2022年高二數(shù)學(xué) 7.5曲線(xiàn)和方程(備課資料)大綱人教版必修

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1、2022年高二數(shù)學(xué) 7.5曲線(xiàn)和方程(備課資料)大綱人教版必修參考練習(xí)題1.如果曲線(xiàn)C上的點(diǎn)滿(mǎn)足方程F（x,y)=0，則以下說(shuō)法正確的是（ ）A.曲線(xiàn)C的方程是F(x,y)=0B.方程F(x,y)=0的曲線(xiàn)是CC.坐標(biāo)滿(mǎn)足方程F(x,y)=0的點(diǎn)在曲線(xiàn)C上D.坐標(biāo)不滿(mǎn)足方程F（x,y)=0的點(diǎn)不在曲線(xiàn)C上分析：判定曲線(xiàn)和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，必須注意兩點(diǎn)：（1）曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，即直觀地說(shuō)“點(diǎn)不比解多”稱(chēng)為純粹性；（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線(xiàn)上，即直觀地說(shuō)“解不比點(diǎn)多”，稱(chēng)為完備性，只有點(diǎn)和解一一對(duì)應(yīng)，才能說(shuō)曲線(xiàn)的方程，方程和曲線(xiàn).解：由已知條件，只能說(shuō)具備純粹性，但不一定

2、具備完備性.故選D.2.判斷下列結(jié)論的正誤，并說(shuō)明理由.（1）過(guò)點(diǎn)A（3，0）且垂直于x軸的直線(xiàn)的方程為x=0; (2)到x軸距離為2的點(diǎn)的直線(xiàn)方程為y=-2;(3)到兩坐標(biāo)軸的距離面積等于1的點(diǎn)的軌跡方程為xy=1;(4)ABC的頂點(diǎn)A（0，-3），B（1，0），C（-1，0），D為BC中點(diǎn)，則中線(xiàn)AD的方程為x=0.分析：判斷所給問(wèn)題的正誤，主要依據(jù)是曲線(xiàn)的方程及方程的曲線(xiàn)的定義，即考查曲線(xiàn)上的點(diǎn)的純粹性和完備性.解：（1）滿(mǎn)足曲線(xiàn)方程的定義.結(jié)論正確.（2）因到x軸距離為2的點(diǎn)的直線(xiàn)方程還有一個(gè)；y=2，即不具備完備性.結(jié)論錯(cuò)誤.（3）到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積等于1的點(diǎn)的軌跡方程應(yīng)為xy=

3、1,即xy=1.所給問(wèn)題不具備完備性.結(jié)論錯(cuò)誤.（4）中線(xiàn)AD是一條線(xiàn)段，而不是直線(xiàn)，x=0(-3y0),所給問(wèn)題不具備純粹性.結(jié)論錯(cuò)誤.3.方程（3x-4y-12)log2(x+2y)-3=0的曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，-3）、B（0，4）、C（）、D（4，0）中的（ ）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)分析：方程表示的兩條直線(xiàn)3x-4y-12=0和x+2y-9=0，但應(yīng)注意對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，x+2y0.解：由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，得x+2y0.A(0,-3)、C()不合要求.將B（0，4）代入方程檢驗(yàn)，不合要求.將D（4，0）代入方程檢驗(yàn)，合乎要求.故選B.4.已知點(diǎn)A（-3，0），B（0，），C

4、（4，-），D（3sec, tan),其中在曲線(xiàn)5x2-9y2=45上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）A.1 B.2 C.3 D.4分析：由曲線(xiàn)上的點(diǎn)與方程的解的關(guān)系，只要把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，若滿(mǎn)足這個(gè)方程，說(shuō)明這是這個(gè)方程的解，這個(gè)點(diǎn)就在該方程表示的曲線(xiàn)上.解：將點(diǎn)A（-3，0）、B（0，）、C（4，-）、D（3sec, tan)代入方程5x2-9y2=45檢驗(yàn)，只有點(diǎn)A和點(diǎn)B滿(mǎn)足方程.故選B.5.如果兩條曲線(xiàn)的方程F1(x,y)=0和F2(x,y)=0，它們的交點(diǎn)M（x0,y0)，求證：方程F1(x,y)+F2(x,y)=0表示的曲線(xiàn)也經(jīng)過(guò)M點(diǎn).（為任意常數(shù)）分析：只要將M點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程.F1(x,y

