2022年高一下學期第一次月考數學試卷（理科） 含解析(I)

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1、2022年高一下學期第一次月考數學試卷（理科） 含解析(I) 　 一．選擇題：（每小題只有一個正確答案，每小題5分，共60分） 1． +1與﹣1的等差中項是（　?。? A．1 B．﹣1 C． D．±1 2．下列命題正確的是（　?。? A．單位向量都相等 B．若與共線，與共線，則與共線 C．若|+|=|﹣|，則?=0 D．若與都是單位向量，則?=1 3．等比數列{an}中，“公比q＞1”是“數列{an}單調遞增”的（　?。? A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 4．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=1，∠A=120°，則向量在向量

2、上的投影等于（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 5．把1，3，6，10，15，21這些數叫做三角形數，這是因為這些數目的點子可以排成一個正三角形（如圖所示）．則第七個三角形數是（　?。? A．27 B．28 C．29 D．30 6．在銳角△ABC中，a=2，b=2，B=45°，則A等于（　?。? A．30° B．60° C．60°或120° D．30°或150° 7．等比數列{an}的前n項和為Sn，且4a1，2a2，a3成等差數列．若a1=1，則S4=（　?。? A．15 B．7 C．8 D．16 8．設{an}（n∈N*）是等差數列，Sn是其前n項的和，且S5＜S6，S

3、6=S7＞S8，則下列結論錯誤的是（　?。? A．d＜0 B．a7=0 C．S9＞S5 D．S6與S7均為Sn的最大值 9．若△ABC的內切圓面積為3π，三角形面積是10，A=60°，則BC邊的長是（　?。? A．5 B．6 C．7 D．8 10．已知四邊形ABCD， ==（1，1），+=，則四邊形ABCD的面積為（　?。? A．1 B． C． D．2 11．已知△ABC內接于單位圓，且△ABC面積為S，則長為sinA，sinB，sinC的三條線段（　　） A．不能構成三角形 B．能構成一個三角形，其面積為 C．能構成一個三角形，其面積大于 D．能構成一個三角形，其面積小于

4、12．已知O為△ABC的外心，滿足，則△ABC的最大內角的余弦值為（　　） A． B． C． D． 　 二．填空題：（每小題5分，共20分；直接將答案填寫在答卷上） 13．已知=（2，3），=（4，y+1），且∥，則y=　?。? 14．已知數列{an}滿足：a1=2，an+1=（n∈N*），則該數列前xx項積a1?a2…axx?axx=　?。? 15．△ABC中，6sinA=4sinB=3sinC，則cosC=　　． 16．若a，b是函數f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的兩個不同的零點，且a，b，﹣2這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則p+q的值等于

5、　　． 　 三．解答題：（共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17．已知=（1，cosx），=（，sinx），x∈（0，π） （1）若∥，求的值； （2）若⊥，求sinx﹣cosx的值． 18．已知AD是△ABC的角平分線，且AC=2，AB=4，cos∠BAC=． （1）求△ABC的面積； （2）求AD的長． 19．設公差不等于零的等差數列{an}的前n項和為Sn，且S5=30，a1，a2，a4成等比數列 （1）求數列{an}的通項公式； （2）求的值． 20．定義：稱為n個正數p1，p2，…，pn的“均倒數”，已知數列{an}的前n項的“均倒數”

6、為． （1）求{an}的通項公式 （2）設Cn=，求數列{cn}的前n項和Sn． 21．已知△ABC三個內角A、B、C的對邊為a、b、c，acosA﹣bcosB=0，a≠b． （1）求角C； （2）若y=，試確定實數y的取值范圍． 22．我們把一系列向量（i=1，2，3，…，n）按次序排成一列，稱之為向量列，記作，已知向量列滿足： =（1，1），=（xn，yn）=（xn﹣1﹣yn﹣1，xn﹣1+yn﹣1）（n≥2）． （1）證明：數列是等比數列； （2）設θn表示向量與間的夾角，若bn=，對于任意正整數n，不等式++…+＞a（a+2）恒成立，求實數a的范圍． 　 附加題

7、 23．已知：sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，求S=tan（x+y+z）+tanxtanytanz的值． 　 參考答案與試題解析 　 一．選擇題：（每小題只有一個正確答案，每小題5分，共60分） 1． +1與﹣1的等差中項是（　?。? A．1 B．﹣1 C． D．±1 【考點】等差數列． 【分析】由等差中項的定義易得答案． 【解答】解：設x為+1與﹣1的等差中項， 則﹣1﹣x=x﹣+1，即x== 故選：C 　 2．下列命題正確的是（　?。? A．單位向量都相等 B．若與共線，與共線，則與共線 C．若|+|=|﹣|，則?=0 D．

