2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第8節(jié) 概率與統(tǒng)計的綜合問題教學(xué)案 理 北師大版

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1、第八節(jié)　概率與統(tǒng)計的綜合問題 [最新考綱]　能從研究對象中獲取數(shù)據(jù)，會用數(shù)學(xué)方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，構(gòu)建模型等． 考點1　離散型隨機(jī)變量的均值與方差 　離散型隨機(jī)變量的均值和方差的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨機(jī)變量的分布是特殊類型，還是一般類型，如兩點分布、二項分布、超幾何分布等屬于特殊類型；二是定性，對于特殊類型的均值和方差可以直接代入相應(yīng)公式求解，而對于一般類型的隨機(jī)變量，應(yīng)先求其分布列然后代入相應(yīng)公式計算，注意離散型隨機(jī)變量的取值與概率的對應(yīng)． 　(2019·廣州一模)某商場以分期付款方式銷售某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客購買該商品選擇分期付款的期數(shù)ξ的分

2、布列為 ξ 2 3 4 P 0.4 a b 其中0＜a＜1,0＜b＜1. (1)求購買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率； (2)商場銷售一件該商品，若顧客選擇分2期付款，則商場獲得的利潤為200元；若顧客選擇分3期付款，則商場獲得的利潤為250元；若顧客選擇分4期付款，則商場獲得的利潤為300元．商場銷售兩件該商品所獲得的利潤記為X(單位：元)． ①求X的分布列； ②若P(X≤500)≥0.8，求X的數(shù)學(xué)期望EX的最大值． [解]　(1)設(shè)購買該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數(shù)為η，依題意得η～B(3,0.4)， 則P(η＝2)＝C(0.4)

3、2×(1－0.4)＝0.288， ∴購買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率為0.288. (2)①依題意X的取值分別為400,450,500,550,600， P(X＝400)＝0.4×0.4＝0.16， P(X＝450)＝2×0.4a＝0.8a， P(X＝500)＝2×0.4b＋a2＝0.8b＋a2， P(X＝550)＝2ab， P(X＝600)＝b2. ∴X的分布列為： X 400 450 500 550 600 P 0.16 0.8a 0.8b＋a2 2ab b2 ②P(X≤500)＝P(X＋400)＋P(X＝450)＋P(X＝50

4、0) ＝0.16＋0.8(a＋b)＋a2， 根據(jù)0.4＋a＋b＝1，得a＋b＝0.6，∴b＝0.6－a， ∵P(X≤500)≥0.8，∴0.16＋0.48＋a2≥0.8， 解得a≥0.4或a≤－0.4，∵a＞0，∴a≥0.4， ∵b＞0，∴0.6－a＞0，解得a＜0.6， ∴a∈[0.4,0.6)， EX＝400×0.16＋450×0.8a＋500(0.8b＋a2)＋1 100ab＋600b2＝520－100a， 當(dāng)a＝0.4時，EX的最大值為480， ∴X的數(shù)學(xué)期望EX的最大值為480. 　本例融概率、分布列、函數(shù)于一體，體現(xiàn)了高考命題的最新動向，求解時可先借助分布列的性

5、質(zhì)及題設(shè)條件“P(X≤500) ≥0.8”探求得到參數(shù)a的范圍，然后借助數(shù)學(xué)期望公式建立關(guān)于參數(shù)a的函數(shù)關(guān)系式，并通過二次函數(shù)求得數(shù)學(xué)期望EX的最大值． 　(2019·九江二模)某企業(yè)打算處理一批產(chǎn)品，這些產(chǎn)品每箱100件，以箱為單位銷售．已知這批產(chǎn)品中每箱出現(xiàn)的廢品率只有兩種可能10%或者20%，兩種可能對應(yīng)的概率均為0.5.假設(shè)該產(chǎn)品正品每件市場價格為100元，廢品不值錢．現(xiàn)處理價格為每箱8 400元，遇到廢品不予更換．以一箱產(chǎn)品中正品的價格期望值作為決策依據(jù)． (1)在不開箱檢驗的情況下，判斷是否可以購買； (2)現(xiàn)允許開箱，有放回地隨機(jī)從一箱中抽取2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗． ①若此箱出

6、現(xiàn)的廢品率為20%，記抽到的廢品數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望； ②若已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，判斷是否可以購買． [解]　(1)在不開箱檢驗的情況下，一箱產(chǎn)品中正品的價格期望值為： Eξ＝100×(1－0.2)×100×0.5＋100×(1－0.1)×100×0.5＝8 500＞8 400， ∴在不開箱檢驗的情況下，可以購買． (2)①X的可能取值為0,1,2， P(X＝0)＝C×0·20×0·82＝0.64， P(X＝1)＝C×0·21×0·81＝0.32， P(X＝2)＝C×0·82×0·20＝0.04， ∴X的分布列為： X 0 1 2

7、 P 0.64 0.32 0.04 EX＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4. ②設(shè)事件A：發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，則 P(A)＝C×0.2×0.8×0.5＋C×0.1×0.9×0.5＝0.25， 一箱產(chǎn)品中，設(shè)正品的價格的期望值為η，則η＝8 000,9 000， 事件B1：抽取的廢品率為20%的一箱，則， P(η＝8 000)＝P(B1|A)＝＝＝0.64， 事件B2：抽取的廢品率為10%的一箱，則 P(η＝9 000)＝P(B2|A)＝＝＝0.36， ∴Eη＝8 000×0.64＋9 000×0.36＝8 360＜8 400

8、， ∴已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，不可以購買． 考點2　概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用 　概率與統(tǒng)計作為考查考生應(yīng)用意識的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點和熱點．它與其他知識融合、滲透，情境新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計的工具性和交匯性．統(tǒng)計以考查抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本特征數(shù)的計算為主，概率以考查概率計算為主，往往和實際問題相結(jié)合，要注意理解實際問題的意義，使之和相應(yīng)的概率計算對應(yīng)起來，只有這樣才能有效地解決問題． 　從某技術(shù)公司開發(fā)的某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取200件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值(記為Z)，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖： (1)公司規(guī)定：當(dāng)Z≥

9、95時，產(chǎn)品為正品；當(dāng)Z<95時，產(chǎn)品為次品．公司每生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品，若是正品，則盈利90元；若是次品，則虧損30元．記ξ為生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品的利潤，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望； (2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)． ①利用該正態(tài)分布，求P(87.8

10、Z<μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ

11、0)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150. ①因為Z～N(100,150)， 從而P(87.8

12、數(shù)方法、各類概率的計算方法及均值與方差的運算是解決問題的關(guān)鍵． 　經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品獲得利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進(jìn)了130 t該農(nóng)產(chǎn)品．以X(單位：t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤． (1)將T表示為X的函數(shù)； (2)根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57 000元的概率； (3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，需求量落入該區(qū)間的頻

13、率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，則取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率)，求T的均值． [解]　(1)當(dāng)X∈[100,130)時， T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000. 當(dāng)X∈[130,150]時，T＝500×130＝65 000. 所以T＝ (2)由(1)知利潤T不少于57 000元當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150. 由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57 000元的概率的估計值為0.7. (3)依題意可得T的分布列為 T 45

14、000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400. 考點3　概率與統(tǒng)計案例的綜合應(yīng)用 　概率與統(tǒng)計案例的綜合應(yīng)用常涉及相互獨立事件同時發(fā)生的概率、頻率分布直方圖的識別與應(yīng)用、數(shù)字特征、獨立性檢驗等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的閱讀理解能力、數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力及應(yīng)用意識． 　 (2019·武漢二模)某市房管局為了了解該市市民2018年1月至2019年1月期間購買二手房情況，首先隨機(jī)抽樣其中200名購房者，并對其購房面積m(單位

15、：平方米，60≤m≤130)進(jìn)行了一次調(diào)查統(tǒng)計，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖，接著調(diào)查了該市2018年1月至2019年1月期間當(dāng)月在售二手房均價y(單位：萬元/平方米)，制成了如圖2所示的散點圖(圖中月份代碼1－13分別對應(yīng)2018年1月至2019年1月) 圖1 圖2 (1)試估計該市市民的平均購房面積； (2)從該市2018年1月至2019年1月期間所有購買二手房的市民中任取3人，用頻率估計概率，記這3人購房面積不低于100平方米的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望； (3)根據(jù)散點圖選擇＝＋和＝＋ln x兩個模型進(jìn)行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個回歸方程，分別為＝0.936

16、 9＋0.028 5和＝0.955 4＋0.030 6ln x，并得到一些統(tǒng)計量的值，如表所示： ＝0.936 9＋ 0.028 5 ＝0.955 4＋ 0.030 61ln x (yi－i)2 0.000 591 0.000 164 (yi－)2 0.006 050 請利用相關(guān)指數(shù)R2判斷哪個模型的擬合效果更好，并用擬合效果更好的模型預(yù)測2019年6月份的二手房購房均價(精確到0.001)． 參考數(shù)據(jù)：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 7≈2.83，ln 19≈2.94，≈1.41，≈1.73，≈4.12，≈4.36. 參考公式：R2＝1－. [

