2022年高中數(shù)學競賽輔導資料《直線和圓圓錐曲線》

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1、2022年高中數(shù)學競賽輔導資料《直線和圓，圓錐曲線》 一．直線與圓 1,兩點間的距離公式:設(shè),則; 2,線段的定比分點坐標公式:設(shè),點分的比為,則 , 3,直線方程的各種形式 (1),點斜式:; (2),斜截式:; (3),兩點式: (4),截距式: ;(5),一般式:不同為零); (6)參數(shù)方程:為參數(shù),為傾斜角,表示點與之間的距離) 4,兩直線的位置關(guān)系 設(shè)(或).則 (1),且(或且); (2),(或). 5,兩直線的到角公式與夾角公式: (1),到角公式:到的到角為,則,(); (2),夾角公式:與的夾角為,則,()

2、. 6,點到直線的距離:. 7,圓的方程 (1),標準方程:,其中為圓心坐標,R為圓半徑; (2),一般方程:,其中,圓心為, 半徑為. (3),參數(shù)方程: ,其中圓心為,半徑為R. 二．圓錐曲線 橢圓 雙曲線 拋物線 定義 與兩個定點的距離的 和等于常數(shù) 與兩個定點的距離的 差的絕對值等于常數(shù) 與一個定點和一條定 直線的距離相等 標準方程 (或), (或) (或) 參數(shù)方程 (或) (或) (或) 焦點 或 或 或 正數(shù)a,b,c, p的關(guān)系 () () 離心率

3、 準線 (或) (或) (或) 漸近線 (或) 焦半徑 (或 ) (, ), (點在左或下支) (或) 統(tǒng)一定義 到定點的距離與到定 直線的距離之比等于定值 的點的集合 ,(注:焦點要與對應(yīng) 準線配對使用) 三．解題思想與方法導引. 1,函數(shù)與方程思想 2,數(shù)形結(jié)合思想. 3,分類討論思想. 4,參數(shù)法. 5,整體處理 例題講解 1．在平面直角坐標系中,方程為相異正數(shù)),所表示的曲線是（ ） 2．平面上整點(坐標為整數(shù)的點)到直線的距離中的最小值是（ ） A,

4、 B, C, D, 3．過拋物線的焦點F作傾斜角為的直線,若此直線與拋物線交于A,B 兩點,弦AB的中垂線與軸交于P點,則線段PF的長等于（ ） A, B, C, D, 4．若橢圓上一點P到左焦點的距離等于它到右焦點距離的2倍,則P點坐標為（ ） A, B, C, D, 5．過橢圓中心的弦AB,是右焦點,則的最大面積為（ ） A,

5、 B, C, D, 6．已知P為雙曲線上的任意一點,為焦點,若,則（ ） A, B, C, D, 7．給定點,已知直線與線段PQ(包括P,Q在內(nèi))有公共點, 則的取值范圍是 . 8．過定點作直線交軸于Q點,過Q點作交軸于T點, 延長TQ至P點,使,則P點的軌跡方程是 . 9．已知橢圓與直線交于M,N兩點,且,(為 原點),當橢圓的離心率時,橢圓長軸

6、長的取值范圍是 . 10．已知是橢圓的兩個焦點,M是橢圓上一點,M到軸的距離為 ,且是和的等比中項,則的值等于 . 11．已知點A為雙曲線的左頂點,點B和點C在雙曲線的右分支上,是 等邊三角形,則的面積等于 . 12．若橢圓()和雙曲線有相同的焦點 ,P為兩條曲線的一個交點,則的值為 . 13．設(shè)橢圓有一個內(nèi)接,射線OP與軸正向成角,直線AP,BP的斜率 適合條件. (1),求證:過A,B的直線的斜率是定值; (2),求

7、面積的最大值. 14．已知為常數(shù)且),動點P,Q分別在射線OA,OB上使得 的面積恒為36.設(shè)的重心為G,點M在射線OG上,且滿足. (1),求的最小值; (2),求動點M的軌跡方程. 15．過拋物線(為不等于2的素數(shù))的焦點F,作與軸不垂直的直線交拋物線 于M,N兩點,線段MN的垂直平分線交MN于P點,交軸于Q點. (1),求PQ中點R的軌跡L的方程; (2),證明:L上有無窮多個整點,但L上任意整點到原點的距離均不是整數(shù). 課后練習 1．已知點A為雙曲線的左頂點，點B和點C在雙曲線的右支上，是等邊三角形，則的面積是 （A） （B） （C）