8、若與都是單位向量，則?=1 【考點】平行向量與共線向量；平面向量數量積的運算；數量積判斷兩個平面向量的垂直關系． 【分析】題設條件簡單，本題的解題需要從選項入手，逐一進行驗證排除． 【解答】解：向量有大小、方向兩個屬性，向量的相等指的是大小相等方向相同，故A不對； B選項對三個非零向量是正確的，若是零向量時，若與共線，與共線，則與共線不一定成立． 當兩個向量互相垂直時兩向量和的模與差的模一定相等，故C選項是正確的． 若與都是單位向量，則?=1不一定成立，當兩者垂直時，內積為零． 由分析知，應選C． 　 3．等比數列{an}中，“公比q＞1”是“數列{an}單調遞增”的（　?。?/p>

9、 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 【分析】根據等比數列遞增的性質以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可． 【解答】解：若a1＜0，q＞1時，{an}遞減，∴數列{an}單調遞增不成立． 若數列{an}單調遞增，當a1＜0，0＜q＜1時，滿足{an}遞增，但q＞1不成立． ∴“公比q＞1”是“數列{an}單調遞增”的既不充分也不必要條件． 故選：D 　 4．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=1，∠A=120°，則向量在向量上的投影等于（　?。? A．﹣ B． C．﹣ D．

10、【考點】平面向量數量積的運算． 【分析】由題意可得∠ABC=30°，再根據一個向量在另一個向量上的投影的定義求得向量在向量上的投影． 【解答】解：由題意可得∠ABC=30°，∴向量在向量上的投影等于||?cos∠ABC=1×=， 故選：B． 　 5．把1，3，6，10，15，21這些數叫做三角形數，這是因為這些數目的點子可以排成一個正三角形（如圖所示）．則第七個三角形數是（　　） A．27 B．28 C．29 D．30 【考點】歸納推理． 【分析】原來三角形數是從l開始的連續(xù)自然數的和．l是第一個三角形數，3是第二個三角形數，6是第三個三角形數，10是第四個三角形數，15是

11、第五個三角形數…那么，第七個三角形數就是：l+2+3+4+5+6+7=28． 【解答】解：原來三角形數是從l開始的連續(xù)自然數的和． l是第一個三角形數，第1個數是1； 3是第二個三角形數，第2個數是3=1+2； 6是第三個三角形數，第3個數是：6=1+2+3； 10是第四個三角形數，第4個數是：10=1+2+3+4； 15是第五個三角形數，第5個數是：15=1+2+3+4+5； … 那么，第七個三角形數就是：l+2+3+4+5+6+7=28． 故選：B． 　 6．在銳角△ABC中，a=2，b=2，B=45°，則A等于（　?。? A．30° B．60° C．60°或120°

12、 D．30°或150° 【考點】正弦定理． 【分析】由正弦定理可得sinA=，再由大邊對大角可得A＞B=45°，從而求得A的值． 【解答】解：由正弦定理可得 =，∴sinA=．∵B=45°，a＞b，再由大邊對大角可得A＞B， 故B=60°或120°， 故選，C． 　 7．等比數列{an}的前n項和為Sn，且4a1，2a2，a3成等差數列．若a1=1，則S4=（　　） A．15 B．7 C．8 D．16 【考點】等比數列的前n項和． 【分析】利用4a1，2a2，a3成等差數列求出公比即可得到結論． 【解答】解：∵4a1，2a2，a3成等差數列．a1=1， ∴4a1+a3=

13、2×2a2， 即4+q2﹣4q=0， 即q2﹣4q+4=0， （q﹣2）2=0， 解得q=2， ∴a1=1，a2=2，a3=4，a4=8， ∴S4=1+2+4+8=15． 故選：A 　 8．設{an}（n∈N*）是等差數列，Sn是其前n項的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，則下列結論錯誤的是（　?。? A．d＜0 B．a7=0 C．S9＞S5 D．S6與S7均為Sn的最大值 【考點】等差數列的前n項和． 【分析】利用結論：n≥2時，an=sn﹣sn﹣1，易推出a6＞0，a7=0，a8＜0，然后逐一分析各選項，排除錯誤答案． 【解答】解：由S5＜S6得a1+a2+a3

