6、表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域。特別地，當(dāng)時(shí)，通常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)。
（2）有關(guān)概念
引例：設(shè)，式中變量滿足條件，求的最大值和最小值。
由題意，變量所滿足的每個(gè)不等式都表示一個(gè)平面區(qū)域，不等式組則表示這些平面區(qū)域的公共區(qū)域。由圖知，原點(diǎn)不在公共區(qū)域內(nèi)，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)在直線：上，作一組平行于的直線：，，可知：當(dāng)在的右上方時(shí)，直線上的點(diǎn)滿足，即，而且，直線往右平移時(shí)，隨之增大。
由圖象可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的最大，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的最小，所以，，。
在上述引例中，不等式組是一組對(duì)變量的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于的一次不等式，所以又稱為線性約束
7、條件。是要求最大值或最小值所涉及的變量的解析式，叫目標(biāo)函數(shù)。又由于是的一次解析式，所以又叫線性目標(biāo)函數(shù)。
一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。在上述問題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域。其中可行解和分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值，它們都叫做這個(gè)問題的最優(yōu)解。
四．典例解析
題型1：簡(jiǎn)單不等式的求解問題
例1．（xx京皖春，1）不等式組的解集是（ ）
A．｛x｜－1＜x＜1 B．｛x｜0＜x＜３
C．｛x｜0＜x＜1 D．｛x｜－1＜x＜３
8、
答案：C
解析：原不等式等價(jià)于： 0＜x＜1。
點(diǎn)評(píng)：一元二次不等式的求解問題是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性知識(shí)，是解決其它問題的基礎(chǔ)。
例2．（xx河南、廣東，1）不等式>0的解集為（ ）
A.{x|x<1} B.{x|x>3}
C.{x|x<1或x>3} D.{x|10，
∴x<1或x>3.
故原不等式的解集為{x|x<1或x>3}。
點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單的分式不等式的解法是高中數(shù)學(xué)中常用到的求范圍問題工具，分式不等式的解題思路是：分式化整式（注意分母不為零）。
題型2：簡(jiǎn)單的絕對(duì)值、涉及指數(shù)、
9、對(duì)數(shù)和三角的不等式的求解問題
例3．（1）（xx全國(guó)，3）不等式（1＋x）（1－｜x｜）＞0的解集是（ ）
A．｛x｜0≤x＜1 B.｛x｜x＜0且x≠－1
C．｛x｜－1＜x＜1 D.｛x｜x＜1且x≠－1
（2）（1997全國(guó)，14）不等式組的解集是（ ）
A.｛x｜0＜x＜2 B.｛x｜0＜x＜2.5
C.｛x｜0＜x＜ D.｛x｜0＜x＜3
解析：（1）答案：D；
解法一：①x≥0時(shí)，原不等式化為：（1＋x）（1－x）＞0，
∴（x＋1）（x－1）＜0，
∴0≤x＜1。
②x＜0時(shí)，原不等式化為：（1
10、＋x）（1＋x）＞0（1＋x）2＞0，
∴x≠－1，
∴x＜0且x≠－1。
綜上，不等式的解集為x＜1且x≠－1。
解法二：原不等式化為： ①或 ②
①解得－1＜x＜1，
②解得即x＜－1，
∴原不等式的解集為x＜1且x≠－1。
點(diǎn)評(píng)：該題體現(xiàn)了對(duì)討論不等式與不等式組的轉(zhuǎn)化及去絕對(duì)值的基本方法的要求。
（2）答案：C
解法一：當(dāng)x≥2時(shí)，原不等式化為，
去分母得（x+2）（3－x）＞（x+3）（x－2），
即－x2＋x＋6＞x2＋x－6，2x2－12＜0，。
注意x≥2，得2≤x＜；
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，原不等式化為，去分母得－x2＋x＋6＞－x2－x＋6。
即2x＞
11、0 注意0＜x＜2，得0＜x＜2。
綜上得0＜x＜，所以選C。
解法二：特殊值法.取x=2，適合不等式，排除A；取x=2.5，不適合不等式，排除D；再取x=，不適合不等式，所以排除B；選C。
