b (2)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，則a，b，c的大小關系為(　　) A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b (1)A　(2)D　[(1)因為a＝log52＜log5＝，b＝log0.50.2＞log0.50.5＝1，c＝0.50.2＝＞，0.50.2＜1，所以a＜c＜b，故選A. (2)因為a＝log2e＞1，b＝ln 2∈(0,1)，c＝log＝log23＞log2e＞1，所以c＞a＞b，故選D.] 　對數(shù)值大小比較的主要方法 (1)化同底

14、數(shù)后利用函數(shù)的單調(diào)性． (2)化同真數(shù)后利用圖像比較． (3)借用中間量(0或1等)進行估值比較． 　解簡單對數(shù)不等式 (1)若loga＜1(a＞0且a≠1)，則實數(shù)a的取值范圍是________． (2)若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，則a的取值范圍是________． (1) ∪(1，＋∞)　(2) 　[(1)當0＜a＜1時，loga＜logaa＝1，∴0＜a＜； 當a＞1時，loga＜logaa＝1，∴a＞1. ∴實數(shù)a的取值范圍是∪(1，＋∞)． (2)由題意得a＞0且a≠1，故必有a2＋1＞2a， 又loga(a2＋1)＜loga2a＜0，所以0＜a＜1

15、， 同時2a＞1，所以a＞.綜上，a∈.] 　對于形如logaf(x)＞b的不等式，一般轉化為logaf(x)＞logaab，再根據(jù)底數(shù)的范圍轉化為f(x)＞ab或0＜f(x)＜ab.而對于形如logaf(x)＞logbg(x)的不等式，一般要轉化為同底的不等式來解． 　和對數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù) 　解決與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的單調(diào)性問題的步驟 　已知函數(shù)f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)，若f(1)＝1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間． [解]　因為f(1)＝1， 所以log4(a＋5)＝1， 因此a＋5＝4，a＝－1， 所以f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)． 由－x2＋

16、2x＋3＞0，得－1＜x＜3， 函數(shù)f(x)的定義域為(－1,3)． 令g(x)＝－x2＋2x＋3， 則g(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減． 又y＝log4x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－1,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3)． 　利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)值域、最值和復合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關系；三是復合函數(shù)的構成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的，另外，解題時要注意數(shù)形結合、分類討論、轉化與化歸思想的使用． 　1.已知a＝2，b＝l

17、og2，c＝log，則a，b，c的大小關系為(　　) A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a C　[0＜a＝2＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log＝log23＞1，∴c＞a＞b.] 2．若定義在區(qū)間(－1,0)內(nèi)的函數(shù)f(x)＝log2a(x＋1)滿足f(x)＞0，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C. D．(0，＋∞) A　[∵－1＜x＜0，∴0＜x＋1＜1.又∵f(x)＞0，∴0＜2a＜1，∴0＜a＜.] 3．已知a＞0，若函數(shù)f(x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________． 　[要使f(x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上單調(diào)遞增， 則y＝ax2－x在[3,4]上單調(diào)遞增， 且y＝ax2－x＞0恒成立， 即解得a＞.] - 9 -