4、論如何都必須在定義域內(nèi)或給定的范圍內(nèi)進(jìn)行．
【易錯(cuò)點(diǎn)睛】
誤區(qū)1． 用定義證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，錯(cuò)用“自己證明自己”而致錯(cuò)（循環(huán)論證）．
【例1】（xx廣州綜合測(cè)試）證明：函數(shù)f(x)＝在[0，＋∞)上是增函數(shù)．
【錯(cuò)證】設(shè)0≤x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝－，所以＜，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，故函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)．
【剖析】該證法犯了邏輯上的循環(huán)論證的錯(cuò)誤，本來(lái)要證明f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，可在由x1＜x2得到＜時(shí)，就用到了f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)的結(jié)論，犯下了“自己證明自己”的錯(cuò)誤．
誤區(qū)2．求復(fù)合函數(shù)的
5、單調(diào)區(qū)間時(shí)，忽視函數(shù)的定義域而致錯(cuò)
【例2】（xx浙江寧波十校聯(lián)考）求y＝的單調(diào)區(qū)間．
【錯(cuò)解】令t＝x2－4x－12，則t＝x2－4x－12在(－∞，2]上遞減，在[2，＋∞)上遞增，又y＝是增函數(shù)，所以y＝的單調(diào)區(qū)間是(－∞，2]與[2，＋∞)，其中在(－∞，2]上遞減，在[2，＋∞)上遞增．
【剖析】上述解答錯(cuò)誤的原因是忽視了函數(shù)的定義域{x|x≤－2或x≥6}．
【正解】由x2－4x－12≥0，得x≤－2或x≥6，令t＝x2－4x－12，則t＝(x－2)2－16在(－∞，2]上是減函數(shù)，在[2，＋∞)上是增函數(shù)．又y＝是增函數(shù)，所以y＝的單調(diào)區(qū)間是(－∞，－2]與[6，＋∞)，
6、其中在(－∞，－2]上遞減，在[6，＋∞)上遞增．
【點(diǎn)撥】求解復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，必須考慮函數(shù)的定義域，建立“定義域優(yōu)先”意識(shí)．
誤區(qū)3． 忽視隱含條件致誤
【例3】已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是( )
A．(0，1) B．(0，) C．[，) D．[，1)
【錯(cuò)解】誤選B項(xiàng)的原因只是考慮到了使得各段函數(shù)在相應(yīng)定義域內(nèi)為減函數(shù)的條件，要知道函數(shù)在R上為減函數(shù)，還需使得f(x)＝(3a－1)x＋4a在x＜1上的最小值不小于f(x)＝logax在x≥1上的最大值，多數(shù)考生易漏掉這一限制條件而造成失誤．
7、【正解】據(jù)題意使原函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)，只需滿足：?≤a＜．故選C．
【點(diǎn)評(píng)】一般地，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b)上為增函數(shù)，在區(qū)間[b，c]上為增函數(shù)，則不一定說(shuō)明函數(shù)f(x)在[a，c]為增函數(shù)，如圖（1），由圖像可知函數(shù)f(x)在[a，c]上整體不呈上升趨勢(shì)，故此時(shí)不能說(shuō)f(x)在[a，c]上為增函數(shù)，若圖象滿足如圖（2），即可說(shuō)明函數(shù)在[a，c]上為增函數(shù)，即只需f(x)在[a，b)上的最大值不大于f(x)在[b，c]上的最小值即可，同理減函數(shù)的情況依據(jù)上述思路也可推得相應(yīng)結(jié)論．
需注意以下兩點(diǎn)：
(1)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集，如果一個(gè)函數(shù)在其定義域的幾個(gè)區(qū)間上
8、都是增函數(shù)(或減函數(shù))，不能認(rèn)為這個(gè)函數(shù)在其定義域上就是增函數(shù)(或減函數(shù))，例如函數(shù)f(x)＝在(－∞，0)上是減函數(shù)，在(0，＋∞)上也是減函數(shù)，但不能說(shuō)f(x)＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是減函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)x1＝－1，x2＝1時(shí)，有f(x1)＝－1＜f(x2)＝1不滿足減函數(shù)的定義．
(2)當(dāng)一個(gè)函數(shù)的增區(qū)間(或減區(qū)間)有多個(gè)時(shí)，一般不能直接用“∪”將它們連接起來(lái)，例如：函數(shù)
y＝x3－3x的單調(diào)增區(qū)間有兩個(gè)：(－∞，－1)和(1，＋∞)不能寫(xiě)成(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
熱點(diǎn)二 函數(shù)的奇偶性
1．【xx高考廣東卷文第5題】下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（ ）
A．
9、 B． C． D．
【答案】A
2．【xx高考全國(guó)1卷文第5題】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且是奇函?shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．是偶函數(shù) B． 是奇函數(shù)
C． 是奇函數(shù) D． 是奇函數(shù)
3．【xx高考重慶卷文第4題】下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（ ）
4．【xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷）文科】定義域?yàn)榈乃膫€(gè)函數(shù)，，，中，奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是( )
A ．
10、 B． C． D．
【答案】C
【解析】奇函數(shù)的為與，和為非奇非偶函數(shù)，故選C．
5．【xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖南卷）文科】已知f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，且f（－1）+g（1）=2，f（1）+g（－1）=4，則g（1）等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】因?yàn)椋瑑墒较嗉涌傻茫?
