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1、2022年高考數(shù)學(xué) 概率統(tǒng)計(jì)易錯(cuò)題評(píng)析教案概率是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，是銜接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要知識(shí)。這部分內(nèi)容由于問(wèn)題情境源于實(shí)際，貼近生活，所以學(xué)生樂(lè)學(xué)且易于接受；但這部分內(nèi)容由于易混點(diǎn)多，重復(fù)、遺漏情況不易察覺(jué)等，學(xué)生感覺(jué)易做但易錯(cuò)。下面我們將學(xué)生容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤列舉出來(lái),并加以辨別分析,以期對(duì)今后的學(xué)習(xí)提供幫助。一、概念理解不清致錯(cuò)例1拋擲一枚均勻的骰子，若事件A：“朝上一面為奇數(shù)”，事件B：“朝上一面的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3”，求P（A+B）錯(cuò)誤解法：事件A：朝上一面的點(diǎn)數(shù)是1，3，5；事件B：趄上一面的點(diǎn)數(shù)為1，2，3，P（A+B）=P（A）+P（B）=錯(cuò)因分析：事件A：朝上一面的點(diǎn)數(shù)是1，
2、3，5；事件B：趄上一面的點(diǎn)數(shù)為1，2，3，很明顯，事件A與事件B不是互斥事件。即P（A+B）P（A）+P（B），所以上解是錯(cuò)誤的。實(shí)際上：正確解法為：A+B包含：朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1，2，3，5四種情況P（A+B）=錯(cuò)誤解法2：事件A：朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1，3，5；事件B：朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1，2，3，即以A、B事件中重復(fù)的點(diǎn)數(shù)1、3P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB）=錯(cuò)因分析：A、B事件中重復(fù)點(diǎn)數(shù)為1、3，所以P（AB）=；這種錯(cuò)誤解法在于簡(jiǎn)單地類比應(yīng)用容斥原理致錯(cuò)正確解答：P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB）=例2某人拋擲一枚均勻骰子，構(gòu)造數(shù)列，使，記 求且的概率。錯(cuò)解：記事件A
3、：，即前8項(xiàng)中，5項(xiàng)取值1，另3項(xiàng)取值1的概率記事件B：，將分為兩種情形：（1）若第1、2項(xiàng)取值為1，則3，4項(xiàng)的取值任意（2）若第1項(xiàng)為1，第2項(xiàng)為1，則第3項(xiàng)必為1第四項(xiàng)任意P（B）=所求事件的概率為P=P（A）P（B）=錯(cuò)因分析：且是同一事件的兩個(gè)關(guān)聯(lián)的條件，而不是兩個(gè)相互獨(dú)立事件。對(duì)的概率是有影響的，所以解答應(yīng)為：正解： 前4項(xiàng)的取值分為兩種情形若1、3項(xiàng)為1；則余下6項(xiàng)中3項(xiàng)為1，另3項(xiàng)為-1即可。即；若1、2項(xiàng)為正，為避免與第類重復(fù)，則第3項(xiàng)必為-1，則后5項(xiàng)中只須3項(xiàng)為1，余下2項(xiàng)為-1，即，所求事件的概率為二、有序與無(wú)序不分致錯(cuò)例3甲、乙兩人參加普法知識(shí)競(jìng)賽，共有10個(gè)不同的題
