2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第8節(jié) 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題教學(xué)案 理 北師大版

《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第8節(jié) 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題教學(xué)案 理 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第8節(jié) 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題教學(xué)案 理 北師大版（12頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第八節(jié)概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題最新考綱能從研究對(duì)象中獲取數(shù)據(jù)，會(huì)用數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，構(gòu)建模型等考點(diǎn)1離散型隨機(jī)變量的均值與方差離散型隨機(jī)變量的均值和方差的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨機(jī)變量的分布是特殊類型，還是一般類型，如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布等屬于特殊類型；二是定性，對(duì)于特殊類型的均值和方差可以直接代入相應(yīng)公式求解，而對(duì)于一般類型的隨機(jī)變量，應(yīng)先求其分布列然后代入相應(yīng)公式計(jì)算，注意離散型隨機(jī)變量的取值與概率的對(duì)應(yīng)(2019廣州一模)某商場(chǎng)以分期付款方式銷售某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客購(gòu)買(mǎi)該商品選擇分期付款的期數(shù)的分布列為234P0.4ab其中0a1,0b1.

2、(1)求購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率；(2)商場(chǎng)銷售一件該商品，若顧客選擇分2期付款，則商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)為200元；若顧客選擇分3期付款，則商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)為250元；若顧客選擇分4期付款，則商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)為300元商場(chǎng)銷售兩件該商品所獲得的利潤(rùn)記為X(單位：元)求X的分布列；若P(X500)0.8，求X的數(shù)學(xué)期望EX的最大值解(1)設(shè)購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數(shù)為，依題意得B(3,0.4)，則P(2)C(0.4)2(10.4)0.288，購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率為0.288.(2)依題意X的取值分別為400,450,500,55

3、0,600，P(X400)0.40.40.16，P(X450)20.4a0.8a，P(X500)20.4ba20.8ba2，P(X550)2ab，P(X600)b2.X的分布列為：X400450500550600P0.160.8a0.8ba22abb2P(X500)P(X400)P(X450)P(X500)0.160.8(ab)a2，根據(jù)0.4ab1，得ab0.6，b0.6a，P(X500)0.8，0.160.48a20.8，解得a0.4或a0.4，a0，a0.4，b0，0.6a0，解得a0.6，a0.4,0.6)，EX4000.164500.8a500(0.8ba2)1 100ab600b2

4、520100a，當(dāng)a0.4時(shí)，EX的最大值為480，X的數(shù)學(xué)期望EX的最大值為480.本例融概率、分布列、函數(shù)于一體，體現(xiàn)了高考命題的最新動(dòng)向，求解時(shí)可先借助分布列的性質(zhì)及題設(shè)條件“P(X500) 0.8”探求得到參數(shù)a的范圍，然后借助數(shù)學(xué)期望公式建立關(guān)于參數(shù)a的函數(shù)關(guān)系式，并通過(guò)二次函數(shù)求得數(shù)學(xué)期望EX的最大值(2019九江二模)某企業(yè)打算處理一批產(chǎn)品，這些產(chǎn)品每箱100件，以箱為單位銷售已知這批產(chǎn)品中每箱出現(xiàn)的廢品率只有兩種可能10%或者20%，兩種可能對(duì)應(yīng)的概率均為0.5.假設(shè)該產(chǎn)品正品每件市場(chǎng)價(jià)格為100元，廢品不值錢(qián)現(xiàn)處理價(jià)格為每箱8 400元，遇到廢品不予更換以一箱產(chǎn)品中正品的價(jià)格

5、期望值作為決策依據(jù)(1)在不開(kāi)箱檢驗(yàn)的情況下，判斷是否可以購(gòu)買(mǎi)；(2)現(xiàn)允許開(kāi)箱，有放回地隨機(jī)從一箱中抽取2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)若此箱出現(xiàn)的廢品率為20%，記抽到的廢品數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；若已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗(yàn)的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，判斷是否可以購(gòu)買(mǎi)解(1)在不開(kāi)箱檢驗(yàn)的情況下，一箱產(chǎn)品中正品的價(jià)格期望值為：E100(10.2)1000.5100(10.1)1000.58 5008 400，在不開(kāi)箱檢驗(yàn)的情況下，可以購(gòu)買(mǎi)(2)X的可能取值為0,1,2，P(X0)C0200820.64，P(X1)C0210810.32，P(X2)C0820200.04，X的分布列為：X012P0.6