6．【xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（遼寧卷）文科】
已知函數(shù)（ ）
A． B． C． D．
7．
11、【xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（山東卷）】已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)， ，則 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
8．【xx高考湖南卷文第15題】若是偶函數(shù)，則____________．
【答案】
9．【xx年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試江蘇數(shù)學(xué)試題】已知是定義在上的奇函數(shù)． 當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集用區(qū)間表示為 ．
10．【xx高考上海文第20題】設(shè)常數(shù)，函數(shù)．
（1） 若=4，求函數(shù)的反函數(shù)；
（2） 根據(jù)的不同取值，討論函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由．
性的定義可知函數(shù)具有奇偶性，在時(shí)，函數(shù)的定義域是，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此
12、函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
【方法規(guī)律】
1．判斷函數(shù)奇偶性的方法
(1)定義法
一般地，對(duì)于較簡(jiǎn)單的函數(shù)解析式，可通過(guò)定義直接作出判斷；對(duì)于較復(fù)雜的解析式，可先對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用定義進(jìn)行判斷．利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：
(2)圖象法
奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱．因此要證函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，只需證明此函數(shù)是奇函數(shù)即可；要證函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，只需證明此函數(shù)是偶函數(shù)即可．反之，也可利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性去判斷函數(shù)的奇偶性．
(3)組合函數(shù)奇偶性的判定方法
①兩個(gè)奇(偶)函數(shù)的和、差還是奇(偶)函數(shù)，一奇一偶之和為非奇非偶函數(shù)．
13、
②奇偶性相同的兩函數(shù)之積(商)為偶函數(shù)，奇偶性不同的兩函數(shù)之積(商)(分母不為0)為奇函數(shù)．
③復(fù)合函數(shù)的奇偶性可概括為“同奇則奇，一偶則偶”．
(4)分段函數(shù)的奇偶性判定
分段函數(shù)應(yīng)分段討論，注意奇偶函數(shù)的整體性質(zhì)，要避免分段下結(jié)論，如典例1(3)只有得到當(dāng)x≠0時(shí)都有f(－x)＝f(x)才能給出偶函數(shù)的結(jié)論．
2．函數(shù)奇偶性的應(yīng)用技巧
(1)已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式
抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于f(x)的方程，從而可得f(x)的解析式．
(2)已知帶有字母參數(shù)的函數(shù)表達(dá)式及奇偶性求參數(shù)
常常采用待定系數(shù)法，利用f(x)±f(－
14、x)＝0得到關(guān)于x的恒等式，由對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等可得字母的值．
(3)奇偶性與單調(diào)性的綜合問(wèn)題要注意奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反．
【易錯(cuò)點(diǎn)睛】
函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì)，其定義中要求f(x)和f(－x)必須同時(shí)存在，所以函數(shù)定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的前提．如果某一個(gè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它一定是非奇非偶函數(shù)．
誤區(qū)．不明分段函數(shù)奇偶性概念致錯(cuò)
【例1】（xx北京東城期末）判斷f(x)＝的奇偶性．
【錯(cuò)解】當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f
15、(x)．
當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)．所以f(x)是奇函數(shù)．
【剖析】漏x＝0情況．
【正解】盡管對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)不為零的x，都有f(－x)＝－f(x)成立，但當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝3≠－f(0)，所以函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
熱點(diǎn)三 函數(shù)的周期性
1．【xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖北卷）文科】x為實(shí)數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則函數(shù)在上為（ ）
A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．增函數(shù) D． 周期函數(shù)