5、)+F2(x,y)=0，看點(diǎn)M的坐標(biāo)是否滿(mǎn)足方程即可.證明：M(x0,y0)是曲線(xiàn)F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交點(diǎn)，F(xiàn)1（x0,y0)=0,F2(x0,y0)=0.F1(x0,y0)+F2(x0,y0)=0(R)M(x0,y0)在方程F1(x,y)+F2(x,y)=0所表示的曲線(xiàn)上.評(píng)述：方程F1(x,y)+F2(x,y)=0也稱(chēng)為過(guò)曲線(xiàn)F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交點(diǎn)的曲線(xiàn)系方程.備課資料參考練習(xí)題1.動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A（0，3）的距離等于它到定直線(xiàn)y=-1的距離，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.分析：依據(jù)求曲線(xiàn)方程的步驟求解.解：設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)為M（x,y)，作MN垂直于直線(xiàn)y=

6、-1于點(diǎn)N，則由MN=AM得y+1=整理：y=x2+1所求軌跡方程為：y=x2+1.如圖所示：2.已知點(diǎn)A（-a,0）,B(a,0),(aR+)，若動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A、B構(gòu)成直角三角形，求直角頂點(diǎn)M的軌跡方程.分析：先依題意畫(huà)出草圖，幫助分析，然后按求曲線(xiàn)方程的步驟求解.解：如圖，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（x,y)由AMBM得kAMkBM=-1.即x2+y2=a2M、A、B三點(diǎn)構(gòu)成三角形M、A、B三點(diǎn)不共線(xiàn)，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)y0，從而得xa.所求軌跡的方程為：x2+y2=a2(xa)3.已知平面上兩個(gè)定點(diǎn)A、B之間的距離為2a，點(diǎn)M到A、B兩點(diǎn)的距離之比為21，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.分析：因已知條件中未給定坐

7、標(biāo)系，所以需“恰當(dāng)”建立坐標(biāo)系，考慮到對(duì)稱(chēng)性，由AB=2a,選A、B兩點(diǎn)所在的直線(xiàn)為x軸，AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).A（-a,0）,B(a,0)，再求解.解：如圖，以?xún)啥c(diǎn)A、B所在直線(xiàn)為x軸，線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)為y軸建立坐標(biāo)系.AB=2a.設(shè)A(-a,0),B(a,0),M(x,y)MAMB=21 =21=2化簡(jiǎn)，得（x-a)2+y2=a2所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為（x-a）2+y2=a2.4.一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A、B的距離的平方和為122，AB=10,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.分析一：因兩定點(diǎn)A、B的距離AB=10,選A、B所在直線(xiàn)為x軸，原點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，建立坐標(biāo)系.解法一：建立坐標(biāo)系，使AB在x軸上，原

8、點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，AB=10,A(-5,0)、B(5,0)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P（x,y)依題意PA2+PB2=122，得（x+5)2+y2+(x-5)2+y2=122.化簡(jiǎn)，x2+y2=36.分析二：取A、B所在直線(xiàn)為x軸，A為坐標(biāo)原點(diǎn)，因AB=10,則B（10，0），然后依題設(shè)條件，列出方程.解法二：建立直角坐標(biāo)系，使AB在x軸上，原點(diǎn)為A點(diǎn)，AB=10，則B（10，0），設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x,y).依題意，得x2+y2+(x-10)2+y2=122化簡(jiǎn)：x2+y2-10x-11=0.評(píng)述：不難發(fā)現(xiàn)，在上面兩種解法中，由于選取直角坐標(biāo)系的不同而導(dǎo)致曲線(xiàn)的繁簡(jiǎn)程度不一.解法一中利用對(duì)稱(chēng)性，取AB中點(diǎn)為坐標(biāo)系的原點(diǎn)