6、40.320.04EX00.6410.3220.040.4.設(shè)事件A：發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗(yàn)的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，則P(A)C0.20.80.5C0.10.90.50.25，一箱產(chǎn)品中，設(shè)正品的價(jià)格的期望值為，則8 000,9 000，事件B1：抽取的廢品率為20%的一箱，則，P(8 000)P(B1|A)0.64，事件B2：抽取的廢品率為10%的一箱，則P(9 000)P(B2|A)0.36，E8 0000.649 0000.368 3608 400，已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗(yàn)的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，不可以購(gòu)買(mǎi)考點(diǎn)2概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用概率與統(tǒng)計(jì)作為考查考生應(yīng)用意識(shí)的重要載體，已成為近幾

7、年高考的一大亮點(diǎn)和熱點(diǎn)它與其他知識(shí)融合、滲透，情境新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)的工具性和交匯性統(tǒng)計(jì)以考查抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本特征數(shù)的計(jì)算為主，概率以考查概率計(jì)算為主，往往和實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，要注意理解實(shí)際問(wèn)題的意義，使之和相應(yīng)的概率計(jì)算對(duì)應(yīng)起來(lái)，只有這樣才能有效地解決問(wèn)題從某技術(shù)公司開(kāi)發(fā)的某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取200件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值(記為Z)，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：(1)公司規(guī)定：當(dāng)Z95時(shí)，產(chǎn)品為正品；當(dāng)Z95時(shí)，產(chǎn)品為次品公司每生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品，若是正品，則盈利90元；若是次品，則虧損30元記為生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品的利潤(rùn)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)由頻率分

8、布直方圖可以認(rèn)為，Z服從正態(tài)分布N(，2)，其中近似為樣本平均數(shù)，2近似為樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)利用該正態(tài)分布，求P(87.8Z112.2)；某客戶從該公司購(gòu)買(mǎi)了500件這種產(chǎn)品，記X表示這500件產(chǎn)品中該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(87.8,112.2)內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)，利用的結(jié)果，求EX.附：12.2.若ZN(，2)，則P(Z)0.682 7，P(2Z2)0.954 5.解(1)由頻率估計(jì)概率，產(chǎn)品為正品的概率為(0.0330.0240.0080.002)100.67，所以隨機(jī)變量的分布列為9030P0.670.33所以E900.67(30)0.3350.4.(2)由頻

9、率分布直方圖知，抽取產(chǎn)品的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為700.02800.09900.221000.331100.241200.081300.02100，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.22020.331020.242020.083020.02150.因?yàn)閆N(100,150)，從而P(87.8Z112.2)P(10012.2Z10012.2)0.682 7.由知，一件產(chǎn)品中該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(87.8,112.2)內(nèi)的概率為0.6827，依題意知XB(500,0.682 7)，所以EX5000.682 7341.35.本題以統(tǒng)計(jì)圖表為載體，將正態(tài)分

10、布、二項(xiàng)分布、頻率分布直方圖巧妙的融合在一起，體現(xiàn)了知識(shí)的整合性與交匯融合性，搞清這些統(tǒng)計(jì)圖表的含義，掌握好樣本特征數(shù)的計(jì)數(shù)方法、各類概率的計(jì)算方法及均值與方差的運(yùn)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品獲得利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損300元根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了130 t該農(nóng)產(chǎn)品以X(單位：t,100X150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，T(單位：元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)(1)將T表示為X的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57 000元的概率；