2．【xx高考四川卷文第13題】設(shè)是定
16、義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則 ．
3．【xx年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題大綱全國(guó)文科】設(shè)是以2為周期的函數(shù)，且當(dāng)時(shí)， ．
【方法規(guī)律】
1． (1)對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有，那么函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫f(x)的周期．如果所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫f(x)的最小正周期．
(2)周期函數(shù)不一定有最小正周期，若T≠0是f(x)的周期，則kT(k∈Z)(k≠0)也一定是f(x)的周期，周期函數(shù)的定義域無(wú)上、下界．
2． 函數(shù)周期性的相關(guān)結(jié)論．
設(shè)
17、a是非零常數(shù)，若對(duì)f(x)定義域內(nèi)的任意x，恒有下列條件之一成立：①f(x＋a)＝－f(x)；②f(x＋a)＝；③f(x＋a)＝－；④f(x＋a)＝f(x－a)，則f(x)是周期函數(shù)，2|a|是它的一個(gè)周期．(以上各式中分母均不為零)．
【解題技巧】
求函數(shù)周期的方法
求一般函數(shù)周期常用遞推法和換元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝計(jì)算．遞推法：若f(x＋a)＝－f(x)，則f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a．換元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，則f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．
熱點(diǎn)四 函
18、數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
1．【xx高考湖南卷文第4題】下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
2．【xx高考大綱卷文第12題】奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若f(x+2)為偶函數(shù)，則f(1)=1，則f(8)+f(9)= （ ）
A． －2 B．－1 C． 0 D． 1
3．【xx年全國(guó)高考統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（文）卷】已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)， 且在區(qū)間單調(diào)遞增． 若實(shí)數(shù)a滿足， 則a的取值范圍是（ ）
(A) (B) (C) (D)
4．【xx年普通高等學(xué)校招生全
19、國(guó)統(tǒng)一考試（四川卷）理科】設(shè)函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．若曲線上存在點(diǎn)使，則的取值范圍是（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．【xx高考安徽卷文第14題】若函數(shù)是周期為4的奇函數(shù)，且在上的解析式為，則．
6．【xx高考全國(guó)2卷文第15題】偶函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，，則=________．
【方法規(guī)律】
1．解這類綜合題的一般方法
在解決函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題中，如果結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)畫(huà)出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，根據(jù)簡(jiǎn)圖進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，就可以把抽象問(wèn)題變的直觀形象、復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了，對(duì)問(wèn)題的解決有很大的幫助．
（1）一般的解題
20、步驟：利用函數(shù)的周期性把大數(shù)變小或小數(shù)變大，然后利用函數(shù)的奇偶性調(diào)整正負(fù)號(hào)，最后利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大?。?
（2）畫(huà)函數(shù)草圖的步驟：由已知條件確定特殊點(diǎn)的位置，然后利用單調(diào)性確定一段區(qū)間的圖象，再利用奇偶性確定對(duì)稱區(qū)間的圖象，最后利用周期性確定整個(gè)定義域內(nèi)的圖象．
2． 函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性之間內(nèi)在聯(lián)系
若函數(shù)有兩條對(duì)稱軸(或兩個(gè)對(duì)稱中心，或一對(duì)稱軸一對(duì)稱中心)，則該函數(shù)必是周期函數(shù)．特別地，有以下結(jié)論(其中a≠0)：
若f(x)有對(duì)稱軸x＝a，且是偶函數(shù)，則f(x)的周期為2a；
若f(x)有對(duì)稱軸x＝a，且是奇函數(shù)，則f(x)的周期為4a；
若f(x)有對(duì)稱中心(a，0
21、)，且是偶函數(shù)，則f(x)的周期為4a；
若f(x)有對(duì)稱中心(a，0)，且是奇函數(shù)，則f(x)的周期為2a．
【易錯(cuò)點(diǎn)睛】
誤區(qū)1．函數(shù)的性質(zhì)挖掘不全致誤
【例1】奇函數(shù)f(x)定義在R上，且對(duì)常數(shù)T＞0，恒有f(x＋T)＝f(x)，則在區(qū)間[0，2T]上，方程f(x)＝0根的個(gè)數(shù)至少有 ( )
A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)
