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1、2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測 第六章 數(shù)列階段測試（八）理 新人教A版
一、選擇題
1．(xx·遼寧)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.若數(shù)列{}為遞減數(shù)列，則( )
A．d<0 B．d>0
C．a(chǎn)1d<0 D．a(chǎn)1d>0
答案 C
解析 設(shè)bn＝，則bn＋1＝，由于{}是遞減數(shù)列，則bn>bn＋1，即>.∵y＝2x是單調(diào)增函數(shù)，∴a1an>a1an＋1，∴a1an－a1(an＋d)>0，∴a1(an－an－d)>0，即a1(－d)>0，∴a1d<0.
2．已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，若4a1,2a2，a3成等差數(shù)列，則數(shù)列{}的前5項(xiàng)和為( )
A. B．2
2、 C. D.
答案 A
解析 設(shè)公比為q，∵4a2＝4a1＋a3，
∴4q＝4＋q2，∴q＝2.∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為1，
公比為的等比數(shù)列，
∴S5＝＝＝.
3．若數(shù)列{an}滿足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和數(shù)值最大時(shí)，n的值是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 B
解析 ∵an＋1－an＝－3，∴an－an－1＝－3，
∴{an}是以19為首項(xiàng)，以－3為公差的等差數(shù)列，
∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.
設(shè)前n項(xiàng)和最大，故有
∴∴≤n≤，
∵n∈N*，∴n＝7，故答案為B.
4．已知數(shù)
3、列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2an－1，則滿足≤2的正整數(shù)n的集合為( )
A．{1,2} B．{1,2,3,4}
C．{1,2,3} D．{1,2,4}
答案 B
解析 因?yàn)镾n＝2an－1，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1－1，
兩式相減得an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，
所以{an}是公比為2的等比數(shù)列，
又因?yàn)閍1＝2a1－1，解得a1＝1，
故{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1.
而≤2，即2n－1≤2n，所以有n＝1,2,3,4.
5．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( )
4、A．a(chǎn)n＝2n－1 B．a(chǎn)n＝2－
C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝
答案 C
解析 由題意得＝＋1，
則＋1＝2(＋1)，易知＋1＝2≠0，
所以數(shù)列{＋1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
則＋1＝2n，則an＝.
二、填空題
6．已知公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a10＝S4，則＝________.
答案 4
解析 由a10＝S4，
得a1＋9d＝4a1＋d＝4a1＋6d，
即a1＝d≠0.
所以S8＝8a1＋d＝8a1＋28d＝36d，
所以＝＝＝4.
7．設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若2S1,3S2,4S3成等差數(shù)列，則等比數(shù)列
5、{an}的公比q＝________.
答案
解析 由2S1,3S2,4S3成等差數(shù)列，
得6S2＝2S1＋4S3，
即3S2＝S1＋2S3,2(S2－S3)＋S2－S1＝0,
則－2a3＋a2＝0，所以公比q＝＝.
8．設(shè)數(shù)列{an}，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，則稱數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”，已知數(shù)列{bn}為“凸數(shù)列”，且b1＝1，b2＝－2，則數(shù)列{bn}前2 013項(xiàng)的和為________．
答案 －4
解析 由“凸數(shù)列”的定義，可寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，
即b1＝1，b2＝－2，b3＝－3，b4＝－1，b5＝2，b6＝3，b7＝1，b8＝－2，…
故數(shù)列{
6、bn}為周期為6的周期數(shù)列．
又b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6＝0，
故S2 013＝S335×6＋3
＝b1＋b2＋b3＝1－2－3＝－4.故填－4.
三、解答題
9．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，an＋1＝3Sn＋1，n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)記Tn為數(shù)列{n＋an}的前n項(xiàng)和，求Tn.
解 (1)由題意，an＋1＝3Sn＋1，
則當(dāng)n≥2時(shí)，an＝3Sn－1＋1.
兩式相減，得an＋1＝4an(n≥2)．
又因?yàn)閍1＝1，a2＝4，＝4，
所以數(shù)列{an}是以首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
7、是an＝4n－1(n∈N*)．
(2)因?yàn)門n＝(1＋a1)＋(2＋a2)＋(3＋a3)＋…＋(n＋an)
＝(1＋2＋…＋n)＋(1＋4＋42＋…＋4n－1)
＝＋
＝＋.
10．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝n2＋n(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)cn＝，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求使不等式Tn>對一切n∈N*都成立的最大正整數(shù)k的值．
解 (1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝6，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1
＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝n＋5.
而當(dāng)n＝1時(shí)，n＋5＝6，符合上式，
∴an＝n＋5(n∈N*)．
(2)cn＝＝
＝(－)，
∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn
＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]
＝.
∵Tn＋1－Tn＝－＝>0，
∴Tn單調(diào)遞增，故(Tn)min＝T1＝.
令>，得k<671，
所以kmax＝671.
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