2022年高三數(shù)學 專題8 等差數(shù)列、等比數(shù)列練習

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1、2022年高三數(shù)學 專題8 等差數(shù)列、等比數(shù)列練習 一、課前測試 1．(1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝4，an＝4－(n∈N*且n≥2)，令bn＝，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列． 提示：用等差數(shù)列的定義來證，即證bn－bn－1＝(常數(shù)) (2)數(shù)列{an}前n項和為Sn，若an＋Sn＝n，令bn＝an－1，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列. 提示：先利用數(shù)列的前n項和與通項an之間的關(guān)系,找到數(shù)列的遞推關(guān)系；再用等比數(shù)列的定義來證． 即由an＋Sn＝n，得an－1＋Sn－1＝n－1，兩式相減得2an－an－1＝1即2bn＝bn－1． 從而有＝(常數(shù)) 2．已知數(shù)列{an}滿足an＝

2、2an－1＋2n＋1(n∈N*且n≥2)，a1＝2，令bn＝(an＋t) (n∈N*)，否存在一個實數(shù)t，使得數(shù)列{bn}為等差數(shù)列？若存在，求出實數(shù)；若不存在，請說明理由． 答案：存在實數(shù)t＝1，使得數(shù)列{bn}為等差數(shù)列． 3．(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S3與S4的等差中項為1，而S3與S4的等比中項是S5， 則an＝ ． (2)已知在等比數(shù)列{an}中，a3＝2，a2＋a4＝，則an＝ ． 答案：(1)an＝1或an＝－n＋； (2) an＝2×3n－3或an＝2×()n－3． 4． (1)設(shè)在等比數(shù)列{an}中，a1＋a

3、n＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求＝ ；＝ ． (2)若兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項之和分別是Sn、Tn，已知＝，則＝ ． (3)已知一個等比數(shù)列的前10項和為10，前20項和為30，則前50項的和為 ． 答案：(1)n＝6， q＝2或；(2)；(3)310． 5． (1)已知{an}是等差數(shù)列，若a1＝20，公差d＝－2，求數(shù)列前n項和Sn的最大值． (2)已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，則下列結(jié)論正確的是 ． ①d＜0 ；②a7＝0；③S9＞S5；

4、④S6和S7均為Sn的最大值. 答案：(1)當且僅當n＝10或11時，Sn取得最大值110． (2)①②④ 二、方法聯(lián)想 1．等差、等比數(shù)列的證明 方法 證明數(shù)列是等差數(shù)列： 方法1 定義法，即當n∈N*時，an＋1－an為同一常數(shù)． 方法2 中項公式法，即當n∈N*時，2an＋1＝an＋an＋2均成立，其推廣形式為：2an＝an－m＋an＋m． 方法 證明數(shù)列是等比數(shù)列： 方法1 定義法，即當n∈N*時，為同一常數(shù)． 方法2 中項公式法，即當n∈N*時，an＋12＝anan＋2均成立，其推廣形式為： an2＝an－m＋an＋m． 2．等差、等比數(shù)列的判斷

5、 判斷數(shù)列是等差數(shù)列 方法1 定義法，即當n≥1且n∈N*時，an＋1－an為同一常數(shù)． 方法2 中項公式法，即當n≥1且n∈N*時，2an＋1＝an＋an＋2均成立． 方法3 特殊值法，如前3項成等差，再證明其對任意n∈N*成等差數(shù)列． 方法4 通項為一次形式，即an＝an＋b． 方法5 前n項和為不含常數(shù)項的二次形式，即Sn＝an2＋bn． 方法6 若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則{logaan}為等差數(shù)列． 注意 方法4、5、6只能做為判斷，作為解答題需要證明． 判斷數(shù)列不是等差數(shù)列 方法 通常用特殊值法，如取連續(xù)3項驗證不成等差數(shù)列． 判斷數(shù)列是

6、等比數(shù)列 方法1 定義法，即當n∈N*時，為同一常數(shù)． 方法2 中項公式法，即當n∈N*時， an＋12＝anan＋2均成立． 方法3 特殊值法，如前3項成等比，再證明其對任意n∈N*成等比數(shù)列． 方法4 通項公式為指數(shù)冪形式，即an＝aqn． 方法5 若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則{aan}為等比數(shù)列． 注意 方法4、5只能做為判斷，作為解答題需要證明． 判斷數(shù)列不是等比數(shù)列 方法 通常用特殊值法，如取連續(xù)3項驗證不成等比數(shù)列． 3．基本量運算 基本量法：等差、等比數(shù)列中，五個元素a，q，n，an，Sn中四個量可以建立關(guān)系式，如知三求二．

