2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題7 概率與統(tǒng)計(jì)、推理與證明、算法初步、框圖、復(fù)數(shù) 第四講 推理與證明 理

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題7 概率與統(tǒng)計(jì)、推理與證明、算法初步、框圖、復(fù)數(shù) 第四講 推理與證明 理 1．歸納推理． (1)歸納推理是由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理． (2)歸納推理的思維過程如下： ―→―→ 2．類比推理． (1)類比推理是由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理． (2)類比推理的思維過程如下： ―→―→ 1．“三段論”是演繹推理的一般模式，包括： (1)大前提——已知的一般性原理．

2、 (2)小前提——所研究的特殊情況． (3)結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷． 2．合情推理與演繹推理的區(qū)別． 歸納和類比是常用的合情推理，從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個(gè)別到一般的推理，類比是由特殊到特殊的推理；而演繹推理是由一般到特殊的推理．從推理所得的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確． 1．綜合法． 用P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為： ―→―→→…→ 2．分析法． 用Q表示要證明的結(jié)論，則分析法可用框圖表示為

3、： →→→…→ 反證法的證明過程可以概括為“否定—推理—否定”，即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致邏輯矛盾，從而達(dá)到新的否定(即肯定原命題)的過程．用反證法證明命題“若p，則q”的過程可以用下圖所示的框圖表示． 數(shù)學(xué)歸納法主要用于證明與整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，分兩步進(jìn)行： (1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立． 　　　　　　　　　　　　　　　　 判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)． (1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推

4、理得到的結(jié)論一定正確．(×) (2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理．(√) (3)在類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適．(×) (4)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯(cuò)誤的．(√) (5)一個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng)是1，2，3，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝n(n∈N*)．(×) (6)＝2，＝3，＝4，…，＝6(a，b均為實(shí)數(shù))，則可以推測a＝35，b＝6.(√) 1. (1)傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)．他們研究過如圖所

5、示的三角形數(shù)： 將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列{bn}，可以推測： ①b2 012是數(shù)列{an}中的第5_030項(xiàng)； ②b2k－1＝(用k表示)． (2)對于平面幾何中的命題：“夾在兩條平行直線之間的平行線段相等”，在立體幾何中，類比上述命題，可以得到命題：“夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段相等”，這個(gè)類比命題是真命題(填“真命題”或“假命題”)． 2．有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b?平面α，直線a?平面α，直線b∥平面α，則直線b∥直線a.”這段推理的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，

6、這是因?yàn)?A) A．大前提錯(cuò)誤　　　　　B．小前提錯(cuò)誤 C．推理形式錯(cuò)誤　 D．非以上錯(cuò)誤 3．(xx·山東卷)用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x2＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是(A) A．方程x2＋ax＋b＝0沒有實(shí)根 B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根 C．方程x2＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根 D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根 解析：反證法的步驟第一步是假設(shè)命題反面成立，而“方程x2＋ax＋b＝0至少有一實(shí)根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0沒有實(shí)根”．故選A. 4．(xx·新課標(biāo)Ⅱ卷)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A，B

7、，C三個(gè)城市時(shí)， 甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市； 乙說：我沒去過C城市． 丙說：我們?nèi)齻€(gè)去過同一城市． 由此可判斷乙去過的城市為A． 解析：由丙說可知，乙至少去過A，B，C中的一個(gè)城市，由甲說可知，甲去過A，C且比乙去過的城市多，故乙只去過一個(gè)城市，又沒去過C城市，故乙只去過A城市． 一、選擇題 1．已知＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式的規(guī)律，得到一般性的等式為(A) A.＋＝2 B.＋＝2 C.＋＝2 D.＋＝2 解析：由2＋6＝8，5＋3＝8，7＋1＝8，知選A. 2．若a，b，c是不全相等的正數(shù)，給出下列判斷： ①(a－b)2＋

8、(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b與a

9、1，2，3，聯(lián)立關(guān)于a，b，c的方程組可得，也可通過驗(yàn)證法求解． 4．已知f(x＋1)＝，f(1)＝1 (x∈N*)，猜想f(x)的表達(dá)式為(B) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 5．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通過計(jì)算a2，a3，a4，猜想an＝(B) A. B. C. D. 解析：由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1， ∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an， ∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an， ∴an＋1＝an(a≥2)．

10、 當(dāng)n＝2時(shí)，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2， ∴a2＝＝，a3＝a2＝，a4＝a3＝. 由a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝. 猜想an＝. 二、填空題 6. (xx·福建卷)若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四個(gè)關(guān)系： ①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一個(gè)是正確的，則符合條件的有序數(shù)組(a，b，c，d)的個(gè)數(shù)是6個(gè)． 解析：由于題意是只有一個(gè)是正確的所以①不成立，否則②成立，即可得a≠1，由b≠1即b＝2，3，4，可得b＝2，c＝1，d＝4，a＝3；b＝3，c＝1，d＝4，a＝2，兩種情況． 由c＝2，d＝4，a＝3，b＝1，所以有一種情況