點(diǎn)評(píng)：此題考查不等式的解法、直覺思維能力、估算能力。
例4．（1）（1995全國(guó)理，16）不等式（）＞3－2x的解集是_____。
（2）（xx全國(guó)文5，理4）在（0，2π）內(nèi)，使sinx＞cosx成立的x取值范圍為（ ）
A.（，）∪（π，） B.（，π）
C.（，） D.（，π）∪（，）
（3）（06山東理，3）設(shè)f(x)= 則不等式f(x)>2的解集為（ ）
12、
(A)（1，2）（3，+∞） (B)（，+∞）
(C)（1，2） （ ，+∞） (D)（1，2）
解析：（1）答案：｛x|－2＜x＜4｝
將不等式變形得
則－x2＋8＞－2x，從而x2－2x－8＜0，（x＋2）（x－4）＜0，－2＜x＜4，所以不等式的解集是｛x|－2＜x＜4｝．
評(píng)述：此題考查指數(shù)不等式的解法；
（2）答案：C
解法一：作出在（0，2π）區(qū)間上正弦和余弦函數(shù)的圖象，解出兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和，由圖4—6可得C答案。
圖4—6 圖4—7
解法二：在單位圓上作出一、三象限的對(duì)
13、角線，由正弦線、余弦線知應(yīng)選C.（如圖4—7）。
（3）C；
點(diǎn)評(píng)：特殊不等式的求解，轉(zhuǎn)化是一方面，借助于函數(shù)的性質(zhì)和圖象也是解決問題的有效手段。
題型3：含參數(shù)的不等式的求解問題
例5．（1）設(shè)不等式x2－2ax+a+2≤0的解集為M，如果M［1，4］，求實(shí)數(shù)a的取值范圍？
（2）解關(guān)于x的不等式＞1(a≠1)。
分析：該題實(shí)質(zhì)上是二次函數(shù)的區(qū)間根問題，充分考慮二次方程、二次不等式、二次函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系是關(guān)鍵所在；數(shù)形結(jié)合的思想使題目更加明朗。
解析：（1）M［1，4］有兩種情況：其一是M=，此時(shí)Δ＜0；其二是M≠，此時(shí)Δ=0或Δ＞0，分三種情況計(jì)算a的取值范圍。
設(shè)f(x
14、)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2)
當(dāng)Δ＜0時(shí)，－1＜a＜2，M=［1，4］；
當(dāng)Δ=0時(shí)，a=－1或2；
當(dāng)a=－1時(shí)M={－1}［1，4］；當(dāng)a=2時(shí)，m={2}［1，4］。
當(dāng)Δ＞0時(shí)，a＜－1或a＞2。
設(shè)方程f(x)=0的兩根x1，x2，且x1＜x2，
那么M=［x1，x2］，M［1，4］1≤x1＜x2≤4，
即，解得2＜a＜，
∴M［1，4］時(shí)，a的取值范圍是(－1，)。
（2）原不等式可化為：＞0，
①當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式與(x－)(x－2)＞0同解。
由于，
∴原不等式的解為(－∞，)∪(2，+∞)。
②
15、當(dāng)a＜1時(shí)，原不等式與(x－)(x－2) ＜0同解。
由于，
若a＜0，，解集為(，2)；
若a=0時(shí)，，解集為；
若0＜a＜1，，解集為(2，)。
綜上所述：當(dāng)a＞1時(shí)解集為(－∞，)∪(2，+∞)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解集為(2，)；當(dāng)a=0時(shí)，解集為；當(dāng)a＜0時(shí)，解集為(，2)。
點(diǎn)評(píng)：考查二次不等式的解與系數(shù)的關(guān)系及集合與集合之間的關(guān)系。本題主要涉及一元二次不等式根與系數(shù)的關(guān)系及集合與集合之間的關(guān)系，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想。 M=是符合題設(shè)條件的情況之一，出發(fā)點(diǎn)是集合之間的關(guān)系考慮是否全面，易遺漏；構(gòu)造關(guān)于a的不等式要全面、合理，易出錯(cuò)。
例6．（1）（06重慶理，15）設(shè)
16、a＞0,n1,函數(shù)f(x)=alg(x2-2n+1) 有最大值.則不等式logn(x2-5x+7) ＞0的解集為______ _；
（2）（06重慶文，15）設(shè)，函數(shù)有最小值，則不等式的解集為 。
解析：（1）由于函數(shù)有最大值，則。所以原不等式可轉(zhuǎn)化為，又因?yàn)楹愠闪?，由解得?