7、 4．性質(zhì)的應用 方法 (1)在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q則am＋an＝ap＋aq．特別若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap． 在等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q則aman＝apaq．特別若m＋n＝2p，則am＋an＝ap2． (2) 在等差數(shù)列{an}中，由Sn＝得，若n為奇數(shù)，則Sn＝na． 方法 在等差數(shù)列{an}中，Sn，S2n －Sn，S3n －S2n成等差數(shù)列． 在等比數(shù)列{an}中，Sn，S2n －Sn，S3n －S2n成等差數(shù)列． 5．等差數(shù)列Sn的最值問題 方法 在等差數(shù)列{ an }中Sn 的最值問題： 方法1：(1)當a1＞0

8、，d＜0時，滿足的項數(shù)m使得Sm取最大值. (2)當a1＜0，d＞0時，滿足的項數(shù)m使得Sm取最小值， 方法2：由Sn 的解析式，結(jié)合二次函數(shù)圖象分析． 三、例題分析 【第一層次】 例1 已知等差數(shù)列{an}中，公差d＞0，其前n項和為Sn，且滿足a2a3＝45，S4＝28． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)由bn＝ (c≠0)構(gòu)成的新數(shù)列{bn}，求證：當且僅當c＝－時，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列； (3)對于(2)中的等差數(shù)列{bn}，設(shè)cn＝（n∈N*），數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，現(xiàn)有數(shù)列 {f(n)}，f(n)＝－Tn（n∈N*

9、），求證：存在整數(shù)M，使f(n)≤M對一切n∈N*都成立，并求出M的最小值． 解：(1) an＝4n－3． (3)整數(shù)M≥2，所以M的最小值為2． 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法： 1．求數(shù)列的通項： 方法:①利用數(shù)列的通項an與前n和Sn的關(guān)系，在已知Sn條件下求通項an． ②利用等差(比)數(shù)列的通項公式，求通項； ③構(gòu)造等差(比)數(shù)列求通項； ④用累加(乘)法求通項． 2．證明數(shù)列是等差數(shù)列： 方法：①利用定義：an＋1－an＝d(常數(shù))；②等差中項：2an＝an－1＋an＋1 (n≥2，n∈N*)． 3．數(shù)列求和問題： 方法：①利用等差(比)數(shù)列前

10、n和公式求和；②分部求和；③錯位相減法； ④裂項求和． 4．求數(shù)列的最大項問題：方法①變量分離求數(shù)列的最大項與最小項；②利用數(shù)列與函數(shù)之間的特殊關(guān)系，將數(shù)列單調(diào)性轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性，求最大項，但要注意通項中n的取值范圍． (2)方法選擇與優(yōu)化建議： 對于問題1，學生一般會選擇方法②，因為本題的數(shù)列是等差數(shù)列，所以選擇方法②． 對于問題2，學生一般會選擇方法①，因為本題可以求出數(shù)列{bn}的通項，所以選擇方法①． 對于問題3，學生一般會選擇④，因為數(shù)列的通項是分式形式，所以選擇方法④． 對于問題4，學生一般會選擇②，因為f(n)所對應的函數(shù)是基本函數(shù)，比較容易得到

11、函數(shù)的單調(diào)性， 所以選擇方法④． 例2 已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且an＝Sn－1＋1(n≥2)，a1＝2． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)對于給定的k (k＝1，2，…，n)．設(shè)T(k)表示首項為ak，公差為2ak－1的等差數(shù)列，求數(shù)列T(2)的前10項之和； (3)設(shè)bi為數(shù)列T(i)的第i項，Mn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，求Mn． 解：(1) an＝． (2) T(2)的前10項之和＝10×3＋×5＝255． (3) Mn＝ 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法： 1．求數(shù)列的通項： 方法: ①利用數(shù)列的通項an與前n

12、和Sn的關(guān)系，在已知Sn條件下求通項an． ②利用等差(比)數(shù)列的通項公式，求通項； ③構(gòu)造等差(比)數(shù)列求通項； ④用累加(乘)法求通項． 2．數(shù)列求和問題： 方法：①利用等差(比)數(shù)列前n和公式求和；②分部求和；③錯位相減法； ④裂項求和． (2)方法選擇與優(yōu)化建議： 對于問題1，學生一般會選擇②，因為本題中給出數(shù)列通項an與Sn之間的關(guān)系， 可以通過公式轉(zhuǎn)化為數(shù)列的遞推關(guān)系，由于遞推關(guān)系可以很容易判定數(shù)列是否為等差數(shù)列，本題中的數(shù)列從第2項起是等差數(shù)列，所以選擇方法②． 對于問題2，學生一般會選擇①③，因為數(shù)列T(i)是等差數(shù)列，所以選擇方法①，數(shù)列{Mn}的通項是由

