2022年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列 專題11 計數(shù)原理（理）（含解析）

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1、2022年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列 專題11 計數(shù)原理（理）（含解析）排列與組合的綜合問題【背一背重點(diǎn)知識】1. 分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理如果每種方法都能將規(guī)定的事件完成，則要用分類加法計數(shù)原理將方法種數(shù)相加；如果需要通過若干步才能將規(guī)定的事件完成，則要用分步乘法計數(shù)原理將各步的方法種數(shù)相乘2. 排列與組合的定義(1)排列：從n個不同元素中，任取m(mn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)公式是An(n1)(n2)(nm1)或?qū)懗葾.(2)組合：從n個不同元素中，任取m(mn)個元素組成一組，叫做從n

2、個不同元素中取出m個元素的一個組合從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)公式是C或?qū)懗蒀.3. 組合數(shù)的性質(zhì)CC；CCC.【講一講提高技能】1必備技能：（1）在應(yīng)用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理時，一般先分類再分步，每一步當(dāng)中又可能用到分類加法計數(shù)原理（2）對于復(fù)雜的兩個原理綜合使用的問題，可恰當(dāng)列出示意圖或表格，使問題形象化、直觀化（3）求解排列、組合問題的思路：排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類相加，分步相乘具體地說，解排列、組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑：以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置先不考慮附加條件，計

3、算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)2典型例題：例1將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1，2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有（ ）A52種 B36種 C20種 D10種【答案】D【解析】試題分析：1號盒放1個，2號盒放3個，方法種數(shù)是，1號盒放2個，2號盒放2個，方法種數(shù)是，所以不同的放球方法有例2把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品與產(chǎn)品相鄰， 且產(chǎn)品與產(chǎn)品不相鄰，則不同的擺法有 種.分析：這是一道排列問題，先考慮產(chǎn)品A與B相鄰，再考慮當(dāng)A、B相鄰又滿足A、C相鄰，利用“間接法”.【解析】先考慮產(chǎn)品A與B相鄰，把A、B作為一個元素有種方

4、法，而A、B可交換位置，所以有種擺法，又當(dāng)A、B相鄰又滿足A、C相鄰，有種擺法，故滿足條件的擺法有種.【練一練提升能力】1.從甲、乙等10個同學(xué)中挑選4名參加某項(xiàng)公益活動，要求甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有（ ）A70種 B112種 C140種 D168種【答案】C【解析】 2.將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人,每人至少1張,如果分給同一人的2張參觀券連號,那么不同的分法種數(shù)是_.【答案】96【解析】這相當(dāng)于相鄰問題，連號的兩張票是12,23,34,45中的一種，把這兩張票合起來作為一張票，這樣相當(dāng)于4張不同的票給4個人，因此不同分法種種數(shù)為利用二項(xiàng)式定理求

5、指定項(xiàng)【背一背重點(diǎn)知識】1. 二項(xiàng)式定理：(ab)nCanb0Can1bCan2b2CanrbrCa0bn(r0,1,2，n)2.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：Tr1Canrbr，r0,1,2，n，其中C叫做二項(xiàng)式系數(shù)【講一講提高技能】1.必備技能：應(yīng)用二項(xiàng)式定理關(guān)鍵是掌握通項(xiàng)公式，在應(yīng)用通項(xiàng)公式時，要注意：它表示二項(xiàng)展開式的任意項(xiàng)，只要與確定，該項(xiàng)就隨之確定；是展開式中的第項(xiàng)，而不是第項(xiàng)；公式中，的指數(shù)和為且不能隨便顛倒位置；對二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式要特別注意符號問題2.典型例題：例1若（）的展開式中當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?項(xiàng)系數(shù)最大，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A B C D【答案】A【解析】例2若的展開式中項(xiàng)的系數(shù)

6、為20，則的最小值 .分析：展開式的通項(xiàng)為，令根據(jù)得，再應(yīng)用基本不等式即得解析：展開式的通項(xiàng)為，令得，所以，由得，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值為.【練一練提升能力】1.若的展開式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為，則展開式中常數(shù)項(xiàng)是（ ）A-10 B10 C-45 D45【答案】D【解析】 2.在的展開式中，的冪指數(shù)是整數(shù)的共有（ ）A項(xiàng) B項(xiàng) C項(xiàng) D項(xiàng)【答案】C【解析】試題分析：，若要是冪指數(shù)是整數(shù)，所以0，6，12，18，24，30，所以共6項(xiàng)，故選C二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)【背一背重點(diǎn)知識】1. 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對稱性：與首末兩端“等距離”兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即CC，CC，CC，.最大值：當(dāng)n為

7、偶數(shù)時，中間的一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Cn取得最大值；當(dāng)n為奇數(shù)時，中間的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Cn，Cn相等，且同時取得最大值2.各二項(xiàng)式系數(shù)的和aCCCCC2n；bCCCCCC2n2n1.【講一講提高技能】1必備技能：在處理二項(xiàng)式系數(shù)或者各項(xiàng)的系數(shù)時，“賦值思想”是一種重要方法，是處理組合數(shù)問題、系數(shù)問題的經(jīng)典方法2典型例題：例1已知的展開式中的系數(shù)為,則（）ABCD分析：根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則知，展開式中是由1與中的項(xiàng)相乘旂積再加上與中的項(xiàng)相乘的積，因此我們要求出中項(xiàng)，這可由二項(xiàng)式定理得到.【解析】中這兩項(xiàng)的系數(shù)分別為，因此有，解得.例2的二項(xiàng)展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為_【答案】15【解析】【練一練提升能力

