2022年高中數(shù)學《向量的數(shù)量積》教案6 蘇教版必修4

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1、2022年高中數(shù)學《向量的數(shù)量積》教案6 蘇教版必修4 【三維目標】： 一、知識與技能 1．通過物理中“功”等實例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理、幾何意義； 2．體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系； 3.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的共線及垂直的充要條件 3．掌握數(shù)量積的運算性質(zhì)，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題； 4．體會類比的數(shù)學思想和方法，進一步培養(yǎng)學生抽象概括、推理論證的能力。 二、過程與方法 教材利用同學們熟悉的物理知識（“做功”）得到向量的數(shù)量積的含義及其物理意義、幾何意義；從問題的探究和解決中感受什么

2、是向量的數(shù)量積；為了幫助學生理解和鞏固相應的知識，教材設置了例題，通過講解例題，培養(yǎng)學生邏輯思維能力. 三、情感、態(tài)度與價值觀 通過本節(jié)內(nèi)容的學習，使同學們認識到向量的數(shù)量積與物理學的做功有著非常緊密的聯(lián)系；讓學生進一步領悟數(shù)形結合的思想；同時以較熟悉的物理背景去理解向量的數(shù)量積，有助于激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣、積極性和勇于創(chuàng)新的精神. 【教學重點與難點】： 重點：向量數(shù)量積的含義及其物理意義、幾何意義； 難點：向量數(shù)量積的含義、數(shù)量積的運算性質(zhì)； 【學法與教學用具】： 1. 學法： (1)自主性學習+探究式學習法： (2)反饋練習法：以練習來檢驗知識的應用情況，找出未掌握的

3、內(nèi)容及其存在的差距. 2. 教學用具：多媒體、實物投影儀. 【授課類型】：新授課 【課時安排】：1課時 【教學思路】： 一、創(chuàng)設情景，揭示課題 【提出問題】：向量的運算有向量的加法、減法、數(shù)乘，那么向量與向量能否“相乘” 呢？ S F α 二、研探新知 1.平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義 物理學中，物體所做的功的計算方法： （其中是與的夾角） 2.向量夾角 已知兩個向量和，作=，=，則（）叫做向量與的夾角。 當時，與同向； 當時，與反向； 當時，與的夾角是，我們說與垂直，記作． 3.向量數(shù)量積的定義： 已知兩個非零向量和，它們的夾角

4、為，則數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即． 【說明】：①實數(shù)與向量的積與向量數(shù)量積的本質(zhì)區(qū)別：兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，不是向量，這個數(shù)量的大小與兩個向量的長度及其夾角有關，符號由cosq的符號所決定；實數(shù)與向量的積是一個向量； ②兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成；今后要學到兩個向量的外積×，而是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分。符號“· ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替； ③規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)量積是； ④在實數(shù)中，若10，且，則；但是在數(shù)量積中，若1，且=，不能推出=.因為其中cosq有可能為0； ⑤已知實數(shù)、、()，則.但是=·=；

5、 ⑥在實數(shù)中，有，但是()· 1 ·(×) 顯然，這是因為左端是與共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線. 4.數(shù)量積的性質(zhì)： 設、設、都是非零向量，是與的夾角，則 ①；（||||≠0） ②當與同向時，；當與反向時，； 特別地：或； ③； ④； ⑤若是與方向相同的單位向量，則． C 5．數(shù)量積的幾何意義 （1）投影的概念： 如圖，=，過點作垂直于直線，垂足為，則． 我們把（││cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影， 當為銳角時射影為正值；

6、 當為鈍角時射影為負值； 當為直角時射影為0； 當 = 0°時射影為； 當= 180°時射影為 （2）提出問題：數(shù)量積的幾何意義是什么？ 期望學生回答：數(shù)量積等于的長度||與在的方向上的投影||的乘積。 三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維 例1．判斷正誤，并簡要說明理由 ①·=； ②·=； ③-=； ④=||||； ⑤若，則對任一非零，有； ⑥=0，則與至少有一個為； ⑦對任意向量、、都有()·=·(×)； ⑧與是兩個單位向量，則= 例2（教材例1

7、）已知向量與向量的夾角為，||＝2，||＝3，分別在下列條件下求：（1）；（2）∥；（3）⊥ 例3 已知正的邊長為，設=，=，=，求． 解：如圖，與、與、與夾角為， ∴原式 ． 變式1： 已知，，，且，求． 解：作=，=，∵，∴=， ∵且， ∴中，， ∴，∴，， 所以，． 四、鞏固深化，反饋矯正 1.當與同向時,=___,當與反向時,=___，特別地，·，|| 2.⊥，； 3.已知||=10,||=12，且(3)·()，則與的夾角是_____ 4.已知||=2,||=，與的夾角為，要使-與垂直，則 5.已知

8、||=4,||=5，+,求（1）；（2）(2-)·(+3) 6.已知||=4,||=3,（1）若與夾角為，求(+2)·(-3)； （2）若(2-3)·(2+)=61，求與的夾角 7.已知||=,||=3，和的夾角為，求當向量+與+的夾角為銳角時的取值范圍 8.已知+,2+，且||=||=1, ⊥, （1）求,；（2）若與的夾角為，求值。 五、歸納整理，整體認識 1.有關概念：向量的夾角、射影、向量的數(shù)量積. 2.向量數(shù)量積的幾何意義和物理意義. 3.向量數(shù)量積的六條性質(zhì). 六、承上啟下，留下懸念 1．填空 ①已知，，與的夾角，則； ②已知，在上的投影是，則 8 ； ③已知，，，則與的夾角． ④若非零向量與滿足，則 0 ． 2．預習向量數(shù)量積的運算規(guī)律 七、板書設計（略） 八、課后記： 概念辨析：正確理解向量夾角定義 gkxx