【錯(cuò)解】由f(x)是R上的奇函數(shù)，得
22、f(0)＝0?x1＝0．再由f(x＋T)＝f(x)得f(2T)＝f(T)＝f(0)＝0?x2＝T，x3＝2T．即在區(qū)間[0，2T]上，方程f(x)＝0根的個(gè)數(shù)最小值為3個(gè)．
【剖析】本題的抽象函數(shù)是奇函數(shù)與周期函數(shù)的交匯．即解時(shí)要把抽象性質(zhì)用足，不僅要充分利用各個(gè)函數(shù)方程，還要注意方程①和②互動(dòng)．
【正解】由方程①得f(0)＝0?x1＝0．再由方程②得f(2T)＝f(T)＝f(0)＝0?x2＝T，x3＝2T．
又∵f(x－)＝f(x＋)，令x＝0得f(－)＝f()．又f(－)＝－f()，f()＝0，x4＝．再由②得f(＋T)＝0?x5＝，故方程f(x)＝0至少有5個(gè)實(shí)數(shù)根．故選C．
誤
23、區(qū)2．忽視隱含條件的挖掘致誤
【例2】（xx江蘇模擬）設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1，1]上，
f(x)＝其中a，b∈R．若f()＝f()，則a＋3b的值為_(kāi)_______．
【錯(cuò)解】因?yàn)閒(x)的周期為2，所以f()＝f(－2)＝f(－)，即f()＝f(－)．又因?yàn)閒(－)＝－a＋1，f()＝＝，所以－a＋1＝，∴3a＋2b＝－2．
【剖析】
(1)轉(zhuǎn)化能力差，不能把所給區(qū)間和周期聯(lián)系起來(lái)；(2)挖掘不出f(－1)＝f(1)，從而無(wú)法求出a、b的值．
【正解】因?yàn)閒(x)的周期為2，所以f()＝f(－2)＝f(－)，即f()＝f(－)．又因?yàn)?
f(－)＝－
24、a＋1，f()＝＝，所以－a＋1＝．整理，得a＝－(b＋1)．①
又因?yàn)閒(－1)＝f(1)，所以－a＋1＝，即b＝－2a． ②
將②代入①，得a＝2，b＝－4．所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10．
【考點(diǎn)剖析】
一．最新考試說(shuō)明：
1．理解函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)討論和證明函數(shù)的單調(diào)性．
2．理解函數(shù)的奇偶性，會(huì)判斷函數(shù)的奇偶性．
3．利用函數(shù)奇偶性、周期性求函數(shù)值及求參數(shù)值．
二．命題方向預(yù)測(cè)：
1．利用函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間、比較大小、解不等式、求變量的取值是歷年高考考查的熱點(diǎn)．
2．函數(shù)的奇偶性是高考考查的熱點(diǎn)．
3．函數(shù)奇偶性的
25、判斷、利用奇偶函數(shù)圖象特點(diǎn)解決相關(guān)問(wèn)題、利用函數(shù)奇偶性、周期性求函數(shù)值及求參數(shù)值等問(wèn)題是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)．
3．題型以選擇題和填空題為主，函數(shù)性質(zhì)其他知識(shí)點(diǎn)交匯命題．
三．課本結(jié)論總結(jié)：
1．奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反． 注意：確定函數(shù)的奇偶性，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．確定函數(shù)奇偶性的常用方法有：定義法、圖像法、性質(zhì)法等．
2．若奇函數(shù)定義域中有0，則必有．即的定義域時(shí)，是為奇函數(shù)的必要非充分條件． 對(duì)于偶函數(shù)而言有：．
3．確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間，在解答題中常用：定義法（取
26、值、作差、鑒定）、導(dǎo)數(shù)法；在選擇、填空題中還有：數(shù)形結(jié)合法(圖像法)、特殊值法等等．
4．若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則可以表示為，該式的特點(diǎn)是：右端為一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和．
5．既奇又偶函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)（，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)數(shù)集）．
6．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特點(diǎn)是：“同增異減”；復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”．復(fù)合函數(shù)要考慮定義域的變化（即復(fù)合有意義）．
7．函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線（軸）對(duì)稱．
推廣一：如果函數(shù)對(duì)于一切，都有成立，那么的圖像關(guān)于直線（由“和的一半確定”）對(duì)稱．
推廣二：函數(shù)，的圖像關(guān)于直線（由確定）對(duì)稱．
8．函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直
27、線（軸）對(duì)稱．
推廣：函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱（由“和的一半確定”）．
9．函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱．
推廣：函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱．
10．函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱．
推廣：曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線是；曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線是．
