2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 4.2 函數(shù)與方程教案 新課標(biāo)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 4.2 函數(shù)與方程教案 新課標(biāo)【知識歸納】1函數(shù)零點(diǎn)的定義：方程有實(shí)根函數(shù)圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)。2函數(shù)變號零點(diǎn)與不變號零點(diǎn)（二重零點(diǎn)）性質(zhì)：（1）定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不間斷的一條曲線，并且有那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個也就是方程的實(shí)數(shù)根。（2）變號了一定有零點(diǎn)（能證明f(x)單調(diào)則有且只有一個零點(diǎn)）；不變號不一定無零點(diǎn)（如二重零點(diǎn)）：在相鄰兩個零點(diǎn)之間所有的函數(shù)值保持同號。3怎樣求零點(diǎn)：即為求解方程的根？解一：利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作的對應(yīng)值表、若在區(qū)間上連續(xù)，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個實(shí)數(shù)根、若能證明在單調(diào)性，則在有且只有一個零

2、點(diǎn)、再在其它區(qū)間內(nèi)同理去尋找。解二：試探著找到兩個x對應(yīng)值為一正一負(fù)（至少有一個）；再證單調(diào)增函數(shù)即可得有且只有一個。解三：構(gòu)造兩個易畫函數(shù)，畫圖，看圖象交點(diǎn)個數(shù)，很實(shí)用。4用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟：在給定精確度，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的步驟是：（1）確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精確度；（2）求區(qū)間的中點(diǎn)；（3）計(jì)算：若=0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)，計(jì)算終止；若，則令b=c（此時零點(diǎn)）；若則令a=c（此時零點(diǎn)。(用列表更清楚)（4）判斷是否達(dá)到精確度：即若，則得到零點(diǎn)近似值；否則重復(fù)（2）（4）。說明：用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法僅對函數(shù)的變號零點(diǎn)適合，對函數(shù)的不變號零點(diǎn)不使用；用二分法求函

3、數(shù)的零點(diǎn)近似值必須用上節(jié)的三種方法之一先求出零點(diǎn)所在的區(qū)間?！镜湫屠}】一、確定零點(diǎn)的個數(shù)例1（1）二次函數(shù)中，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)是（ ）A1個 B2個 C0個 D無法確定分析：分析條件，是二次項(xiàng)系數(shù)，確定拋物線的開口方向，所以，由此得解。解：因?yàn)椋?，即與異號，即或所以函數(shù)必有兩個零點(diǎn)，故選B。（2）函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為_。解：可由試根法求得的一根為，從而可得，由函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為3個。例2 函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（ ）A（1，2） B（2，3） C和（3，4） D分析：從已知的區(qū)間，求和，判斷是否有。解：因?yàn)?，故在?，2）內(nèi)沒有零點(diǎn)，非A。又，所以，所以在（2，3）內(nèi)有一個零點(diǎn)，選B。例2

4、下列函數(shù)中，在區(qū)間1，2上有零點(diǎn)的是解析：直接求出x=1，符合首先判斷一元二次函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，通過求所對應(yīng)方程判別式的大小：0,且,零點(diǎn) 即判斷與的交點(diǎn)情況，需要畫圖，并判斷交點(diǎn)所在區(qū)間 同理，判斷與的交點(diǎn)情況答案例4 試證明函數(shù)在上有且僅有一個零點(diǎn)。證明：且，而函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)。又，在上是一個單調(diào)遞增函數(shù)。如果函數(shù)有不僅一個的零點(diǎn)，可設(shè)為它的兩個不等的零點(diǎn)，則有，這與在上是一個單調(diào)遞增函數(shù)矛盾，函數(shù)在上有且僅有一個零點(diǎn)。二、求函數(shù)零點(diǎn)的近似值例5求方程在區(qū)間內(nèi)的實(shí)數(shù)解。（ 精確到0.01）解：考察函數(shù)由于，函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)，即方程在區(qū)間內(nèi)有解。取0，2的中點(diǎn)1， 方程在

5、1，2內(nèi)有解，又所以在區(qū)間存在零點(diǎn)，方程在1，1.5內(nèi)有解，如此下去，取區(qū)間作為計(jì)算器的初始區(qū)間。用二分法逐次計(jì)算列表如下：區(qū)間中點(diǎn)坐標(biāo)中點(diǎn)函數(shù)值取區(qū)間0.51.250.251.3750.1251.31250.06251.343750.031251.3281250.0156251.32031250.0078125，至此可以看出，函數(shù)的零點(diǎn)落在區(qū)間長度小于0.01的區(qū)間內(nèi)，因?yàn)樵搮^(qū)間的所有值精確到0.01的都是1.32，所以1.32是函數(shù)精確到0.01的一個近似零點(diǎn)。例6已知二次函數(shù)的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象與直線的兩個交點(diǎn)間距離為8，（1）求函數(shù)的表達(dá)式。（2）證明：當(dāng)時，關(guān)于

6、的方程有三個實(shí)數(shù)解。解：（1） （2）由得，即：，在同一坐標(biāo)系作出和的大致圖象，其中的圖象是以坐標(biāo)軸為漸近線，且位于第一、三象限的雙曲線，的圖象是以為頂點(diǎn)，開口向下的拋物線。因此，與的圖象在第三象限有一個交點(diǎn)。即有一個負(fù)數(shù)解。又，當(dāng)時，當(dāng)時，在第一象限的圖象上存在一點(diǎn)在圖象的上方。與的圖象在第一象限有兩個交點(diǎn)，即有兩個正數(shù)解。因此，方程有三個實(shí)數(shù)解。方法二：由得，因式分解為：，即：或，又不是的根，故可化為：，只須證明和不是的根，且具有兩個不等的實(shí)根。【作業(yè)】1已知關(guān)于的方程2= 0有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍。答案：042已知二次函數(shù)（1）若，且，試證明必有兩個零點(diǎn)。（2）若對于且，方程有兩個不

7、等的實(shí)根，證明必有一實(shí)根屬于。證明：（1）又，即，又，方程有兩個不等實(shí)根，所以函數(shù)有兩個實(shí)根。（2）令，則，在內(nèi)必有一實(shí)根，即在內(nèi)必有一實(shí)根。3已知關(guān)于x的二次函數(shù)(1)求證：對于任意，方程必有實(shí)數(shù)根；(2)若，求證：方程在區(qū)間上各有一個實(shí)數(shù)根(1)由知必有實(shí)數(shù)根.或由得必有實(shí)數(shù)根 (2)當(dāng)時，因?yàn)?，所以方程在區(qū)間上各有一個實(shí)數(shù)根4已知，t，8，對于f(t)值域內(nèi)的所有實(shí)數(shù)m，不等式恒成立，求x的取值范圍。解析t，8，f(t)，3原題轉(zhuǎn)化為：0恒成立，為m的一次函數(shù)（這里思維的轉(zhuǎn)化很重要）當(dāng)x2時，不等式不成立。x2。令g(m)，m，3問題轉(zhuǎn)化為g(m)在m，3上恒對于0，則：；解得：x2或x1評析：首先明確本題是求x的取值范圍，這里注意另一個變量m，不等式的左邊恰是m的一次函數(shù)，因此依據(jù)一次函數(shù)的特性得到解決。在多個字母變量的問題中，選準(zhǔn)“主元”往往是解題的關(guān)鍵。