4、目，其中選擇題6個(gè)，判斷題4個(gè)，甲、乙依次各抽一題。求：（1）甲抽到選擇題，乙提到判斷題的概率是多少？（2）甲、乙兩人中至少有1人抽到選擇題的概率是多少？錯(cuò)誤解法：（1）甲從選擇題抽到一題的結(jié)果為乙從判斷題中抽到一題的結(jié)果為而甲、乙依次抽到一題的結(jié)果為所求概率為：錯(cuò)因分析：甲、乙依次從10個(gè)題目各抽一題的結(jié)果，應(yīng)當(dāng)是先選后排，所以應(yīng)為。為避免錯(cuò)誤，對(duì)于基本事件總數(shù)也可這樣做：甲抽取一道題目的結(jié)果應(yīng)為種，乙再抽取余下的9道題中的任一道的結(jié)果應(yīng)為種，所以正確解答：（2）錯(cuò)誤解法：從對(duì)立事件考慮，甲、乙都抽到判斷題的結(jié)果為種，所以都抽到判斷題的概率為，所求事件的概率為錯(cuò)因分析：指定事件中指明甲、乙依
5、次各抽一題，那么甲、乙都提到判斷題的結(jié)果應(yīng)為種，所以所求事件概率應(yīng)為說(shuō)明：對(duì)于第（2）問(wèn)，我們也可以用這樣解答：，這里啟示我們，當(dāng)基本事件是有序的，則指定事件是有序的（指定事件包含在基本事件中）；當(dāng)基本事件是無(wú)序的，則指定事件也必?zé)o序。關(guān)鍵在于基本事件認(rèn)識(shí)角度必須準(zhǔn)確。例4已知8支球隊(duì)中有3支弱隊(duì)，以抽簽方式將這8支球隊(duì)分為A、B兩組，每組4支，求：A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率。錯(cuò)解1：將8支球隊(duì)均分為A、B兩組，共有種方法：A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊(duì)的分法為：先從3支弱隊(duì)取2支弱隊(duì)，又從5支強(qiáng)隊(duì)取2支強(qiáng)隊(duì)，組成這一組共有種方法，其它球隊(duì)分在另一組，只有一種分法。所求事件的概率為：
6、。錯(cuò)因分析：從基本事件的結(jié)果數(shù)來(lái)看，分組是講求順序的，那么指定事件：“A、B組中有一組有2支弱隊(duì)”應(yīng)分為兩種情形。即“A組有”或“B組有”，所以正確解答為：正解：或說(shuō)明：這道題也可從對(duì)立事件求解：3支弱隊(duì)分法同一組共有：種結(jié)果。所求事件概率為三、分步與分類不清致錯(cuò)例5某人有5把不同的鑰匙，逐把地試開(kāi)某房門(mén)鎖，試問(wèn)他恰在第3次打開(kāi)房門(mén)的概率？錯(cuò)誤解法：由于此人第一次開(kāi)房門(mén)的概率為，若第一次未開(kāi)，第2次能打開(kāi)房門(mén)的概率應(yīng)為；所以此人第3次打開(kāi)房門(mén)的概率為。錯(cuò)因分析：此人第3次打開(kāi)房門(mén)實(shí)際是第1次未打開(kāi)，第2次未打開(kāi)，第3次打開(kāi)“這三個(gè)事件的積事件” ，或者理解為“開(kāi)房門(mén)是經(jīng)過(guò)未開(kāi)、未開(kāi)、開(kāi)”這三個(gè)
7、步驟，不能理解為此事件只有“開(kāi)房門(mén)”這一個(gè)步驟，所以，正確解答應(yīng)為：正解：第1次未打開(kāi)房門(mén)的概率為；第2次未開(kāi)房門(mén)的概率為；第3次打開(kāi)房門(mén)的概率為，所求概率為：。例5某種射擊比賽的規(guī)則是：開(kāi)始時(shí)在距目標(biāo)100m處射擊，若命中記3分，同時(shí)停止射擊。若第一次未命中，進(jìn)行第二次射擊，但目標(biāo)已在150m遠(yuǎn)處，這時(shí)命中記2分，同時(shí)停止射擊；若第2次仍未命中，還可以進(jìn)行第3次射擊，此時(shí)目標(biāo)已在200m遠(yuǎn)處。若第3次命中則記1分，同時(shí)停止射擊，若前3次都未命中，則記0分。已知身手甲在100m處擊中目標(biāo)的概率為，他命中目標(biāo)的概率與目標(biāo)的距離的平方成反比，且各次射擊都是獨(dú)立的。求：射手甲得k分的概率為Pk，求P