14、+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0， 又∵S6=S7， ∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7， ∴a7=0，故B正確； 同理由S7＞S8，得a8＜0， ∵d=a7﹣a6＜0，故A正確； 而C選項S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由結論a7=0，a8＜0，顯然C選項是錯誤的． ∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴S6與S7均為Sn的最大值，故D正確； 故選C． 　 9．若△ABC的內切圓面積為3π，三角形面積是10，A=60°，則BC邊的長是（　?。? A．5 B．6 C．7 D．8 【考點】正弦定理． 【分析】

15、設三角形ABC內切圓心為O，半徑為r，與AB，AC，BC分別切于E，F，D，由已知可求∠EAO=∠FAO=30°，利用圓的面積可求r，進而可求AE=AF=3，由BE=BD，CF=CD，可求AB+AC+BC=6+2BC，根據三角形面積公式即可解得BC的值． 【解答】解：設三角形ABC內切圓心為O，半徑為r，與AB，AC，BC分別切于E，F，D ， 則AO平分∠BAC，OE=OF=OD=r， 因∠A=60°， 所以∠EAO=∠FAO=30°， 因為：△ABC的內切圓面積為3π=πr2，解得：r=， 所以：AE===3， 得：AE=AF=3，BE=BD，CF=CD， 所以：AB+AC

16、+BC=AE+EB+AF+FC+BC=3+3+（EB+FC）+BC=3+3+2BC=6+2BC， 因為：S=（AB+AC+BC ）?r=（AB+AC+BC ）=10，解得：AB+AC+BC=20，可得：6+2BC=20， 所以：解得：BC=7． 故選：C． 　 10．已知四邊形ABCD， ==（1，1），+=，則四邊形ABCD的面積為（　?。? A．1 B． C． D．2 【考點】向量在幾何中的應用． 【分析】根據題意，利用向量加法的平行四邊形法則得到四邊形ABCD是菱形且∠BAD=120°，因此算出||=||=，即可求出四邊形ABCD的面積． 【解答】解：因為四邊形ABC

17、D， =， 所以四邊形ABCD是平行四邊形， 因為+=， 所以AC是平行四邊形ABCD的角平分線，平行四邊形為菱形，且∠BAD=120°， 根據=（1，1）可得菱形的邊長為． 因此四邊形ABCD的面積S=××sin60°=． 故選：C． 　 11．已知△ABC內接于單位圓，且△ABC面積為S，則長為sinA，sinB，sinC的三條線段（　?。? A．不能構成三角形 B．能構成一個三角形，其面積為 C．能構成一個三角形，其面積大于 D．能構成一個三角形，其面積小于 【考點】三角形的面積公式． 【分析】設△ABC的三邊分別為a，b，c利用正弦定理可得， ===2可得a=

18、2sinA，b=2sinB，c=2sinC由a，b，c為三角形的三邊判斷即可 【解答】解：設△ABC的三邊分別為a，b，c 利用正弦定理可得， ===2 ∴a=2sinA，b=2sinB，c=2sinC ∵a，b，c為三角形的三邊 ∴sinA，sinB，sinC也能構成三角形的邊， 面積為原來三角形面積． 故選D． 　 12．已知O為△ABC的外心，滿足，則△ABC的最大內角的余弦值為（　?。? A． B． C． D． 【考點】平面向量數量積的運算． 【分析】設三角形ABC的外接圓半徑為R，將已知的等式變形后，左右兩邊平方，分別求出cos∠AOB=0，cos∠BOC=﹣，

19、cos∠AOC=﹣，再根據圓心角等于同弧所對的圓周的兩倍，以及二倍角公式計算即可． 【解答】解：設外接圓的半徑為R， ∵， ∴3+4=﹣5， ∴（3+4）2=（﹣5）2， ∴9（）2+16（）2+12=25（）2， ∴9R2+16R2+12=25R2， ∴9R2+16R2+12R2cos∠AOB=25R2， ∴cos∠AOB=0， 同理，求得cos∠BOC=﹣，cos∠AOC=﹣， ∴△ABC的最大內角∠BAC， 根據圓心角等于同弧所對的圓周的兩倍得， ∴∠BAC=∠BOC， ∴2cos2（∠BAC）﹣1=cos∠BOC， ∴2cos2（∠BAC）=1﹣= ∴co

20、s2（∠BAC）=， ∴cos∠BAC= 故答案為：B． 　 二．填空題：（每小題5分，共20分；直接將答案填寫在答卷上） 13．已知=（2，3），=（4，y+1），且∥，則y=　5?。? 【考點】平面向量共線（平行）的坐標表示． 【分析】利用向量共線定理即可得出． 【解答】解：∵∥，∴3×4﹣2（y+1）=0， 解得y=5， 故答案為：5． 　 14．已知數列{an}滿足：a1=2，an+1=（n∈N*），則該數列前xx項積a1?a2…axx?axx=　1?。? 【考點】數列遞推式． 【分析】利用遞推關系可得：an+4=an．利用周期性即可得出． 【解答】解：∵a1