8、】1.若的展開式中的系數(shù)為7,則實(shí)數(shù)_.【答案】【解析】展開式的通項(xiàng)為，令，則，因此的系數(shù)為，解得：.2. 設(shè)，則二項(xiàng)式展開式中的第4項(xiàng)為 【答案】【解析】（一） 選擇題（12*5=60分）1. 在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（ ）A B C D【答案】C【解析】，所以含項(xiàng)的系數(shù)為15.選C2.滿足,且關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對的個數(shù)為（）A14B13C12D10【答案】B【解析】3從甲、乙等10個同學(xué)中挑選4名參加某項(xiàng)公益活動，要求甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有（ ）A70種 B112種 C140種 D168種【答案】C【解析】 4 若的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為243，則的系數(shù)為（

9、）A10 B20 C30 D60【答案】C【解析】試題分析：由題意得，令，則可的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和，即，得，在展開式中，根據(jù)排列組合的知識可得的系數(shù)為，故選C5方程中的，且互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有（ ）A、60條 B、62條 C、71條 D、80條【答案】B【解析】本題可用排除法，6選3全排列為120，這些方程所表示的曲線要是拋物線，則且,，要減去，又和時，方程出現(xiàn)重復(fù)，用分步計數(shù)原理可計算重復(fù)次數(shù)為，所以不同的拋物線共有120-40-18=62條.故選B.6. 的展開式的常數(shù)項(xiàng)是（ ） 【答案】D【解析】第一個因式取，第二個因式取 得：，第一個因式取，第二個因

10、式取得： 展開式的常數(shù)項(xiàng)是7.學(xué)校在高二年級開設(shè)選修課程，其中數(shù)學(xué)開設(shè)了三個不同的班，選課結(jié)束后，有四名選修英語的同學(xué)要求改修數(shù)學(xué)，但數(shù)學(xué)選修班每班至多可接收兩名同學(xué)，那么安排好這四名同學(xué)的方案有（ ）A72種 B54種 C36種 D18種【答案】B【解析】 8. 的展開式中的系數(shù)是（）ABCD【答案】D【解析】展開式中系數(shù)為，展開式中的系數(shù)為，因此所求的系數(shù)為，選D.9.已知身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人，身穿藍(lán)顏色衣服的有一人，現(xiàn)將五人排成一行，要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰，則不同的排法共有（ ）A48種 B72種 C78種 D84種【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)題意知先使五個人的全

11、排列，共有種結(jié)果穿紅色相鄰或穿黃色相鄰兩種情況，有種，穿紅色相鄰且穿黃色也相鄰情況，有種，故穿相同顏色衣服的人不能相鄰的排法是，故選A10. 6位同學(xué)在畢業(yè)聚會活動中進(jìn)行紀(jì)念品的交換，任意兩位同學(xué)之間最多交換一次，進(jìn)行交換的兩位同學(xué)互贈一份紀(jì)念品，已知6位同學(xué)之間共進(jìn)行了13次交換，則收到份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為（ ） 或 或 或 或【答案】D【解析】沒有交換的次數(shù)為設(shè)僅有甲與乙，丙沒交換紀(jì)念品，則收到份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為人，設(shè)僅有甲與乙，丙與丁沒交換紀(jì)念品，則收到份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為人循環(huán)不滿足條件輸出，選C.11.設(shè)函數(shù) , 則當(dāng)x0時, 表達(dá)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）A-20B20C-15D1

12、5【答案】A【解析】 12.設(shè)，且，若能被13整除，則A0 B1 C11 D12【答案】D【解析】由于51=52-1，,又由于13|52,所以只需，,所以，選D.（二） 填空題（4*5=20分）13.將六個字母排成一排,且均在的同側(cè),則不同的排法共有_種(用數(shù)字作答)【答案】480【解析】六個字母排成一排，占6個位置，我們可以從中任選3個排，共有種排法，剩下的三個位置排，由于要求在的同側(cè)，則有4種排法（），因此總排法為.14. 某班級要從名男生、名女生中選派人參加社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為 （用數(shù)字作答）【答案】14【解析】6人中選4人的方案種，沒有女生的方案只有

13、一種，所以滿足要求的方案總數(shù)有14種。24將7個市三好學(xué)生名額分配給5個不同的學(xué)校，其中甲、乙兩校至少各有兩個名額，則不同的分配方案種數(shù)有 _ 【答案】35【解析】 15.二項(xiàng)式的展開式中，僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則其常數(shù)項(xiàng)是 【答案】70【解析】因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中，僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以，由的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為，令，所以，常數(shù)項(xiàng)是，答案為.16華師一“長飛班”由m位同學(xué)組成，學(xué)校專門安排n位老師作為指導(dǎo)老師，在該班級的一次活動中，每兩位同學(xué)之間相互向?qū)Ψ教嵋粋€問題，每位同學(xué)又向每位指導(dǎo)老師各提出一個問題，并且每位指導(dǎo)老師也向全班提出一個問題，以上所有問題互不相同，這樣共提出了51個問題，則 【答案】【解析】