11、(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：若需求量X100,110)，則取X105，且X105的概率等于需求量落入100,110)的頻率)，求T的均值解(1)當(dāng)X100,130)時(shí)，T500X300(130X)800X39 000.當(dāng)X130,150時(shí)，T50013065 000.所以T(2)由(1)知利潤(rùn)T不少于57 000元當(dāng)且僅當(dāng)120X150.由直方圖知需求量X120,150的頻率為0.7，所以下一個(gè)銷售季度內(nèi)的利潤(rùn)T不少于57 000元的概率的估計(jì)值為0.7.(3)依題意可得T的分布列為T(mén)45 000

12、53 00061 00065 000P0.10.20.30.4所以ET45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400.考點(diǎn)3概率與統(tǒng)計(jì)案例的綜合應(yīng)用概率與統(tǒng)計(jì)案例的綜合應(yīng)用常涉及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、頻率分布直方圖的識(shí)別與應(yīng)用、數(shù)字特征、獨(dú)立性檢驗(yàn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的閱讀理解能力、數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力及應(yīng)用意識(shí) (2019武漢二模)某市房管局為了了解該市市民2018年1月至2019年1月期間購(gòu)買(mǎi)二手房情況，首先隨機(jī)抽樣其中200名購(gòu)房者，并對(duì)其購(gòu)房面積m(單位：平方米，60m130)進(jìn)行了一次調(diào)查統(tǒng)計(jì)，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖，接著調(diào)

13、查了該市2018年1月至2019年1月期間當(dāng)月在售二手房均價(jià)y(單位：萬(wàn)元/平方米)，制成了如圖2所示的散點(diǎn)圖(圖中月份代碼113分別對(duì)應(yīng)2018年1月至2019年1月)圖1圖2(1)試估計(jì)該市市民的平均購(gòu)房面積；(2)從該市2018年1月至2019年1月期間所有購(gòu)買(mǎi)二手房的市民中任取3人，用頻率估計(jì)概率，記這3人購(gòu)房面積不低于100平方米的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)根據(jù)散點(diǎn)圖選擇和ln x兩個(gè)模型進(jìn)行擬合，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理得到兩個(gè)回歸方程，分別為0.936 90.028 5和0.955 40.030 6ln x，并得到一些統(tǒng)計(jì)量的值，如表所示：0.936 90.028 50.955

14、 40.030 61ln x (yii)20.000 5910.000 164 (yi)20.006 050請(qǐng)利用相關(guān)指數(shù)R2判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好，并用擬合效果更好的模型預(yù)測(cè)2019年6月份的二手房購(gòu)房均價(jià)(精確到0.001)參考數(shù)據(jù)：ln 20.69，ln 31.10，ln 72.83，ln 192.94，1.41，1.73，4.12，4.36.參考公式：R21.解(1)650.05750.1850.2950.251050.21150.151250.0596.(2)每一位市民購(gòu)房面積不低于100平方米的概率為0.200.150.050.4，XB(3,0.4)，P(Xk)C04k063k

15、，(k0,1,2,3)，P(X0)0.630.216，P(X1)C0.40620.432，P(X2)C0420.60.288，P(X3)0.430.064，X的分布列為：X 0 1 23P 0.216 0.432 0.288 0.064EX30.41.2.(3)設(shè)模型0.936 90.028 5和0.955 40.030 6ln x的相關(guān)指數(shù)分別為R，R，則R 1，R 1，R 6.635，所以有99%的把握認(rèn)為是否為“文科意向”與性別有關(guān)(2)易知從該校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，則該人為“文科意向”的概率為P.依題意知B，所以P(i)Ci3i(i0,1,2,3)，所以的分布列為0123P所以期望Enp，方差Dnp(1p).評(píng)析此類題目雖然涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，但每個(gè)知識(shí)點(diǎn)考查程度相對(duì)較淺，考查深度有限，所以解決此類問(wèn)題，最主要的是正確掌握概率與統(tǒng)計(jì)案例的基本知識(shí)，并能對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有效的融合，把統(tǒng)計(jì)圖表中的量轉(zhuǎn)化為概率及分布列求解中的有用的量是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵所在.12