9、，解法二中直接將線(xiàn)段AB的左端點(diǎn)取為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，解法一的方程比解法二的方程簡(jiǎn)潔，但不能由此斷定任何情況下，取線(xiàn)段中點(diǎn)為坐標(biāo)系的原點(diǎn)就是最恰當(dāng)?shù)?，上面?中，如取A（-,0）,B(-,0)，則曲線(xiàn)方程為x2+y2=a2.備課資料參考練習(xí)題1.求點(diǎn)P到點(diǎn)F（4，0）的距離比它到直線(xiàn)x+5=0的距離小1的點(diǎn)的軌跡方程.分析：利用直接法列出方程.解：設(shè)P（x,y)為所求軌跡上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到F的距離比它到直線(xiàn)x+5=0的距離小1.故點(diǎn)P到F（4，0）的距離與點(diǎn)P到直線(xiàn)x+4=0的距離PD相等.PF=PD=x-(-4)y2=16x.2.過(guò)點(diǎn)P(2,4)作互相垂直的直線(xiàn)l1,l2，若l1交x軸于A，l2

10、交y軸于B，求線(xiàn)段AB中點(diǎn)M的軌跡方程.分析一：設(shè)M（x,y)為所求軌跡上任意一點(diǎn)，利用l1l2，由k1k2=-1求解.解法一：設(shè)M(x,y)為所求軌跡上任一點(diǎn)，M為AB中點(diǎn)，A（2x,0),B(0,2y),l1l2且l1,l2過(guò)點(diǎn)P（2，4），PAPBkPAkPB=-1kPA=(x1)kPB= =-1即：x+2y-5=0(x1)當(dāng)x=1時(shí)，A（2，0）、B（0，4）,此時(shí)AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2），它也滿(mǎn)足方程x+2y-5=0.所求點(diǎn)M的軌跡方程為x+2y-5=0.分析二：連結(jié)PM，由l1l2，APB為直角三角形,PM=AB解法二：連結(jié)PM.設(shè)M（x,y),則A(2x,0),B(0,2y)

11、l1l2，PAB為直角三角形PM=AB即化簡(jiǎn)：x+2y-5=0所求點(diǎn)M的軌跡方程為x+2y-5=0.3.已知定點(diǎn)A（4，0）和圓x2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)B，點(diǎn)P分AB之比為21，求點(diǎn)P的軌跡方程.分析：設(shè)點(diǎn)P（x,y)，B（x0,y0)由=2，找出x、y與x0、y0的關(guān)系.利用已知曲線(xiàn)方程消去x0、y0，得到x、y的關(guān)系.解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x,y）及圓上點(diǎn)B（x0,y0）=2,代入圓的方程x2+y2=4得即：(x-)2+y2=所求軌跡方程為：（x-）2+y2=.4.過(guò)不在坐標(biāo)軸上的定點(diǎn)M（a,b)任作一直線(xiàn)，分別交x軸、y軸于A、B，求線(xiàn)段AB中點(diǎn)P的軌跡方程.分析：利用平面幾何性質(zhì)求解.解法一：設(shè)

12、線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為P（x,y)作MCy軸，PDy軸，垂足分別為C、D，則：CM=a，OC=b，DP=x，OD=DB=yMCPDMBCPBD即（x0,y0)故所求軌跡方程為：2xy-bx-ay=0.分析二：利用B、M、A三點(diǎn)共線(xiàn)得kMA=kMB求解.解法二：設(shè)點(diǎn)A（m,0),B(0,n)則線(xiàn)段AB的中點(diǎn)P（x,y)的坐標(biāo)滿(mǎn)足m=2x,n=2y.B、M、A共線(xiàn)kMA=kMB 得an-mn+mb=0.由m=2x,n=2y得ay-2xy+bx=0.分析三：因AB直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)M（a,b)，設(shè)其方程為：y-b=k(x-a).將斜率k作參數(shù)求解.解法三：設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為P（x,y)，過(guò)點(diǎn)M（a,b)的直線(xiàn)方程為

