2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 算法初步 第64講 隨機(jī)抽樣學(xué)案

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1、 第64講　隨機(jī)抽樣 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性． 2．會用簡單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法. 2017·江蘇卷，3 2015·湖北卷，2 2014·湖南卷，3 考查系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的應(yīng)用，利用隨機(jī)抽樣的方法解決抽取樣本的相關(guān)問題，利用頻率分布直方圖計算(求頻率、頻數(shù)等)樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征(平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等). 分值：5分 1．簡單隨機(jī)抽樣 (1)定義：設(shè)一個總體含有N個個體，從中__逐個不放回地__抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機(jī)會都__相等_

2、_，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣． (2)最常用的簡單隨機(jī)抽樣的方法：__抽簽法__和__隨機(jī)數(shù)法__． 2．系統(tǒng)抽樣 (1)定義：在抽樣時，將總體分成__均衡__的幾個部分，然后按照__事先確定__的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣方法叫做系統(tǒng)抽樣(也稱為機(jī)械抽樣)． (2)適用范圍：適用于__元素個數(shù)__很多且__均衡的__總體抽樣． 3．分層抽樣 (1)定義：在抽樣時，將總體__分成互不交叉__的層，然后按照__一定的比例__，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣． (2)分層抽樣的適用范圍：

3、當(dāng)總體是由__差異明顯的__幾個部分組成時，往往選用分層抽樣． 1．思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)． (1)從100件玩具中隨機(jī)拿出一件，放回后再拿出一件，連續(xù)拿5次，是簡單隨機(jī)抽樣．(　×　) (2)系統(tǒng)抽樣適用于元素個數(shù)很多且均衡的總體．(　√　) (3)要從1 002個學(xué)生中用系統(tǒng)抽樣的方法選取一個容量為20的樣本，需要剔除2個學(xué)生，這樣對被剔除者不公平．(　×　) (4)分層抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān)．(　×　) (5)某校即將召開學(xué)生代表大會，現(xiàn)從高一、高二、高三共抽取60名代表，則可用分層抽樣方法抽?。?　√　) 2．在抽樣過程中，每次抽

4、取的個體不再放回總體的為不放回抽樣，在分層抽樣、系統(tǒng)抽樣、簡單隨機(jī)抽樣三種抽樣中，不放回抽樣的有(　D　) A．0個　　 B．1個　　 C．2個　　 D．3個 解析 三種抽樣都是不放回抽樣． 3．假設(shè)要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的三聚氰胺是否超標(biāo)，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進(jìn)行檢驗，利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本時，先將800袋牛奶按000,001，…，799進(jìn)行編號，如果從隨機(jī)數(shù)表第7行第8列的數(shù)開始向右讀，則得到的第4個樣本個體的編號是__068__(下面摘取了隨機(jī)數(shù)表第7行至第9行)． 87 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21

5、 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 解析 由隨機(jī)數(shù)表，可以看出前4個樣本個體的編號是331,572,455,068，所以第4個樣本個體的編號為068. 4．某工廠平均每天生產(chǎn)某種機(jī)器零件大約10 000件，要求產(chǎn)品檢驗員每天抽取50件零件，檢查其質(zhì)量狀況，采用系統(tǒng)抽樣方法

6、抽取，若抽取的第一組中的號碼為0010，則第三組抽取的號碼為__0410__. 解析 根據(jù)系統(tǒng)抽樣方法的特點，從10 000件零件中抽取50件零件，組距＝200，當(dāng)?shù)谝唤M中抽到的號碼是0010時，第三組中抽到的號碼是0010＋(3－1)×200＝0410. 5．(2017·江蘇卷)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100件．為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取__18__件． 解析 應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取60×＝18(件)． 一　簡單隨機(jī)抽樣 簡單隨機(jī)抽樣的注意點

7、 (1)一個抽樣試驗?zāi)芊裼贸楹灧?，關(guān)鍵看兩點：一是抽簽是否方便；二是號簽是否易攪勻，一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法． (2)在使用隨機(jī)數(shù)表時，如遇到三位數(shù)或四位數(shù)時，可從選擇的隨機(jī)數(shù)表中的某行某列的數(shù)字計起，每三個或四個作為一個單位，自左向右選取，有超過總體號碼或出現(xiàn)重復(fù)號碼的數(shù)字要舍去． 【例1】 (1)以下抽樣方法是簡單隨機(jī)抽樣的是(　D　) A．在某年明信片銷售活動中，規(guī)定每100萬張為一個開獎組，通過隨機(jī)抽取的方式確定號碼的后四位為2 709的為三等獎 B．某車間包裝一種產(chǎn)品，在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格 C．某學(xué)校分別從行