（2）由于函數(shù)有最小值，故。原不等式化為，即。
點(diǎn)評(píng)：含參數(shù)指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式的處理原則是轉(zhuǎn)化為一般的不等式，兼顧到底數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)為兩種情況，這也是分類的標(biāo)準(zhǔn)。
題型4：線性規(guī)劃問題
例7．（1）（06安徽，10）如果實(shí)數(shù)滿足條件， 那么的最大值為（ ）
A．
17、 B． C． D．
（2）（06天津理，3）設(shè)變量、滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ）
A． B． C． D．
解析：（1）當(dāng)直線過點(diǎn)(0，-1)時(shí)，最大，故選B；
（2）B．
點(diǎn)評(píng)：近年來線性規(guī)劃的一些基本運(yùn)算問題成為出題的熱點(diǎn)，該部分知識(shí)大多都屬于基礎(chǔ)題目，屬于中低檔題目。
例8．（1）（06四川理，8）某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為千克，甲、乙產(chǎn)品每千克可獲利潤(rùn)分別為元，月初一次性夠進(jìn)本月用原料各千克，要計(jì)劃本月生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙
18、產(chǎn)品各多少千克才能使月利潤(rùn)總額達(dá)到最大；在這個(gè)問題中，設(shè)全月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為千克，千克，月利潤(rùn)總額為元，那么，用于求使總利潤(rùn)最大的數(shù)學(xué)模型中，約束條件為（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（2）（06浙江理，3）在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是（ ）
(A) (B) (C) (D)
（3）（06北京理，13）已知點(diǎn) P（x，y）的坐標(biāo)滿足條件點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么|PO |的最小值等于，最大值等于。
解析：（1）約束條件為
19、，選C；
（2）A；
（3）、。
點(diǎn)評(píng)：線性規(guī)劃的應(yīng)用題也是高考的熱點(diǎn)，諸如求面積、距離、參數(shù)取值的問題經(jīng)常出現(xiàn)。
題型5：不等式的應(yīng)用
例9．（06湖南理，20）對(duì)1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗，清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為：為，要求清洗完后的清潔度為。有兩種方案可供選擇，方案甲：一次清洗；方案乙: 分兩次清洗。該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質(zhì)量變?yōu)?。設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是，用單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是，其中是該物體初次清洗后的清潔度。
(Ⅰ)分別求出方案甲以及時(shí)方案乙的用水量, 并比較哪一種方案用水量較少；
(Ⅱ)若采用方案乙，當(dāng)為某固
20、定值時(shí)，如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最小? 并討論取不同數(shù)值時(shí)對(duì)最少總用水量多少的影響。
解析：(Ⅰ)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設(shè)有=0.99,解得x=19。
由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程：
解得y=4,故z=4+3.即兩種方案的用水量分別為19與4+3。
因?yàn)楫?dāng),故方案乙的用水量較少。
（II）設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為與，類似（I）得，（*），
于是+，
當(dāng)為定值時(shí),，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。
此時(shí)
將代入（*）式得
故時(shí)總用水量最少, 此時(shí)第一次與第二次用水量分別為：
, 最少總
21、用水量是.
當(dāng)，故T()是增函數(shù)(也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷)。這說明，隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量。
點(diǎn)評(píng)：通過實(shí)際情景建立函數(shù)關(guān)系式求解不等式問題成為高考的亮點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是建立函數(shù)模型，通過函數(shù)的性質(zhì)特別是單調(diào)性建立不等關(guān)系求得結(jié)果。
例10．（xx全國(guó)文24、理22）如圖6—1，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長(zhǎng)方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a米，高度為b米.已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積ab成反比.現(xiàn)有制箱材料60平方米.問當(dāng)a、b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最?。ˋ、B
22、孔的面積忽略不計(jì)）?
