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1、2022年高中數(shù)學(xué) 初高中銜接教程 第五講 幾何中的著名定理練習(xí) 新人教版
一、知識(shí)歸納
本節(jié)重點(diǎn)掌握三角形內(nèi)、外角平分線定理、中線長(zhǎng)定理，梅涅勞斯定理與塞瓦定理
二、例題解析
例1：如圖△ABC中，AD為∠BAC的角平分線
A
F
B
D
C
E
1
2
求證：
A
B
C
D
1
2
例2：如圖，△ABC中，AD為∠A的外角
平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求證：.
A
B
D
E
C
例3：如圖，AD為△ABC的中線，
求證：
例4：（梅涅勞斯定理）
A
F
B
C
2、
E
G
D
如果在△ABC的三邊BC，CA、AB或其延長(zhǎng)線上有點(diǎn)D、E、F且D、E、F三點(diǎn)共線，則
A
M
B
N
C
P
0
1
2
3
4
5
6
例5：設(shè)O為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，AO、BO、CO
分別交對(duì)邊于N、P、M，則.
三、課堂練習(xí)
1、如圖，P是AC中點(diǎn)，D、E為BC上兩點(diǎn)，
且BD＝DE＝EC，則BM：MN：NP＝ ；
B
D
A
E
S
C
M
2、如圖，在△ABC中，D、E分別在邊AB、
AC上且DE//BC，設(shè)BE與CD交于S，證明BM＝CM。
3、證明
3、：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)。
第五講 幾何中的著名定理
例題解析答案：
例1：證明：過點(diǎn)D作,垂足分別為E、F
∵∠1＝∠2 ∴DE＝DF
∴
∴
又 ∴＝
A
B
D
C
E
4
1
2
3
證明2：如圖，過點(diǎn)C作DA的平行線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由平行線分線段成比例定理得
＝
又∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠1＝∠4
∴∠3＝∠4 ∴AC＝AE ∴＝
這就是三角形內(nèi)角平分線定理
A
B
C
D
1
2
例2：這是三角形外角平分線定理，請(qǐng)同學(xué)們仿照上
面的方法給予證明。
例3：證明：過
4、點(diǎn)A作，垂足為E，則
,
∴
A
B
D
E
C
∴
∴
這就是三角形中的中線長(zhǎng)定理
A
F
B
C
E
G
D
例4：
證明：此題的證明方法有很多，如過點(diǎn)C作CG//AB
交FD于點(diǎn)G，∴
∴
又 ∴
注：梅涅勞斯的逆定理：如果在△ABC的三邊BC，CA，AB或其延長(zhǎng)線上有點(diǎn)D、E、F且，則D、E、F三點(diǎn)共線。
A
M
B
N
C
P
0
1
2
3
4
5
6
例5：
∴
同樣，塞瓦定理有逆定理，設(shè)M、P、N分別在△ABC的邊AB、BC、AC上且滿足
則AN、BP、CM相交于一點(diǎn)。
課堂練習(xí)答案：略
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