8、政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解對學(xué)校機(jī)構(gòu)改革的意見 D．用抽簽方法從10件產(chǎn)品中選取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗 (2)總體由編號為01,02，…，19,20的20個個體組成．利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為(　D　) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A．08　　 B．07　　　　 C．02　　 D．01 解析 (1

9、)A，B項不是簡單隨機(jī)抽樣，因為抽取的個體間的間隔是固定的；C項不是簡單隨機(jī)抽樣，因為總體的個體有明顯的層次；D項是簡單隨機(jī)抽樣． (2)由題意知前5個個體的編號為08,02,14,07,01. 二　系統(tǒng)抽樣 解決系統(tǒng)抽樣問題的兩個關(guān)鍵步驟 (1)分組的方法應(yīng)依據(jù)抽取比例而定，即根據(jù)定義每組抽取一個樣本． (2)起始編號的確定應(yīng)用簡單隨機(jī)抽樣的方法，一旦起始編號確定，其他編號便隨之確定了． 【例2】 (1)為了解1 000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則分段的間隔為(　C　) A．50　　 B．40　　　　 C．25　　 D．20 (2)

10、某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1,2，…，840隨機(jī)編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為(　B　) A．11　　 B．12　　　　 C．13　　 D．14 解析 (1)由＝25，可得分段間隔為25. (2)由系統(tǒng)抽樣定義可知，所分組距為＝20，每組抽取一個，因為包含整數(shù)個組，所以抽取個體在區(qū)間[481,720]的數(shù)目為(720－480)÷20＝12. 三　分層抽樣 進(jìn)行分層抽樣時應(yīng)注意的幾點 (1)分層抽樣中分多少層，如何分層要視具體情況而定，總的原則是：層內(nèi)樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重

11、疊． (2)為了保證每個個體等可能入樣，所有層中每個個體被抽到的可能性相同． (3)在每層抽樣時，應(yīng)采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行抽樣． (4)抽樣比＝＝. 【例3】 (1)某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本中的老年教師人數(shù)為(　C　) 類別 人數(shù) 老年教師 900 中年教師 1 800 青年教師 1 600 合計 4 300 A．90　　 B．100 C．180　　 D．300 (2)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為3∶5∶7，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出

12、容量為n的樣本，其中甲種產(chǎn)品有18件，則樣本容量n＝(　B　) A．54　　 B．90 C．45　　 D．126 解析 (1)設(shè)該樣本中的老年教師人數(shù)為x，由題意及分層抽樣的特點可得＝， 故x＝180. (2)依題意得×n＝18，解得n＝90，即樣本容量為90. 1．某校數(shù)學(xué)教研組為了解學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情況，采用分層抽樣的方法從高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人進(jìn)行問卷調(diào)查．已知高二被抽取的人數(shù)為13，則n＝(　B　) A．660　　 B．720 C．780　　 D．800 解析 由已知條件可知抽樣比為＝，從而＝，解得n＝720，故選B． 2．做一次關(guān)于“

13、手機(jī)垃圾短信”的調(diào)查，在A，B，C，D四個單位回收的問卷份數(shù)依次成等差數(shù)列，再從回收的問卷份數(shù)中按單位分層抽取容量為100的樣本．若在B單位抽取20份問卷，則在D單位抽取的問卷份數(shù)是(　C　) A．30　　 B．35　　 C．40　　 D．65 解析 由條件可設(shè)從A，B，C，D四個單位抽取的問卷份數(shù)依次為20－d,20,20＋d,20＋2d，則(20－d)＋20＋(20＋d)＋(20＋2d)＝100，∴d＝10.∴在D單位抽取的問卷為20＋2d＝40(份)． 3．月底某商場想通過抽取發(fā)票的10%來估計該月的銷售總額．先將該月的全部銷售發(fā)票存根進(jìn)行編號分別為1,2,3，…，然后擬采用系統(tǒng)

14、抽樣的方法獲取一個樣本．若從編號為1,2，…，10的前10張發(fā)票存根中隨機(jī)抽取一張，然后再按系統(tǒng)抽樣的方法依編號順序逐次產(chǎn)生第二張、第三張、第四張、…，則抽樣中產(chǎn)生的第二張已編號的發(fā)票存根，其編號不可能是(　D　) A．13　　 B．17　　　　 C．19　　 D．23 解析 根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點可知，若第一組的編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，則第二組的編號為11,12,13，…，20，所以抽樣中產(chǎn)生的第二張已編號的發(fā)票存根的編號不可能是23. 4．某校高一年級有900名學(xué)生，其中女生400名．按男女比例用分層抽樣的方法，從該年級學(xué)生中抽取一個容量為45的樣本，則應(yīng)抽取的