解法一：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則y=，其中k＞0為比例系數(shù)，依題意，即所求的a、b值使y值最小。
根據(jù)題設(shè)，有4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），
得b=（0＜a＜30 ①，
于是
。
當(dāng)a+2=時(shí)取等號(hào)，y達(dá)到最小值。
這時(shí)a=6，a=－10（舍去） 將a=6代入①式得b=3，
故當(dāng)a為6米，b為3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。
解法二：依題意，即所求的a、b值使ab最大。
由題設(shè)知4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），
即a+2b+ab=30（a＞0，b＞0）。
∵a+2b≥2 ∴2＋ab≤30，
當(dāng)
23、且僅當(dāng)a=2b時(shí)，上式取等號(hào).
由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18
即當(dāng)a=2b時(shí)，ab取得最大值，其最大值為18。
∴2b2＝18．解得b=3，a=6。
故當(dāng)a為6米，b為3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。
點(diǎn)評(píng)：本題考查綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問題的能力，考查函數(shù)關(guān)系、不等式性質(zhì)、最大值、最小值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查利用均值不等式求最值的方法、閱讀理解能力、建模能力。
五．思維總結(jié)
1．在復(fù)習(xí)不等式的解法時(shí)，加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練與復(fù)習(xí)
解不等式的過程是一個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化的過程，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化可簡(jiǎn)化不等式（組），以快速、準(zhǔn)確求解。
加強(qiáng)分類討論思想的復(fù)習(xí)
24、.在解不等式或證不等式的過程中，如含參數(shù)等問題，一般要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.復(fù)習(xí)時(shí)，學(xué)生要學(xué)會(huì)分析引起分類討論的原因，合理的分類，做到不重不漏。
加強(qiáng)函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用訓(xùn)練。不等式、函數(shù)、方程三者密不可分，相互聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化.如求參數(shù)的取值范圍問題，函數(shù)與方程思想是解決這類問題的重要方法.在不等式的證明中，加強(qiáng)化歸思想的復(fù)習(xí)，證不等式的過程是一個(gè)把已知條件向要證結(jié)論的一個(gè)轉(zhuǎn)化過程，既可考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，又可考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，正因?yàn)樽C不等式是高考考查學(xué)生代數(shù)推理能力的重要素材，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起我們的足夠重視。
2．強(qiáng)化不等式的應(yīng)用
突出不等式的知識(shí)在解決實(shí)際問題中的
25、應(yīng)用價(jià)值，借助不等式來考查學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。
高考中除單獨(dú)考查不等式的試題外，常在一些函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何和實(shí)際應(yīng)用問題的試題中涉及不等式的知識(shí)，加強(qiáng)不等式應(yīng)用能力，是提高解綜合題能力的關(guān)鍵.因此，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加強(qiáng)這方面訓(xùn)練，提高應(yīng)用意識(shí)，總結(jié)不等式的應(yīng)用規(guī)律，才能提高解決問題的能力。
如在實(shí)際問題應(yīng)用中，主要有構(gòu)造不等式求解或構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的最值等方法，求最值時(shí)要注意等號(hào)成立的條件，避免不必要的錯(cuò)誤。
3．突出重點(diǎn)
綜合考查在知識(shí)與方法的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)命題，在不等式問題中蘊(yùn)含著豐富的函數(shù)思想，不等式又為研究函數(shù)提供了重要的工具，不等式與函數(shù)既是知識(shí)的結(jié)合點(diǎn)，又是數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法的交匯點(diǎn)，因而在歷年高考題中始終是重中之重。在全面考查函數(shù)與不等式基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，將不等式的重點(diǎn)知識(shí)以及其他知識(shí)有機(jī)結(jié)合，進(jìn)行綜合考查，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的綜合和知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，加大數(shù)學(xué)思想方法的考查力度，是高考對(duì)不等式考查的又一新特點(diǎn)。
2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第32講 不等式解法及應(yīng)用教案 新人教版