11．曲線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所得曲線是（逆時(shí)針橫變?cè)俳粨Q）．特別：繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，若有反函數(shù)，則得．
曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所得曲線是（順時(shí)針縱變?cè)俳粨Q）．特別：繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，若有反函數(shù)，則得．
12．類比“三角函數(shù)圖像”得：
若圖像有兩條對(duì)稱軸，則必是周期函數(shù)，且一周期為．
若圖像有兩個(gè)對(duì)稱中心，則是周期
28、函數(shù)，且一周期為．
如果函數(shù)的圖像有下一個(gè)對(duì)稱中心和一條對(duì)稱軸，則函數(shù)必是周期函數(shù)，且一周期為．
如果是R上的周期函數(shù)，且一個(gè)周期為，那么．
特別：若恒成立，則．
若恒成立，則．若恒成立，則．
如果是周期函數(shù)，那么的定義域“無(wú)界”．
四、名師二級(jí)結(jié)論：
一個(gè)防范
函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制．例如函數(shù)y＝分別在(－∞，0)，(0，＋∞)內(nèi)都是單調(diào)遞減的，但不能說(shuō)它在整個(gè)定義域即(－∞，0)∪(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，只能分開(kāi)寫(xiě)，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”連接．
一條規(guī)律
函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條
29、件．
注意：分段函數(shù)判斷奇偶性應(yīng)分段分別證明f(－x)與f(x)的關(guān)系，只有當(dāng)對(duì)稱的兩段上都滿足相同的關(guān)系時(shí)，才能判斷其奇偶性．
兩個(gè)應(yīng)用
1．已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式．
抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性產(chǎn)生關(guān)于f(x)的方程，從而可得f(x)的解析式．
2．已知帶有字母參數(shù)的函數(shù)的表達(dá)式及奇偶性求參數(shù)．
常常采用待定系數(shù)法：利用f(x)±f(－x)＝0產(chǎn)生關(guān)于字母的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性可得知字母的值．
三種方法
判斷函數(shù)單調(diào)性的三種方法方法：(1)定義法；(2)圖象法；(3)導(dǎo)數(shù)法．
判斷函數(shù)的奇偶性的三種方法：(1)定義法；(2)圖象法；
30、(3)性質(zhì)法．
在判斷函數(shù)是否具有奇偶性時(shí)，為了便于判斷，有時(shí)需要將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，或應(yīng)用定義的變通形式：
f(－x)＝±f(x)?f(－x)±f(x)＝0?＝±1，f(x)≠0．
四條性質(zhì)
1．若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0．
2．設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
3．奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性．
4．若f(x)是偶函數(shù)，則有f(-x)＝f(x)＝f(|x|)．
五、課本經(jīng)典習(xí)題：
(1)新課標(biāo)人教A版必修一
31、第36頁(yè)練習(xí)第1（3）題
判斷下列函數(shù)的奇偶性：．
【經(jīng)典理由】典型的鞏固定義題，可以進(jìn)行多角度變式．
變式題：關(guān)于函數(shù)，有下列命題：①其圖象關(guān)于軸對(duì)稱；②當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；③的最小值是；④在區(qū)間上是增函數(shù)；⑤無(wú)最大值，也無(wú)最小值．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
解： 為偶函數(shù)，故①正確；令，則當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，∴②⑤錯(cuò)誤，③④正確，故選①③④．
(2)新課標(biāo)人教A版必修一第44頁(yè)復(fù)習(xí)參考題A組第八題
設(shè)，求證：（1）；（2）．
【經(jīng)典理由】典型的鞏固定義題，可以進(jìn)行改編、變式或拓展．
改編：設(shè)定在R上的函數(shù)滿足：，則
．
解：由．得 ．
32、由所求式子特征考查：．．
(3)新課標(biāo)人教A版必修一第83頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B組第3題
對(duì)于函數(shù)．
（1）探索函數(shù)的單調(diào)性；（2）是否存在實(shí)數(shù)a使為奇函數(shù)？
【經(jīng)典理由】典型的函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用題，可以進(jìn)行改編、變式或拓展．
改編 對(duì)于函數(shù)．（1）用定義證明：在R上是單調(diào)減函數(shù)；（2）若是奇函數(shù)，求a值；（3）在（2）的條件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0．
證明：（1）設(shè)＜，則f（）-f（）=-=．
∵-＞0，＞0，＞0．即f（）-f（）＞0．∴f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)
（2）∵是奇函數(shù)，∴f（0）=0?a=-1．
（3）由（1）（2）可得在R上是單調(diào)減函數(shù)且是奇函數(shù)，