21、=2，an+1=（n∈N*）， ∴a2==﹣3，a3==﹣，a4==，a5==2，…， ∴an+4=an． 則該數列前xx項積a1?a2…axx?axx===1， 故答案為：1． 　 15．△ABC中，6sinA=4sinB=3sinC，則cosC=　﹣?。? 【考點】余弦定理；正弦定理． 【分析】由正弦定理可得6a=4b=3c，進而可用a表示b，c，代入余弦定理化簡可得． 【解答】解：∵6sinA=4sinB=3sinC， ∴由正弦定理可得6a=4b=3c ∴b=，c=2a， 由余弦定理可得cosC===﹣． 故答案為：﹣． 　 16．若a，b是函數f（x）=x2

22、﹣px+q（p＞0，q＞0）的兩個不同的零點，且a，b，﹣2這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則p+q的值等于　9　． 【考點】等比數列的性質；等差數列的性質． 【分析】由一元二次方程根與系數的關系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列列關于a，b的方程組，求得a，b后得答案． 【解答】解：由題意可得：a+b=p，ab=q， ∵p＞0，q＞0， 可得a＞0，b＞0， 又a，b，﹣2這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列， 可得①或②． 解①得：；解②得：． ∴p=a+b=5，

23、q=1×4=4， 則p+q=9． 故答案為：9． 　 三．解答題：（共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17．已知=（1，cosx），=（，sinx），x∈（0，π） （1）若∥，求的值； （2）若⊥，求sinx﹣cosx的值． 【考點】三角函數的化簡求值；平行向量與共線向量；數量積判斷兩個平面向量的垂直關系． 【分析】（1）根據可推斷出求得tanx的值，進而把分子分母同時除以cosx，把原式轉化成關于tanx的式子，進而把tanx的值代入即可． （2）根據兩向量垂直可推斷出，利用配方法（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx進而把sinx和cosx

24、的值代入求得答案． 【解答】解：（1）∵ ∴ （2）∵ ∴ 又∵ ∴ 　 18．已知AD是△ABC的角平分線，且AC=2，AB=4，cos∠BAC=． （1）求△ABC的面積； （2）求AD的長． 【考點】余弦定理；正弦定理． 【分析】（1）由cos∠BAC=，∠BAC∈（0，π），可得sin∠BAC=，即可得出S△ABC． （2）由AD是△ABC的角平分線，可得==2，∠BAD=∠BAC，利用cos∠BAC=1﹣2sin2∠BAD，解得sin∠BAD．利用S△ABD=S△ABC==，即可得出． 【解答】解：（1）∵cos∠BAC=，∠BAC∈（0，π），∴s

25、in∠BAC==． ∴S△ABC=×2×4×=． （2）由AD是△ABC的角平分線，∴==2，∠BAD=∠BAC， ∴cos∠BAC=1﹣2sin2∠BAD，∴=1﹣2sin2∠BAD，解得sin∠BAD=． ∴S△ABD=S△ABC===×． 解得AD=． 　 19．設公差不等于零的等差數列{an}的前n項和為Sn，且S5=30，a1，a2，a4成等比數列 （1）求數列{an}的通項公式； （2）求的值． 【考點】數列的求和；等差數列的前n項和． 【分析】（1）利用等差數列與等比數列的通項公式即可得出； （2）==，利用“裂項求和”即可得出． 【解答】解：（1）設數

26、列{an}的首項為a1，公差為d，則d≠0， ∵S5=30，a1，a2，a4成等比數列， ∴， 解得a1=d=2，（其中d=0舍去）， ∴an=2+2（n﹣1）=2n． （2）∵==， ∴=…+ = =． 　 20．定義：稱為n個正數p1，p2，…，pn的“均倒數”，已知數列{an}的前n項的“均倒數”為． （1）求{an}的通項公式 （2）設Cn=，求數列{cn}的前n項和Sn． 【考點】數列的求和；數列遞推式． 【分析】（1）數列{an}的前項和為Sn=n（n+2），由此能求出{an}的通項公式． （2）由Cn==，利用錯位相減法能求出數列{cn}的前n項和S