17、解]　(1)＝65×0.05＋75×0.1＋85×0.2＋95×0.25＋105×0.2＋115×0.15＋125×0.05＝96. (2)每一位市民購房面積不低于100平方米的概率為0.20＋0.15＋0.05＝0.4， ∴X～B(3,0.4)， ∴P(X＝k)＝C×0·4k×0·63－k，(k＝0,1,2,3)， P(X＝0)＝0.63＝0.216， P(X＝1)＝C×0.4×0·62＝0.432， P(X＝2)＝C×0·42×0.6＝0.288， P(X＝3)＝0.43＝0.064， ∴X的分布列為： X 0 1 2 3 P 0.216 0.43

18、2 0.288 0.064 ∴EX＝3×0.4＝1.2. (3)設(shè)模型＝0.936 9＋0.028 5和＝0.955 4＋0.030 6ln x的相關(guān)指數(shù)分別為R，R， 則R ＝ 1－，R ＝ 1－， ∴R < R， ∴模型＝0.955 4＋0.030 6ln x的擬合效果更好， 2019年6月份對應(yīng)的x＝18， ∴＝0.955 4＋0.030 6ln18＝0.955 4＋0.030 6(ln 2＋2ln 3)≈1.044萬元/平方米． 　在兩個變量的回歸分析中要注意以下2點 (1)求回歸直線方程要充分利用已知數(shù)據(jù)，合理利用公式減少運算． (2)借助散點圖，觀察兩個

19、變量之間的關(guān)系．若不是線性關(guān)系，則需要根據(jù)相關(guān)知識轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系． 　(2019·鐵東區(qū)校級三模)一家大型超市委托某機(jī)構(gòu)調(diào)查該超市的顧客使用移動支付的情況．調(diào)查人員從年齡在20至60的顧客中，隨機(jī)抽取了200人，調(diào)查結(jié)果如圖： (1)為推廣移動支付，超市準(zhǔn)備對使用移動支付的每位顧客贈送1個環(huán)保購物袋．若某日該超市預(yù)計有10000人購物，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)估計，該超市當(dāng)天應(yīng)準(zhǔn)備多少個環(huán)保購物袋？ (2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為使用移動支付與年齡有關(guān)？ 年齡＜40 年齡≥40 小計 使用移動支付 不使用移動支付 小計

20、 200 (3)現(xiàn)從該超市這200位顧客年齡在[55,60]的人中，隨機(jī)抽取2人，記這兩人中使用移動支付的顧客為X人，求X的分布列． 附：χ2＝ P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 [解]　(1)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，由頻率估計概率，根據(jù)已知可預(yù)計該超市顧客使用移動支付的概率為： ＝， 所以超市當(dāng)天應(yīng)準(zhǔn)備的環(huán)保購物袋個數(shù)為：10 000×＝6 250. (2)由(1)知列聯(lián)表為： 年齡＜40 年齡≥40 小計 使用移動支付 85 40 125 不使用移動支付

21、 10 65 75 小計 95 105 200 假設(shè)移動支付與年齡無關(guān)，則 χ2＝≈56.17， ∵56.17＞10.828，所以有99.9%的把握認(rèn)為使用移動支付與年齡有關(guān)． (3)X可能取值為0,1,2， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列為： X 0 1 2 P 課外素養(yǎng)提升⑩　數(shù)據(jù)分析——數(shù)據(jù)統(tǒng)計與建模求解 數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)中的有用信息進(jìn)行分析和推斷，形成知識的過程．主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型對信息進(jìn)行分析、推斷，獲得結(jié)論．在

22、數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的形成過程中，學(xué)生能夠提升數(shù)據(jù)處理的能力，增強(qiáng)基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實問題的意識，養(yǎng)成通過數(shù)據(jù)思考問題的習(xí)慣，積極依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動經(jīng)驗． 概率與頻率分布的綜合應(yīng)用 【例1】　(2019·濟(jì)寧一模)某學(xué)校為了了解全校學(xué)生的體重情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人的體重數(shù)據(jù)，結(jié)果這100人的體重全部介于45公斤到75公斤之間，現(xiàn)將結(jié)果按如下方式分為6組：第一組[45,50)，第二組[50,55)，…，第六組[70,75)，得到如圖(1)所示的頻率分布直方圖，并發(fā)現(xiàn)這100人中，其體重低于55公斤的有15人，這15人體重數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖(2)所示，以樣本的頻率作