33、∴f（2t+1）+f（t-5）≤0．轉(zhuǎn)化為f（2t+1）≤-f（t-5）=f（-t+5），?2t+1≥-t+5?t≥，故所求不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0的解集為：{t|t≥}．
(4)新課標(biāo)人教A版必修一第83頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B組第4題
設(shè)，求證：
（1）；（2）；（3）．
【經(jīng)典理由】典型的證明函數(shù)性質(zhì)題，可以進(jìn)行改編、變式或拓展．
改編1：設(shè)，給出如下結(jié)論：①對(duì)任意，有；②存在實(shí)數(shù)，使得；③不存在實(shí)數(shù)，使得；④對(duì)任意，有；
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是
解：對(duì)于①：
對(duì)于②：，即恒有；
對(duì)于③：，故不存在，使
對(duì)于④：
，故正確的有①③④
改編2：已知函數(shù)滿
34、足，且，分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，若使得不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
解：，得，
即，解得，，即得，參數(shù)分離得，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，的解滿足），所以．
六．考點(diǎn)交匯展示：
(1)函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的零點(diǎn)交匯
例1．【xx高考湖北卷文第9題】已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)的集合為（ ）
A． B． C． D．
(2) 函數(shù)的周期性與函數(shù)的零點(diǎn)交匯
例2．【xx高考江蘇卷第13題】已知是定義在上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在區(qū)間上有10個(gè)零點(diǎn)（互不相同），則實(shí)數(shù)的取值范
35、圍是 ．
(3) 函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性的交點(diǎn)問(wèn)題
例3．【穩(wěn)派xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬信息卷(五)】已知函數(shù)和都是定義在R上的偶函數(shù)，若時(shí)，，則為（ ）
A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．零 D．不能確定
【答案】A
【解析】
試題分析：∵函數(shù)是偶函數(shù)，∴．又函數(shù)也是偶函數(shù)，∴函數(shù)既關(guān)于直線對(duì)稱，又關(guān)于y軸對(duì)稱，所以函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，故有，．又當(dāng)時(shí)，恒成立，故函數(shù)為增函數(shù)．又，則，故選A．
考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性．
【考點(diǎn)特訓(xùn)】
1．【山東省濟(jì)南市xx屆高三高考第一次模擬考試】“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的（
36、 ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2． 【山東省棗莊市xx屆高三第一次模擬考試】若既是周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)( )
A．既是周期函數(shù)，又是奇函數(shù) B．既是周期函數(shù)，又是偶函數(shù)
C．不是周期函數(shù)，但是奇函數(shù) D．不是周期函數(shù)，但是偶函數(shù)
3． 【山東省威海市xx屆高三上學(xué)期期末考試】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，則實(shí)數(shù)的值可以是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，即函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，
37、所以區(qū)間關(guān)于對(duì)稱，所以，即，所以選B．
4． 【安徽省皖南八校xx屆高三第二次聯(lián)考】已知函數(shù)是上的奇函數(shù)且滿足，則 的值為( )
A．0 B 1 C． 2 D．4
5． 【湖北省黃岡市黃岡中學(xué)xx屆高三五月第二次模擬考試】已知函數(shù)是偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則方程在區(qū)間上的解的個(gè)數(shù)是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．【xx合肥二模數(shù)學(xué)文】已知函數(shù)，則（ ）
A
38、．xx B． C．xx D．
【答案】D
【解析】由題意，
，故選D．
【考點(diǎn)】分段函數(shù)的求值．
7．【xx年皖北協(xié)作區(qū)高三年級(jí)聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)文】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意，都有，若，則
8．【xx安徽江南十校高三聯(lián)考數(shù)學(xué)文）】已知函數(shù)，若有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A． B． C． D．
9．【xx安徽宿州高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)文】已知為R上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)， ，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 （