27、n． 【解答】解：（1）∵數列{an}的前n項的“均倒數”為， ∴根據題意得數列{an}的前項和為：Sn=n（n+2）， 當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=n（n+2）﹣（n﹣1）（n﹣2）=2n+1， n=1時，a1=S1=3適合上式， ∴an=2n+1． （2）由（1）得Cn==， ∴，① 3Sn=，② ②﹣①，得：2Sn=3+ =3+ =， ∴Sn=2﹣． 　 21．已知△ABC三個內角A、B、C的對邊為a、b、c，acosA﹣bcosB=0，a≠b． （1）求角C； （2）若y=，試確定實數y的取值范圍． 【考點】三角函數中的恒等變換應用；正弦定理．

28、 【分析】（1）由acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sin2A=sin2B，2A，2B∈（0，2π）．由于a≠b，可得A≠B，可得A+B=．即可得出C． （2）由sinB=cosA 得y=，令 sinA+cosA=t∈（1，]，則 sinAcosA=，y==，根據t﹣在（1，]單調遞增，即可求得實數y的取值范圍． 【解答】（本題滿分為14分） 解：（1）∵acosA=bcosB， ∴sinAcosA=sinBcosB， ∴sin2A=sin2B，2A，2B∈（0，2π）． ∴2A=2B，或2A=π﹣2B， ∵a≠b，∴A≠B， ∴A+B=． ∴C=π﹣（A+B）=．

29、… （2）∵sinB=cosA， ∴y=，… ∵sinA+cosA=sin（A+），A∈（0，）， ∴A+∈（，）． ∴sin（A+）∈（，1]， ∴sinA+cosA∈（1，]，… 令 sinA+cosA=t∈（1，]，則 sinAcosA=，… ∴y==，… ∵t﹣在（1，]單調遞增， ∴0＜t﹣≤﹣=， ∴y≥2， 又a≠b，故等號不成立， ∴y的取值范圍為（2，+∞）… 　 22．我們把一系列向量（i=1，2，3，…，n）按次序排成一列，稱之為向量列，記作，已知向量列滿足： =（1，1），=（xn，yn）=（xn﹣1﹣yn﹣1，xn﹣1+yn﹣1）（n≥2

30、）． （1）證明：數列是等比數列； （2）設θn表示向量與間的夾角，若bn=，對于任意正整數n，不等式++…+＞a（a+2）恒成立，求實數a的范圍． 【考點】數列與不等式的綜合；等比關系的確定． 【分析】（1）利用向量模的坐標公式求出||的模，得到||與||的關系，利用等比數列的定義能證明數列是等比數列． （2）利用向量的坐標形式的數量積公式求出，的數量積，利用向量的模、夾角形式的數量積公式求出夾角的余弦，從而得到bn==，由此能求出結果． 【解答】證明：（1）∵向量列滿足： =（1，1）， =（xn，yn）=（xn﹣1﹣yn﹣1，xn﹣1+yn﹣1）， ∴||= = =|

31、|， ∴數列是等比數列． 解：（2）∵θn表示向量與間的夾角， ∴cosQn== ==， ∴Qn=，bn==， ∴++…+=， 記f（n）=， 則f（n+1）﹣f（n）===＞0， ∴f（n）隨n單調增加， ∴f（n）＞m對于一切大于1的自然數n都成立等價于m＜f（2）==， ∵對于任意正整數n，不等式++…+=＞a（a+2）恒成立， ∴a（a+2）＜2f（2）=， 解得﹣1﹣＜a＜﹣1+， ∴實數a的范圍是（﹣1﹣，﹣1+）． 　 附加題 23．已知：sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，求S=tan（x+y+z）+tanxtany

32、tanz的值． 【考點】兩角和與差的正切函數． 【分析】把已知等式變形，平方作和后可得cos（x﹣y）=﹣，cos（y﹣z）=﹣，cos（z﹣x）=﹣，表明角x，y，z中任兩角的終邊夾角為120度．然后把x，y用z表示后利用兩角和的正切得答案． 【解答】解：由sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，得 sinx+siny=﹣sinz且cosx+cosy=﹣cosz， 平方相加，得2+2cosxcosy+2sinxsiny=1， 即cos（x﹣y）=﹣， 同理，cos（y﹣z）=﹣，cos（z﹣x）=﹣， 這表明角x，y，z中任兩角的終邊夾角為120度． 不妨設 x=y+120°+2k1?180°（k1∈Z），y=z+120°+2k2?180°（k2∈Z）， 則x=z++2（k1+k2）×180°， x+y+z=3z+2（k1+k2+1）×180°， S=tan（x+y+z）+tanx?tany?tanz =tan（3z）+tan（z+240°）tan（z+120°）tanz =tan（3z）+tanz?tan（z+60°）?tan（z﹣60°） =tan（3z）﹣tan（3z）=0． 　 xx10月25日