13、一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列相應項相乘所成的，所以選擇方法③． 例3 已知無窮數(shù)列{an}中，a1，a2，…，am是首項為10，公差為－2的等差數(shù)列；am＋1，am＋2，…，a2m是首項為，公比為的等比數(shù)列（其中 m≥3，m∈N*），并對任意的n∈N*，均有an＋2m＝an成立． （1）當m＝12時，求axx； （2）若a52＝，試求m的值； （3）判斷是否存在m（m≥3，m∈N*），使得S128m＋3≥xx成立？若存在，試求出m的值；若不存在，請說明理由． 解：（1）axx＝a18＝a12＋6＝()6＝． （2）m＝45，或15，或9． （3）當m＝6時，S2m取得最大值，

14、則S128m＋3取得最大值為64×30＋24＝xx． 由此可知，不存在m（m≥3，m∈N*），使得S128m＋3≥xx成立． 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法： 1．求周期數(shù)列的項： 方法: ①找出數(shù)列在一個周期內(nèi)的通項公式，根據(jù)數(shù)列的周期，求數(shù)列中任意一項． ②找出數(shù)列的項在第幾個周期內(nèi)，根據(jù)數(shù)列在一個周期內(nèi)特征來歸納通項． 2．求周期數(shù)列的前n項和問題： 方法: ① 先求出數(shù)列在一個周期內(nèi)的和，根據(jù)數(shù)列的周期確定前n項中，共含有幾個周期，還剩下多項，再考慮求和． 3．條件探索性問題： 方法: ①利用分析法，從結(jié)論和已知條件入手，執(zhí)果索因，導出所需條件

15、； ②從特例出發(fā)，探求結(jié)論成立的條件，再進行證明． (2)方法選擇與優(yōu)化建議： 對于問題1，由于數(shù)列在一個周期性的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列構(gòu)成，數(shù)列的周期已知，所以很容易找出axx＝a18，而a18是等比數(shù)列的第6項，由等比數(shù)列的通項公式可求． 主要是搞清楚數(shù)列在一個周期內(nèi)的和，以及所求的和包含多少個周期，還剩多少項． 對于問題2，學生一般會選擇方法①，本題中S128m＋3能求出，所以用方法①． [第二層次] 例1 已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足：a2＋a4＝14，S7＝70. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (

16、2)設(shè)bn＝，數(shù)列{bn}的最小項是第幾項，并求出該項的值． 解：(1) an＝3n－2. (2)數(shù)列{bn}的最小項是第4項，該項的值為23. 〖教學建議〗 (1) 主要問題歸類與方法： 1．求數(shù)列的通項：方法①利用等差(比)數(shù)列的通項公式；②構(gòu)造等差(比)數(shù)列；③由Sn與an的關(guān)系求通項；④用不完全歸納法，猜想數(shù)列的通項，再證明． 2．求數(shù)列的最大項問題：①將數(shù)列的通項看作是n的函數(shù)，通過討論相應函數(shù)的單調(diào)性來求最值；②考察數(shù)列的單調(diào)性，求最大項；③利用基本不等式求最值． (2)方法選擇與優(yōu)化建議： 對于問題1，學生一般會選擇方法①，因為本題已知數(shù)列是等差數(shù)列，所以選擇

17、方法①． 對于問題2，學生一般會選擇③，因為本題中bn＝3n＋－1便于用基本不等式求最值，但要注意這里n必須取正整數(shù)，所以選擇方法③． 例2 已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，且滿足：a2a4＝65，a1＋a5＝18． (1)求數(shù)列{an}的通項公式an； (2)若1＜i＜21，a1，ai，a21是某等比數(shù)列的連續(xù)三項，求i值； (3)是否存在常數(shù)k，使得數(shù)列{}為等差數(shù)列，若存在，求出常數(shù)k；若不存在，請說明理由． 解: (1) an＝4n－3. (2) i＝3． (3)由(1)知，Sn＝2n2－n． 假設(shè)存在常數(shù)k，使數(shù)列{}為等差數(shù)列， 【法一】