15、男生人數(shù)為__25__. 解析 設(shè)應(yīng)抽取的男生人數(shù)為x，則＝， 解得x＝25. 易錯點　不清楚三種抽樣方法對個體抽取的等可能性 錯因分析：誤認(rèn)為被剔除的個體入選的概率與未被剔除的個體入選的概率不是相等的． 【例1】 從1 008名學(xué)生中抽取20人參加義務(wù)勞動，規(guī)定采用下列方法選?。合扔煤唵坞S機(jī)抽樣從1 008人中剔除8人，剩下1 000人再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取，那么在1 008人中每個人入選的概率(　　) A．都相等且等于　　　　 B．都相等且等于 C．不全相等　　　　 D．均不相等 解析 在用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取時，每個人不被剔除的概率是eq \f(1 000,1

16、 008，再按系統(tǒng)抽樣的方法每個人被抽取到的概率為，所以入選的概率是×＝. 答案 B 【跟蹤訓(xùn)練1】 對于一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當(dāng)選取簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同的方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為p1，p2，p3，則(　A　) A．p1＝p2＝p3　　 B．p1＝p2＜p3 C．p2＝p3＜p1　　 D．p1＝p3＜p2 解析 無論是采用簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣還是分層抽樣，保持的原則是每個個體被抽到的可能性是均等的，故選A． 課時達(dá)標(biāo)　第64講 [解密考綱]了解簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣這三種抽樣方法，單獨考查時，一般是以選擇題或

17、填空題的形式進(jìn)行考查． 一、選擇題 1．利用簡單隨機(jī)抽樣從含有8個個體的總體中抽取一個容量為4的樣本，則總體中每個個體被抽到的概率是(　A　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析 ∵每個個體被抽到的概率相等，∴每個個體被抽到的概率是＝. 2．(2018·石家莊質(zhì)檢)福利彩票“雙色球”中紅色球的號碼由編號為01,02，…，33的33個個體組成，某彩民利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取6組數(shù)作為6個紅色球的編號，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第6列和第7列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第6個紅色球的編號為(　C　) 49 54 43 54 82 17 37 93

18、 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 A．23　　 B．09　　 C．02　　 D．17 解析 從隨機(jī)數(shù)表第1行的第6列和第7列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出的6個紅色球的編號依次為21,32,09,16,17,02，故選出的第6個紅色球的編號為02. 3．某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為(　C　)

19、 A．93　　 B．123　　 C．137　　 D．167 解析 由圖知，初中女教師有110×0.7＝77名，高中女教師有150×0.4＝60名，故共有77＋60＝137名女教師． 4．某工廠在12月份共生產(chǎn)了3 600雙皮靴，在出廠前要檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽取，若從一、二、三車間抽取的產(chǎn)品數(shù)分別為a，b，c，且a，b，c構(gòu)成等差數(shù)列，則第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為(　C　) A．800　　 B．1 000　　 C．1 200　　 D．1 500 解析 ∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c，即第二車間抽取的產(chǎn)品數(shù)占抽樣產(chǎn)品總數(shù)的，由分層抽樣的性質(zhì)知，第二車

20、間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)占總數(shù)的，即為3 600×＝1 200雙皮靴． 5．參加夏令營的600名學(xué)生編號為001,002，…，600.采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機(jī)抽得的號碼為003.這600名學(xué)生分住在三個營區(qū)，從001到300在A營區(qū)，從301到495在B營區(qū)，從496到600在C營區(qū)，則三個營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為(　B　) A．26,16,8　　 B．25,17,8　　 C．25,16,9　　 D．24,17,9 解析 依題意知，在隨機(jī)抽樣中，首次抽到003號，以后每隔12個號抽到一個人，則分別是003,015,027,039，…，構(gòu)成以3為首項，12為公差的等差數(shù)列，

21、所以第k(k∈N地)組抽中的號碼是12k－9，令－3＋12(k－1)≤300，解得k≤，因此A營區(qū)被抽中的人數(shù)是25；同理，B、C營區(qū)分別被抽中的人數(shù)是17,8.故選B． 6．(2018·成都七中模塊檢測)交通管理部門為了解機(jī)動車駕駛員(簡稱駕駛員)對某新法規(guī)的知曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層抽樣調(diào)查．假設(shè)四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為數(shù)N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人．若在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43，則這四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為(　B　) A．101　　 B．808　　 C．1 212　　 D．2 012 解析 依題意可知，甲社區(qū)駕駛員的人數(shù)占