23、為總體的概率． 圖(1)　　　　　　　　　　圖(2) (1)求頻率分布直方圖中a，b，c的值； (2)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，記X為體重在[55,65)的人數(shù)，求X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望； (3)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，該校學(xué)生的體重ξ近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ＝60，σ2＝25.若P(μ－2σ≤ξ＜μ＋2σ)＞0.9545，則認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的．試判斷該校學(xué)生的體重是否正常？并說明理由． [解]　(1)由題圖(2)知，100名樣本中體重低于50公斤的有2人， 用樣本的頻率估計總體的概率，可得體重低于50公斤的概率為＝0.02，則a＝＝0.004，

24、 在[50,55)上有13人，該組的頻率為0.13，則b＝＝0.026， 所以2c＝＝0.14，即c＝0.07. (2)用樣本的頻率估計總體的概率，可知從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，體重在[55,65)的概率為0.07×10＝0.7，隨機(jī)抽取3人，相當(dāng)于三次獨立重復(fù)試驗，隨機(jī)變量X服從二項分布B(3,0.7)， 則P(X＝0)＝C0.700.33＝0.027， P(X＝1)＝C0.710.32＝0.189， P(X＝2)＝C0.720.31＝0.441， P(X＝3)＝C0.730.30＝0.343， 所以，X的概率分布列為： X 0 1 2 3 P 0.027 0.

25、189 0.441 0.343 EX＝3×0.7＝2.1. (3)由N(60,25)得σ＝5 由圖(2)知P(μ－2σ≤ξ＜μ＋2σ)＝P(50≤ξ＜70)＝0.96＞0.954 5.所以可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的． [評析]　本題以學(xué)生體重情況為背景，設(shè)計概率與統(tǒng)計、正態(tài)分布的綜合應(yīng)用．體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模(用頻率估計概率、正態(tài)分布)、數(shù)學(xué)運算(求平均數(shù)、方差、求概率)、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理(以直方圖中求平均數(shù)方差，由正態(tài)分布求概率及期望)的學(xué)科素養(yǎng)；培養(yǎng)了統(tǒng)計意識，經(jīng)歷“收集數(shù)據(jù)—整理數(shù)據(jù)—分析數(shù)據(jù)—作出推斷”的全過程． 概率與統(tǒng)計案例的綜合 【例2】　為了解當(dāng)代中學(xué)生喜歡

26、文科、理科的情況，某中學(xué)一課外活動小組在學(xué)校高一年級文、理分科時進(jìn)行了問卷調(diào)查，問卷共100道題，每題1分，總分100分，該課外活動小組隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的問卷成績(單位：分)進(jìn)行統(tǒng)計，將數(shù)據(jù)按照[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于60分的稱為“文科意向”學(xué)生，低于60分的稱為“理科意向”學(xué)生． (1)根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為是否為“文科意向”與性別有關(guān)？ 理科意向 文科意向 總計 男 110 女 50 總計

27、 (2)將頻率視為概率，現(xiàn)在從該校高一學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“文科意向”的人數(shù)為ξ，若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求ξ的分布列、期望Eξ和方差Dξ. 參考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 參考臨界值： P(χ2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 [解]　(1)由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在[60,80)之間的學(xué)生人數(shù)為0.012 5×20×200＝50，在[80,100]之間的學(xué)生人數(shù)為0.

28、007 5×20×200＝30，所以低于60分的學(xué)生人數(shù)為120.因此列聯(lián)表為 理科意向 文科意向 總計 男 80 30 110 女 40 50 90 總計 120 80 200 又χ2＝≈16.498>6.635， 所以有99%的把握認(rèn)為是否為“文科意向”與性別有關(guān)． (2)易知從該校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，則該人為“文科意向”的概率為P＝＝. 依題意知ξ～B， 所以P(ξ＝i)＝Ci3－i(i＝0,1,2,3)， 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 所以期望Eξ＝np＝，方差Dξ＝np(1－p)＝. [評析]　此類題目雖然涉及的知識點較多，但每個知識點考查程度相對較淺，考查深度有限，所以解決此類問題，最主要的是正確掌握概率與統(tǒng)計案例的基本知識，并能對這些知識點進(jìn)行有效的融合，把統(tǒng)計圖表中的量轉(zhuǎn)化為概率及分布列求解中的有用的量是解決此類問題的關(guān)鍵所在. 12