18、由＋＝2，得k＝1, 當k＝1時，＝n，易知數(shù)列{}為等差數(shù)列． 【法二】假設(shè)存在常數(shù)k，使數(shù)列{}為等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項公式可知 設(shè)＝an＋b， 得2n2＋(k－1)n＝(an)2＋2abn＋b2恒成立， 可得a2＝2，2ab＝k－1，b2＝0，∴a2＝2，b＝0，k＝1 ∴＝n，易知數(shù)列{}為等差數(shù)列． 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法： 1．等差(比)數(shù)列基本量的計算： 方法: ①利用等差(比)數(shù)列的通項公式與前n項和公式，求基本量a1與d(q)，再用上述公式求數(shù)列中某項，某項數(shù)與某些項的和． ②利用等差(比)數(shù)列的性質(zhì)，把條件簡化

19、后再用通項公式各前n項和公式求基本量； 2．條件探索性問題： 方法: ①利用分析法，從結(jié)論和已知條件入手，執(zhí)果索因，導出所需條件； ②從特例出發(fā)，探求結(jié)論成立的條件，再進行證明． (2)方法選擇與優(yōu)化建議： 對于問題1，一般優(yōu)先考慮方法②，如沒性質(zhì)可用，就用方法①，本題先用性質(zhì)簡化后，先求出a2和a4，再求d，然后用an＝a2＋(n－2)d，求通項，當然本題用方法①也很簡單． 對于問題2，學生一般會選擇方法②，由特例求k的值比較方便，所以用方法②． 例3 已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且an＝Sn－1＋2 (n≥2)，a1＝2．

20、 (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)對于給定的k (k＝1，2，…，n)．設(shè)T(k)表示首項為ak，公差為2ak－1的等差數(shù)列，求數(shù)列T(2)的前10項之和； (3)設(shè)bi為數(shù)列T(i)的第i項，Mn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，求Mn． 解：(1) an＝2n． (2) T(2)的前10項之和為355． (3) Mn＝(2n－3) ×2n＋1＋6－． 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法： 1．求數(shù)列的通項： 方法: ①利用數(shù)列的通項an與前n和Sn的關(guān)系，在已知Sn條件下求通項an． ②利用等差(比)數(shù)列的通項公式，求通項； ③構(gòu)造等差(比)數(shù)列求

21、通項； ④用累加(乘)法求通項． 2．數(shù)列求和問題： 方法：①利用等差(比)數(shù)列前n和公式求和；②分部求和；③錯位相減法； ④裂項求和． (2)方法選擇與優(yōu)化建議： 對于問題1，學生一般會選擇②，因為本題中給出數(shù)列通項an與Sn之間的關(guān)系， 可以通過公式轉(zhuǎn)化為數(shù)列的遞推關(guān)系，由于遞推關(guān)系可以很容易判定數(shù)列為等差數(shù)列，所以選擇方法②． 對于問題2，學生一般會選擇①③，因為數(shù)列T(i)是等差數(shù)列，所以選擇方法①，數(shù)列{Mn}的通項是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列相應項相乘所成的，所以選擇方法③． [第三層次] 例1 已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足：a2＋a4＝14

22、，S7＝70. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝，數(shù)列{bn}的最小項是第幾項，并求出該項的值． 解 (1) an＝3n－2. (2)數(shù)列{bn}的最小項是第4項，該項的值為23. 〖教學建議〗 (1) 主要問題歸類與方法： 1．求數(shù)列的通項：方法①利用等差(比)數(shù)列的通項公式；②構(gòu)造等差(比)數(shù)列；③由Sn與an的關(guān)系求通項；④用不完全歸納法，猜想數(shù)列的通項，再證明． 2．求數(shù)列的最大項問題：①將數(shù)列的通項看作是n的函數(shù)，通過討論相應函數(shù)的單調(diào)性來求最值；②考察數(shù)列的單調(diào)性，求最大項；③利用基本不等式求最值． (2)方法選擇與優(yōu)化建議： 對于問題1，學生

23、一般會選擇方法①，因為本題已知數(shù)列是等差數(shù)列，所以選擇方法①． 對于問題2，學生一般會選擇③，因為本題中bn＝3n＋－1便于用基本不等式求最值，但要注意這里n必須取正整數(shù)，所以選擇方法③． 例2 已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，且滿足：a2a4＝65，a1＋a5＝18． (1)求數(shù)列{an}的通項公式an； (2)若1＜i＜21，a1，ai，a21是某等比數(shù)列的連續(xù)三項，求i值； (3)是否存在常數(shù)k，使得數(shù)列{}為等差數(shù)列，若存在，求出常數(shù)k；若不存在，請說明理由． 解 (1) an＝4n－3. (2) i＝3． (3)由(1)知，Sn＝2n