22、總?cè)藬?shù)的比例為＝，因此有＝，解得N＝808. 二、填空題 7．一所高校某專業(yè)大一、大二、大三、大四年級依次分別有100名，200名，400名，300名學(xué)生，學(xué)校為了解學(xué)生的就業(yè)傾向，用分層抽樣的方法從該專業(yè)這四個年級中共抽取40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則應(yīng)在該專業(yè)大三年級抽取的學(xué)生人數(shù)為__16__. 解析 由題意知，該專業(yè)大三年級抽取的學(xué)生人數(shù)為40×＝16. 8．為了解1 200名學(xué)生對學(xué)校某項教改實驗的意見，打算從中抽取一個容量為30的樣本，考慮采取系統(tǒng)抽樣，則分段的間隔k為__40__. 解析 由系統(tǒng)抽樣的定義知分段間隔k＝＝40. 9．(2018·山東青島模擬)某班級有50名學(xué)生

23、，現(xiàn)要采取系統(tǒng)抽樣的方法在這50名學(xué)生中抽出10名學(xué)生，將這50名學(xué)生隨機(jī)編號1～ 50號，并分組，第一組1～5號，第二組6～10號，……，第十組46～50號，若在第三組中抽得號碼為12的學(xué)生，則在第八組中抽得號碼為__37__的學(xué)生． 解析 因為12＝5×2＋2，即第三組抽出的是第二個學(xué)生，所以每一組都相應(yīng)抽出第二個學(xué)生，故第8組抽出的號碼為5×7＋2＝37號． 三、解答題 10．某初級中學(xué)共有學(xué)生2 000名，各年級男、女生人數(shù)如下表. 初一年級 初二年級 初三年級 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到初二年級

24、女生的概率是0.19. (1)求x的值； (2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，問應(yīng)在初三年級抽取多少名？ 解析 (1)∵＝0.19，∴x＝380. (2)初三年級人數(shù)為y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，應(yīng)在初三年級抽取的人數(shù)為×500＝12(名)． 11．一個城市有210家百貨商店，其中大型商店有20家，中型商店有40家，小型商店有150家．為了掌握各商店的營業(yè)情況，要從中抽取一個容量為21的樣本，按分層抽樣方法抽取樣本時，各類百貨商店要分別抽取多少家？寫出抽樣過程． 解析 ∵21∶210＝1∶10，∴

25、＝2，＝4，＝15. ∴應(yīng)從大型商店中抽取2家，從中型商店中抽取4家，從小型商店中抽取15家．抽樣過程： (1)計算抽樣比＝； (2)計算各類百貨商店抽取的個數(shù)：＝2，＝4，＝15； (3)用簡單隨機(jī)抽樣方法依次從大、中、小型商店中抽取2家、4家、15家； (4)將抽取的個體合在一起，就構(gòu)成所要抽取的一個樣本． 12．(2018·山東煙臺模擬)某公司有一批專業(yè)技術(shù)人員，對他們進(jìn)行年齡狀況和接受教育程度(學(xué)歷)的調(diào)查，其結(jié)果(人數(shù)分布)如下表. 學(xué)歷 35歲以下 35～50歲 50歲以上 本科 80 30 20 研究生 x 20 y (1)用分層抽樣的方法在

26、35～50歲年齡段的專業(yè)技術(shù)人員中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至少有1人的學(xué)歷為研究生的概率． (2)在這個公司的專業(yè)技術(shù)人員中按年齡狀況用分層抽樣的方法抽取N個人，其中35歲以下48人，50歲以上10人，再從這N個人中隨機(jī)抽取出1人，此人的年齡為50歲以上的概率為，求x，y的值． 解析 (1)用分層抽樣的方法在35～50歲中抽取一個容量為5的樣本，設(shè)抽取學(xué)歷為本科的人數(shù)為m， 所以＝，解得m＝3， 所以抽取了學(xué)歷為研究生的2人，學(xué)歷為本科的3人，分別記作S1，S2；B1，B2，B3. 從中任取2人的所有基本事件共有10個：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B2，B3)，(B1，B3)， 其中至少有1人的學(xué)歷為研究生的基本事件有7個：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)． 所以從中任取2人，至少有1人為研究生的概率為. (2)依題意得＝，解得N＝78， 所以35～50歲中被抽取的人數(shù)為78－48－10＝20，所以＝＝，解得x＝40，y＝5. 所以x＝40，y＝5. 11