8、 （D） 2．平面上整點（縱、橫坐標都是整數(shù)的點）到直線的距離中的最小值是 （A） （B） （C） （D） 3．若實數(shù)x, y滿足(x + 5)2+(y – 12)2=142，則x2+y2的最小值為 (A) 2 (B) 1 (C) (D) 4．直線橢圓相交于A，B兩點，該圓上點P，使得⊿PAB面積等于3，這樣的點P共有 (A) 1個 (B) 2個 (C) 3個 (D) 4個 5．設(shè)a，b∈R，ab≠0，那

9、么直線ax－y＋b＝0和曲線bx2＋ay2＝ab的圖形是 y y y y x x x x A B C D 6．過拋物線y2＝8(x＋2)的焦點F作傾斜角為60o的直線，若此直線與拋物線交于A、B兩點，弦AB的中垂線與x軸交于P點，則線段PF的長等于 A． B． C． D． 7．方程表示的曲線是 A. 焦點在x軸上的橢圓 B. 焦點在x軸上的雙曲線 C. 焦點在y軸上的橢圓 D. 焦點在

10、y軸上的雙曲線 8．在橢圓中，記左焦點為F，右頂點為A，短軸上方的端點為B。若該橢圓的離心率是，則= 。 9．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上的點，且|PF1| : |PF2|＝2 : 1，則三角形PF1F2的面積等于______________． 10．在平面直角坐標系XOY中，給定兩點M（－1，2）和N（1，4），點P在X軸上移動，當取最大值時，點P的橫坐標為___________________。 11．若正方形ABCD的一條邊在直線上，另外兩個頂點在拋物線上.則該正方形面積的最小值為　　 　　. 12．已知：和：。試問：當且

11、僅當a,b滿足什么條件時，對任意一點P，均存在以P為頂點、與外切、與內(nèi)接的平行四邊形？并證明你的結(jié)論。 13． 設(shè)曲線C1:(a為正常數(shù))與C2:y2=2(x+m)在x軸上方公有一個公共點P。 （1）實數(shù)m的取值范圍（用a表示）； （2）O為原點，若C1與x軸的負半軸交于點A，當0

12、條直線折痕，當A/取遍圓周上所有點時，求所有折痕所在直線上點的集合． 16．（04，14）在平面直角坐標系xoy中，給定三點，點P到直線BC的距離是該點到直線AB，AC距離的等比中項。 （Ⅰ）求點P的軌跡方程； （Ⅱ）若直線L經(jīng)過的內(nèi)心（設(shè)為D），且與P點的軌跡恰好有3個公共點，求L的斜率k的取值范圍。 17．過拋物線上的一點A（1,1）作拋物線的切線，分別交軸于D，交軸于B.點C在拋物線上，點E在線段AC上，滿足;點F在線段BC上，滿足，且，線段CD與EF交于點P.當點C在拋物線上移動時，求點P的

13、軌跡方程. 課后練習答案 1.C 2.B 3.B 4.B 5.B 6.A 7.C 8.90o 9. 10.設(shè)橢圓的長軸、短軸的長及焦矩分別為2a、2b、2c，則由其方程知a＝3，b＝2，c＝，故，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又已知[PF1|：|PF2|＝2：1，故可得|PFl|＝4，|PF2|＝2．在△PFlF2中，三邊之長分別為2，4，2，而22＋42＝(2)2，可見△PFlF2是直角三角形，且兩直角邊的長為2和4，故△PFlF2的面積＝4． 11. 解：

