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1、2022年高考數(shù)學(xué) 回扣突破30練 第27練 不等式選講 理
一.題型考點(diǎn)對(duì)對(duì)練
1.（與含絕對(duì)值不等式的解法）設(shè)函數(shù).
（1）求不等式的解集；
（2）若存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
（2）等價(jià)于，等價(jià)于，而，若存在實(shí)數(shù)解，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
2.（求解與絕對(duì)值不等式相關(guān)的最值問題）已知函數(shù)，且不等式的解集為， ， .
（1）求， 的值；
（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，求實(shí)數(shù)的最大值.
【解析】（1）若，原不等式可化為，解得，即；
若，原不等式可化為，解得，即；
若，原不等式可化為，解得，即；
綜上所述，不等式的解集為，所以， .
（2）由（1）知， ，所
2、以 ，
故， ，所以，即實(shí)數(shù)的最大值為2.
3.（證明不等式）已知為正實(shí)數(shù)，且
（1）解關(guān)于的不等式；
（2）證明：
4.（利用基本不等式、柯西不等式求最值的方法）已知函數(shù)，且的解集為．
（1）求的值；
（2）若都是正實(shí)數(shù)，且，求證： ．
【解析】（I）依題意,即,∴
（II）方法1:∵，∴
，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)
方法2: ∵
∴由柯西不等式得
整理得，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào).
5.（利用不等式性質(zhì)比較大?。┰O(shè)不等式的解集為， 、．
（Ⅰ）證明： ；
3、（Ⅱ）比較與的大小，并說明理由．
二.易錯(cuò)問題糾錯(cuò)練
6.（不等式證明方法選擇不當(dāng)至錯(cuò)）已知函數(shù)．
(1) 解不等式；
(2) 若， ，求證： ．
【解析】（1）原不等式即為．當(dāng)時(shí)，則，解得；
當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)不成立；當(dāng)時(shí)，則，解得．
所以原不等式的解集為或．
（2）要證，即，只需證明．
則有
．
因?yàn)椋?，則 ，所以，原不等式得證．
【注意問題】首先利用分析法將要證明的不等式進(jìn)行等價(jià)變形，然后作差結(jié)合不等式的特點(diǎn)和題意證得等價(jià)變形后的結(jié)論即可證得原不等式成立.．
7.（混淆不等式有解與不等式恒成立至錯(cuò)）已知函數(shù)（， ）的值域?yàn)椋?
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；
（
4、Ⅱ）若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【注意問題】依題意有．
三.新題好題好好練
8.（1）求不等式的解集；
（2）若正實(shí)數(shù)滿足，求證：．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，∴；當(dāng)時(shí)，，解得，∴；當(dāng)時(shí)，，解得，舍去．綜上，．故原不等式的解集為．
（2）證明：要證，只需證，即證，即證，
而，所以成立，所以原不等式成立．
9.已知函數(shù)，若的最小值為2.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）若，且均為正實(shí)數(shù)，且滿足，求的最小值.
，解得或（舍）；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，解得（舍）或，③當(dāng)時(shí)，即，，此時(shí)，不滿足條件，綜上所述，或；
（2）由題意知，，∵當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，∴，所以的最
5、小值為18
10.已知函數(shù)．
（1）若的最小值為2，求的值；
（2）若對(duì)，，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1），當(dāng)且僅當(dāng)取介于和之間的數(shù)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，；
（2）由（1）知的最小值為，故，使成立，即 ，
，.
11.已知函數(shù).
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）記的最小值為，若正實(shí)數(shù)，，滿足，求證：.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值為6，即.（或者），所以，
由柯西不等式可得
因此.
12.已知函數(shù).
(1) 若，求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2) 若R , 求證：.
【解析】(1) 因?yàn)?，所? ① 當(dāng)時(shí)，得，解得，所以; ② 當(dāng)時(shí)，得，解得，所以; ③ 當(dāng)時(shí)，得，解得，所以; 綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
(2) 因?yàn)镽 , 所以 .
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