13、：y-b=k(x-a),(k0)則A(a-,0),B(0,b-ak)中點(diǎn)P的坐標(biāo)為：消去k得所求方程為：2xy-bx-ay=0.備課資料參考練習(xí)題1.若直線(xiàn)l:y=x+b與曲線(xiàn)C:y=有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求b的取值范圍.分析：將曲線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程組的解的問(wèn)題來(lái)求解.解：由消去x得，得2y2-2by+b2-1=0(y0) 由題設(shè)條件直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程有兩個(gè)不同的非負(fù)實(shí)數(shù)根.解得1b.所求b的取值范圍為1b.2.已知拋物線(xiàn)y=-x2+mx-1與以A(3,0)，B（0，3）為端點(diǎn)的線(xiàn)段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.分析：由直線(xiàn)AB的方程為y=-x+3

14、，得線(xiàn)段AB的方程為:y=-x+3(0x3),由題設(shè)拋物線(xiàn)y=-x2+mx-1與線(xiàn)段AB：y=-x+3恰有一個(gè)公共點(diǎn)，問(wèn)題歸結(jié)為方程組在0x3內(nèi)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.解：線(xiàn)段AB方程為y=-x+3.(0x3).代入拋物線(xiàn)方程得x2-(m+1)x+4=0(0x3) 問(wèn)題歸結(jié)為方程x2-(m+1)x+4=0在0,3內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解.令f(x)=x2-(m+1)x+4,結(jié)合f(x)=x2-(m+1)x+4在區(qū)間0,3上的圖象可知.()當(dāng)m=3時(shí)，方程有兩相等實(shí)根，且對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間0,3內(nèi).（)當(dāng)f(0)f(3)0，即49-3(m+1)+40即m時(shí)，方程恰有一實(shí)根在0,3內(nèi).但當(dāng)m=時(shí)，由方程得x1=或x2=

15、3，即方程當(dāng)m=時(shí)，有兩實(shí)根在區(qū)間0，3內(nèi)，不合題意，舍去.綜上所述，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為m=3或m.3曲線(xiàn)2y2+3x+3=0與曲線(xiàn)x2+y2-4x-5=0的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）A.4 B.3 C.2 D.1解：由 得：2x2-11x-13=0. 即（2x-13）(x+1)=0.將 x1=-1,x2=分別代入，得即兩曲線(xiàn)有一個(gè)公共點(diǎn)（-1，0）.應(yīng)選D.評(píng)述：由曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)和它的方程的解之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可知，兩條曲線(xiàn)的交點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)是由這兩條曲線(xiàn)的方程所組成的方程組的實(shí)數(shù)解.方程組有幾個(gè)實(shí)數(shù)解，這兩條曲線(xiàn)就有幾個(gè)交點(diǎn).4.給出下列曲線(xiàn)，其中與直線(xiàn)y=-2x-3有交點(diǎn)的所有曲線(xiàn)是（ ）4x+2y-1=0 x2+y2=3 A. B.C. D.分析：如果不加深入思考，采用直線(xiàn)方程y=-2x-3分別與四個(gè)曲線(xiàn)方程分別聯(lián)立求交點(diǎn)，那是何等的復(fù)雜、冗長(zhǎng)，且易出現(xiàn)差錯(cuò).作為一個(gè)選擇題，這樣來(lái)處理，有些不恰當(dāng)，如何解呢？解：y=-2x-3可變形為4x+2y+6=0.顯然此直線(xiàn)與直線(xiàn)4x+2y-1=0平行.故排除A、C，將y=-2x-3代入 .并整理得9x2+24x+16=0,即(3x+4)2=0.解之得應(yīng)選D評(píng)述：本題考查曲線(xiàn)交點(diǎn)，立足基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)巧妙 .一個(gè)一個(gè)求交點(diǎn)較繁且易出錯(cuò).只有分析判斷能力強(qiáng)、思維靈活、正反面結(jié)合，才能快速準(zhǔn)確地求得解答，本題對(duì)分析、判斷能力要求較高.