11、． 由d≠4，即d＝1，2，3，可得d＝2，a＝3，b＝1，c＝4；d＝2，a＝4，b＝1，c＝3；d＝3，a＝2，b＝1，c＝4，共三種情況． 綜上共6種． 7．(xx·福建卷)一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k＝1，2，…，n)稱為第k位碼元．二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤(即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?)． 已知某種二元碼x1x2…x7的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組： 其中運(yùn)算⊕定義為：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0. 現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，

12、那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于5. 解析：因?yàn)閤2⊕x3⊕x6⊕x7＝0，所以x2，x3，x6，x7都正確．又因?yàn)閤4⊕x5⊕x6⊕x7＝1，x1⊕x3⊕x5⊕x7＝1，故x1和x4都錯(cuò)誤，或僅x5錯(cuò)誤．因?yàn)闂l件中要求僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤，故只有x5錯(cuò)誤． 8. (xx·陜西卷) 觀察分析下表中的數(shù)據(jù)： 多面體 面數(shù)(F) 頂點(diǎn)數(shù)(V) 棱數(shù)(E) 三棱錐 5 6 9 五棱錐 6 6 10 立方體 6 8 12 猜想一般凸多面體中，F(xiàn)，V，E所滿足的等式是F＋V－E＝2． 解析：①三棱錐：F＝5，V＝6，E＝9，得F＋V－E＝5＋6－9＝2；

13、②五棱錐：F＝6，V＝6，E＝10，得F＋V－E＝6＋6－10＝2； ③立方體：F＝6，V＝8，E＝12，得F＋V－E＝6＋8－12＝2； 所以歸納猜想一般凸多面體中，F(xiàn)，V，E所滿足的等式是：F＋V－E＝2.故答案為F＋V－E＝2. 三、解答題 9．觀察下表： 1， 2，3， 4，5，6，7， 8，9，10，11，12，13，14，15， … 問：(1)此表第n行的最后一個(gè)數(shù)是多少？ (2)此表第n行的各個(gè)數(shù)之和是多少？ (3)2 011是第幾行的第幾個(gè)數(shù)？ (4)是否存在n∈N*，使得第n行起的連續(xù)10行的所有數(shù)之和為227－213－120？若存在，求出n的值；

14、若不存在，請說明理由． 解析：(1)∵第n＋1行的第1個(gè)數(shù)是2n， ∴第n行的最后一個(gè)數(shù)是2n－1. (2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1) ＝＝3·22n－3－2n－2. (3)∵210＝1 024，211＝2 048，1 024＜2 011＜2 048，∴2 011在第11行，該行第1個(gè)數(shù)是210＝1 024，由2 011－1 024＋1＝988，知2 011是第11行的第988個(gè)數(shù)． (4)設(shè)第n行的所有數(shù)之和為an，第n行起連續(xù)10行的所有數(shù)之和為Sn. 則an＝3·22n－3－2n－2，an＋1＝3·22n－1－2n－1， an＋2＝3·

15、22n＋1－2n，…，an＋9＝3·22n＋15－2n＋7， ∴Sn＝3(22n－3＋22n－1＋…＋22n＋15)－(2n－2＋2n－1＋…＋2n＋7)＝3·－＝22n＋17－22n－3－2n＋8＋2n－2， 當(dāng)n＝5時(shí)，S5＝227－128－213＋8＝227－213－120. ∴存在n＝5使得第5行起的連續(xù)10行的所有數(shù)之和為227－213－120. 10．蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，下圖為一組蜂巢的截面圖．其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以f(n)表示第n幅圖的蜂巢總數(shù)． (1)試給

16、出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表達(dá)式(不要求證明)； (2)證明：＋＋＋…＋＜. 解析：(1)f(4)＝37，f(5)＝61. 由于f(2)－f(1)＝7－1＝6， f(3)－f(2)＝19－7＝2×6， f(4)－f(3)＝37－19＝3×6， f(5)－f(4)＝61－37＝4×6， … 因此，當(dāng)n≥2時(shí)，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)， 所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1. 又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1， 所以f(n)＝3n2－3n＋1(直接給出結(jié)果也可)． (2)當(dāng)n≥2時(shí)， ＝＜＝. 當(dāng)n＝1時(shí)，顯然結(jié)論成立， 當(dāng)n≥2時(shí)，＋＋＋…＋＜1＋[＋(－)＋…＋(－)]＝1＋＜1＋＝. 綜上，結(jié)論成立．