14、經(jīng)過M、N兩點的圓的圓心在線段MN的垂直平分線y=3－x上，設(shè)圓心為 S（a，3－a），則圓S的方程為： 對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當取最大值時，經(jīng)過M，N，P三點的圓S必與X軸相切于點P，即圓S的方程中的a值必須滿足解得 a=1或a=－7。 即對應(yīng)的切點分別為，而過點M，N，的圓的半徑大于過點M，N，P的圓的半徑，所以，故點P（1，0）為所求，所以點P的橫坐標為1。 12.解：設(shè)正方形的邊AB在直線上，而位于拋物線上的兩個頂點坐標為、，則CD所在直線的方程將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，得 令正方形邊長為則① 在上任取一點（6，,5）

15、，它到直線的距離為②. ①、②聯(lián)立解得或 13.利用極坐標解決：以坐標原點為極點，x軸為極軸建立極坐標系，則橢圓的極坐標方程為------（1） 顯知此平行四邊形ABCD必為菱形，設(shè)A，則B 代入（1）式相加： 由于該菱形必與單位圓相切，故原點到AB的距離為1， ∴，從而，∴ 14. 解：(1)由 消去y得： ① 設(shè)，問題(1)化為方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根． 只需討論以下三種情況： 1°△＝0得：，此時xp＝－a2，當且僅當－a＜－a2＜a，即0＜a＜1時適合； 2°f (a)f (－a)＜0，當且僅當－a＜m＜a

16、； 3°f (－a)＝0得m＝a，此時xp＝a－2a2，當且僅當－a＜a－2a2＜a，即0＜a＜1時適合． f (a)＝0得m＝－a，此時xp＝－a－2a2，由于－a－2a2＜－a，從而m≠－a． 綜上可知，當0＜a＜1時，或－a＜m≤a； 當a≥1時，－a＜m＜a． (2)△OAP的面積 ∵0＜a＜，故－a＜m≤a時，0＜＜a， 由唯一性得 顯然當m＝a時，xp取值最?。捎趚p＞0，從而yp＝取值最大，此時，∴． 當時，xp＝－a2，yp＝，此時． 下面比較與的大?。?

17、 令，得 故當0＜a≤時，≤，此時． 當時，，此時． 15.解：設(shè)點坐標為，點坐標為． 顯然，故 由于，所以 從而，消去，注意到得： 由解得：或． 當時，點的坐標為；當時，點的坐標為，均滿足是題意．故點的縱坐標的取值范圍是或． 16.解：如圖，以O(shè)為原點，OA所在直線為x軸建立直角坐標系，則有A(a，0)．設(shè)折疊時，⊙O上點A/()與點A重合，而折痕為直線MN，則 MN為線段AA/的中垂線．設(shè)P(x，y)為MN上任一點，則｜PA/｜＝｜PA｜ 5分 　　∴ 　　即 10分 ∴ 　　可得： 　　∴≤1　(此不等式也可直接由柯西不

18、等式得到) 15分 　　平方后可化為　≥1， 　　即所求點的集合為橢圓圓＝1外(含邊界)的部分． 20分 17. 解：（Ⅰ）直線AB、AC、BC的方程依次為。點到AB、AC、BC的距離依次為。依設(shè)，，即，化簡得點P的軌跡方程為 圓S： （Ⅱ）由前知，點P的軌跡包含兩部分 圓S： ① 與雙曲線T： ② 因為B（－1，0）和C（1，0）是適合題設(shè)條件的點，所以點B和點C在點P的軌跡上，且點P的軌跡曲線S與T的公共點只有B、C兩點。 的內(nèi)心D也是適合題設(shè)條件的點，由，解得，且知它在圓S上。直線L經(jīng)過D，且與點P的軌跡有3個公共點，所以，L的斜率存在，設(shè)L

19、的方程為 ③ （i）當k=0時，L與圓S相切，有唯一的公共點D；此時，直線平行于x軸，表明L與雙曲線有不同于D的兩個公共點，所以L恰好與點P的軌跡有3個公共點。......10分 （ii）當時，L與圓S有兩個不同的交點。這時，L與點P的軌跡恰有3個公共點只能有兩種情況： 情況1：直線L經(jīng)過點B或點C，此時L的斜率，直線L的方程為。代入方程②得，解得。表明直線BD與曲線T有2個交點B、E；直線CD與曲線T有2個交點C、F。 故當時，L恰好與點P的軌跡有3個公共點。 情況2：直線L不經(jīng)過點B和C（即），因為L與S有兩個不同的交點，所以L與雙曲線T有且只有一個公共點。即