24、2－n． 假設(shè)存在常數(shù)k，使數(shù)列{}為等差數(shù)列， 【法一】由＋＝2，得k＝1, 當k＝1時，＝n，易知數(shù)列{}為等差數(shù)列． 【法二】假設(shè)存在常數(shù)k，使數(shù)列{}為等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項公式可知 設(shè)＝an＋b， 得2n2＋(k－1)n＝(an)2＋2abn＋b2恒成立， 可得a2＝2，2ab＝k－1，b2＝0，∴a2＝2，b＝0，k＝1 ∴＝n，易知數(shù)列{}為等差數(shù)列． 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法： 1．等差(比)數(shù)列基本量的計算： 方法: ①利用等差(比)數(shù)列的通項公式與前n項和公式，求基本量a1與d(q)，再用上述公式求數(shù)列中某項，

25、某項數(shù)與某些項的和． ②利用等差(比)數(shù)列的性質(zhì)，把條件簡化后再用通項公式各前n項和公式求基本量； 2．條件探索性問題： 方法: ①利用分析法，從結(jié)論和已知條件入手，執(zhí)果索因，導出所需條件； ②從特例出發(fā)，探求結(jié)論成立的條件，再進行證明． (2)方法選擇與優(yōu)化建議： 對于問題1，一般優(yōu)先考慮方法②，如沒性質(zhì)可用，就用方法①，本題先用性質(zhì)簡化后，先求出a2和a4，再求d，然后用an＝a2＋(n－2)d，求通項，當然本題用方法①也很簡單． 對于問題2，學生一般會選擇方法②，由特例求k的值比較方便，所以用方法②． 例3：等差數(shù)列{an}的前n項

26、和為Sn，且a2＝5，S7＝63，數(shù)列{bn}的前n項為Tn，滿足bn＝Tn－1＋2(n≥2，n∈N)，b1＝2， （1）求an與bn； （2）求數(shù)列{anbn}的前n項和Fn． （3）若＋＋…＋≤x2＋ax＋1對任意正整數(shù)n和任意x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 解 (1)an＝2n＋1；bn＝2n． (2) Fn＝(2n－1)·2n＋1＋2． (3)－1≤a≤1． 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法： 1．等差(比)數(shù)列基本量的計算： 方法: ①利用等差(比)數(shù)列的通項公式與前n項和公式，求基本量a1與d(q)，再用上述公式求數(shù)列中某項，某項數(shù)與某些

27、項的和． ②利用等差(比)數(shù)列的性質(zhì)，把條件簡化后再用通項公式各前n項和公式求基本量； 2．判斷一個數(shù)列是等差(比)數(shù)列： 方法：①利用定義：an＋1－an＝d(常數(shù))；②等差中項：2an＝an－1＋an＋1 (n≥2，n∈N*)． 3．數(shù)列求和問題： 方法：①利用等差(比)數(shù)列前n和公式求和；②分部求和；③錯位相減法； ④裂項求和． 4．不等式恒成立，求參數(shù)的范圍問題： 方法：①轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值；②變量分離后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值； ③利用幾何意義求參數(shù)的范圍 (2)方法選擇與優(yōu)化建議： 對于問題1，一般優(yōu)先考慮方法②，如沒性質(zhì)可用，就用方法①，本題先

28、用性質(zhì)S7＝7a4簡化后，先求出a4，再由a2的值，再求d，然后用an＝a2＋(n－2)d，求通項，當然本題用方法①也很簡單． 對于問題2，學生一般會選擇方法①，本題將通項bn與前n項Tn關(guān)系代入， 可得遞推關(guān)系bn＋1＝2bn．由等比數(shù)列的定義，可推得{bn}為等比數(shù)列，． 對于問題3，學生一般會選擇方法③和④，本題中數(shù)列{anbn}是由等差數(shù)列與等比數(shù)列相應項之積所構(gòu)成的數(shù)列，所以用方法③求和，數(shù)列{}的通項是分式形式，所以用方法④求和． 對于問題4，本題中不等式對于任意n恒成立，用方法②，對于任意實數(shù)x恒成立，用方法①，當然對于任意實數(shù)x恒成立，由于是一元二次不等式，所以也可用方法③． 四、反饋練習