8、3，P2，P1，P0的值。：設(shè)射手射擊命中目標(biāo)的概率P與目標(biāo)距離之間的關(guān)系為，由已知 錯(cuò)誤解法：錯(cuò)因分析：求P2時(shí)，將第150m處射擊命中目標(biāo)的概率作為第2次命中目標(biāo)的概率，隔離了第1次射擊與第2次射擊的關(guān)系，實(shí)際上，第2次射擊行為的發(fā)生是在第1次未擊中的前提下才作出的。P2應(yīng)為“第1次未擊中，第2次擊中”這兩個(gè)事件的積事件的概率。求P1時(shí)也如此。正解：四、考慮不周致錯(cuò)例6某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如下：78910P0.20.20.20.2現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高的環(huán)數(shù)作為他的成績(jī)記為，求：的分布列。錯(cuò)誤解法：的取值為8，9，10。=7，兩次環(huán)數(shù)為7,7；=8，兩次成績(jī)?yōu)?/p>
9、7，8或8，8；=9，兩次成績(jī)7，9或8，9或9，9；=10，兩次隊(duì)數(shù)為7，10或8，10或9，10或10，10。（分布列略）錯(cuò)因分析：，即兩次成績(jī)應(yīng)為7，8或8，7或8，8實(shí)際為三種情形，兩次環(huán)數(shù)分別為7,9（或9,7）；8,9（或9,8），9.9 同理例7將n個(gè)球等可能地放入到N（nn）個(gè)有編號(hào)的盒子中（盒子中容納球的個(gè)數(shù)不限）。求A：某指定的n個(gè)盒子中恰有一球的概率。錯(cuò)誤解法：將n個(gè)球等可能地放入到N個(gè)盒子中，共有Nn種方法。而指定的n個(gè)盆中各有一球的放法有：n!種，則所求概率：錯(cuò)因分析：這種解法不全面，如果球是有編號(hào)的，則答案是對(duì)的。若球是不可辨認(rèn)的，則答案錯(cuò)了，若球是不可辨認(rèn)的，則若
10、考慮盒子中球的個(gè)數(shù)而不考慮放的是哪幾個(gè)球，為此，我們用“”表示一個(gè)盒子；用“”表示一個(gè)球，先將盒子按編號(hào)12345n把n個(gè)球放入N中盒子中，形如：101001110001，正好看作N+1個(gè)“1”和n個(gè)“0”的全排列。由于兩邊必為“1”所以排法只有種；而指定的n個(gè)盒子中恰有一球的放法只有1種，故五、混淆“互斥”與“獨(dú)立”出錯(cuò)例8甲投籃命中概率為0.8，乙投籃命中概率為0.7，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少？錯(cuò)解：設(shè)“甲恰好投中2次”為事件A，“乙恰好投中2次”為事件B，則兩人恰好投中2次為A+B。所以P（A+B）=P（A）+P（B）=。錯(cuò)因分析：本題解答錯(cuò)誤的原因是把相互獨(dú)立同時(shí)發(fā)生
11、的事件當(dāng)成互斥事件來(lái)考慮。將兩人都恰好投中2次理解為“甲恰好投中2次”與“乙恰好投中2次”的和。正解：設(shè)“甲恰好投中2次”為事件A，“乙恰好投中2次”為事件B，則兩人恰好都投中2次為AB。所以P（AB）=P（A）P（B）=六.混淆有放回與不放回致錯(cuò)例9某產(chǎn)品有3只次品，7只正品，每次取1只測(cè)試，取后不放回，求：（1）恰好到第5次3只次品全部被測(cè)出的概率；（2）恰好到第k次3只次品全部被測(cè)出的概率的最大值和最小值。錯(cuò)解：（1）P（A）=（2）。錯(cuò)因分析：錯(cuò)解（1）的錯(cuò)誤的原因在于忽視了“不放回摸球”問(wèn)題的每一次摸球是不獨(dú)立的；而錯(cuò)解（2）的錯(cuò)誤的原因則在于忽視了“不放回摸球”問(wèn)題的每一次摸球袋內(nèi)球的總數(shù)是變的（比前一次少一個(gè)）。正解：（1）（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。
2022年高考數(shù)學(xué) 概率統(tǒng)計(jì)易錯(cuò)題評(píng)析教案