20、方程組有且只有一組實數(shù)解，消去y并化簡得 該方程有唯一實數(shù)解的充要條件是 ④ 或 ⑤ 解方程④得，解方程⑤得。 綜合得直線L的斜率k的取值范圍是有限集。 18.解一：過拋物線上點A的切線斜率為：切線AB的方程為的坐標為是線段AB的中點. 設(shè)、、、，則由知， 得 ∴EF所在直線方程為： 化簡得…① 當時，直線CD的方程為：…② 聯(lián)立①、②解得，消去，得P點軌跡方程為： 當時，EF方程為：方程為：，聯(lián)立解得也在P點軌跡上.因C與A不能重合，∴ ∴所求軌跡方程為 解二：由解一知，AB的方程為故D是AB的中點. 令則因為CD為的中線， 而是的重

21、心. 設(shè)因點C異于A，則故重心P的坐標為 消去得 故所求軌跡方程為 例題答案： 1,D 令,得,令得,由此可見,曲線必過四個點:, ,,,從結(jié)構(gòu)特征看,方程表示的曲線是以這四點為頂點的四邊形,易知 它是非正方形的菱形. 2,B ,當(可取)時, (其中為平面上任意整點). 3,A 此拋物線的焦點與原點重合,得直線AB的方程為,因此A,B兩點的橫坐標 滿足方程:.由此求得弦AB中點的橫坐標,縱坐標,進而 求得其中垂線方程為,令,得P點的橫坐標, 即PF=. 4,C 設(shè),又橢圓的右準線為,而,且,

22、得,又,得,代入橢圓方程得. 5,A (1)當軸時,; (2)當AB與軸不垂直時,設(shè)AB的方程為,由消去得. 設(shè),,則,, . 6,A 由 ,得,. 7, 設(shè)線段PQ上任意一點且令,則 =,,故,, 由得,解得. 8, 設(shè)直線的方程為,則Q點坐標為,直線QT的方程為 ,所以T點坐標為,從而P點坐標為,設(shè)P的坐標為 ,則,消去可得P點軌跡方程為. 9, 由,可得 ① 由得,即,將, 代入得,即,因為,得 ,得,有,解得. 10, 延長NM與橢圓的右準線:相交于D,設(shè),則 ,因,得,, 又,得,故. 11, 設(shè)點C在軸上方,由是等邊三角

23、形得直線AB的斜率,又直線 過點,故方程為,代入雙曲線方程,得點B的坐標為 ,同理可得C的坐標為,所以的面積為. 12, 不妨設(shè)P為第一象限的一點,則,,.得 ,,于是. 13,:(1)證明:易知直線OP的方程為,將此方程代入,可求得交點 P(1, .由題意可設(shè)直線PA,PB的方程分別為和, 分別與橢圓方程聯(lián)立,可求得A,B的橫坐標分別為,. 從而, 所以(定值). (2)不妨設(shè)直線AB的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,并消去得+ ,有 = 點P到戰(zhàn)線AB的距離,所以= ,當且僅當,即時, . 14,解(1),以O(shè)為原點,的平分

24、線為軸建立直角坐標系,則可設(shè) .于是的重心的坐標為 , = . 又已知得,于是 ,且當時等號成立,故. (2),設(shè),則由得,,=b) ,得,,代入,并整理得 ,這就是所求動點M的軌跡方程. 15,解:(1)拋物線的焦點為,設(shè)的直線方程為. 由得,設(shè)M,N的橫坐標分別為 則,得,, 而,故PQ的斜率為,PQ的方程為. 代入得.設(shè)動點R的坐標,則 ,因此, 故PQ中點R的軌跡L的方程為. (2),顯然對任意非零整數(shù),點都是L上的整點,故L上有無窮多個整點. 反設(shè)L上有一個整點(x,y)到原點的距離為整數(shù)m,不妨設(shè),則 ,因為是奇素數(shù),于是,從可推出,再由可推出 ,令,則有, 由,得,于是,即 ,于是,, 得,故,有,但L上的點滿足,矛盾! 因此,L上任意點到原點的距離不為整數(shù).