39、 ）
A．1 B．2 C．0 D．0或2
10． 【北京市順義區(qū)xx屆高三第一次統(tǒng)考（文）】下列函數(shù)，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是 ( )
A． B．
C． D．
11．【浙江省“六市六?！甭?lián)盟xx屆高考模擬考試】已知，定義，其中，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
12．【xx年浙江省嘉興市xx屆高三3月教學(xué)測(cè)試（一）】若的圖像是中心對(duì)
40、稱圖形，則( )
A．4 B． C．2 D．
13． 【上海市六校xx屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題】下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)的為 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性．
14． 【河南省安陽(yáng)一中xx屆高三第一次月考4】如果在區(qū)間上為減函數(shù)，則的取值范圍（ ）
A． B． C． D （0，）
15． 【浙江省溫州市
41、十校聯(lián)合體xx屆高三上學(xué)期期初聯(lián)考2】已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)， 則 （ ）
A． B． C． D．
16． 【廣州市海珠區(qū)xx屆高三綜合測(cè)試（一）試題7】下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是( )．
A． B． C． D．
選項(xiàng)C：在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)；
選項(xiàng)D：在定義域R上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)；故選D．
考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性
17． 【廣東省惠州一中等六校xx屆高三8月聯(lián)考10】定義在R上的奇函數(shù)和定義在上的偶函數(shù)分別滿足，，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A．
42、 B． C． D．
18． 【四川省成都市xx屆高中畢業(yè)班摸底測(cè)試10】已知定義在R上的函數(shù)f(x)的周期為4，且當(dāng)x∈(－1，3]時(shí)，f(x)＝，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是
A、4 B、5 C、6 D、7
19．【四川省廣安市xx屆高三診斷考試15】已知函數(shù)，下列關(guān)于函數(shù)(其中a為常數(shù))的敘述中:
①a>0，函數(shù)g(x)至少有4個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)g(x)有5個(gè)不同零點(diǎn)；
③a∈R，使得函數(shù)g(x)有6個(gè)不同零點(diǎn)；
④函數(shù)g(x)有8個(gè)不同零點(diǎn)的充要條件是0
43、②③④
【解析】
試題分析：畫(huà)出f(x)的圖象如圖．
令g（x）＝0，即
[f（x）]2－f（x）＋a＝0，
20． 【江蘇省蘇州市xx屆高三9月調(diào)研測(cè)試4】已知函數(shù)為奇函數(shù)則實(shí)數(shù)的值為 ▲
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
1．【熱點(diǎn)1預(yù)測(cè)】若f(x)是R上的奇函數(shù)，且f(x)在[0，+￥)上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論：①y=|f(x)|是偶函數(shù)；②對(duì)任意的x?R都有f(-x)+|f(x)|=0；③y=f(-x)在(-￥，0]上單調(diào)遞增；④y=f(x)f(-x)在(-￥，0]上單調(diào)遞增．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )
A．1 B 2 C．3 D．4
2．【
44、熱點(diǎn)2預(yù)測(cè)】下列函數(shù)中既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是 （ ）
A． B． C． D．
3．【熱點(diǎn)3預(yù)測(cè)】已知，方程在［0，1］內(nèi)有且只有一個(gè)根，則在區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2011 B．1006 C．xx D．1007
【答案】C
【解析】由，可知，所以函數(shù)的周期是2，由可知函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)在［0，1］內(nèi)有且只有一個(gè)根，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù)為xx個(gè)，選C．
4．【熱點(diǎn)4預(yù)測(cè)】函數(shù)的定義域?yàn)椋羟視r(shí)總有，則稱為單函數(shù)．例如，函數(shù)是單函數(shù)．下列命題:
①函數(shù)是單函數(shù)；
②函數(shù)是單函數(shù)；
③若為單函數(shù)，且，則；
④函數(shù)在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上具有單調(diào)性，則一定是單函數(shù)．
其中的真命題是 (寫(xiě)出所有真命題的編號(hào))．
5．設(shè)為R上的奇函數(shù)，為R上的偶函數(shù)，且，．則 ．（只需寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的函數(shù)解析式即可）
2022年高三數(shù)學(xué) 考點(diǎn)總動(dòng)員05 函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性） 文（含解析）
