2022年高考數(shù)學二輪復習 專題1 高考客觀題常考知識 第2講 平面向量、復數(shù) 理

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1、2022年高考數(shù)學二輪復習 專題1 高考客觀題常考知識 第2講 平面向量、復數(shù) 理 平面向量的概念及線性運算 1.(xx資陽市一診)已知向量=a+3b,=5a+3b,=-3a+3b,則(　B　) (A)A,B,C三點共線 (B)A,B,D三點共線 (C)A,C,D三點共線 (D)B,C,D三點共線 解析:=+=2a+6b=2(a+3b), 則=2,即A,B,D三點共線,故選B. 2.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,則|b|等于(　C　) (A) (B) (C)2 (D)2 解析:因為a∥b,所以1×m=2×(-2),解得m=-4, 所以b=(-2,

2、-4),|b|==2.故選C. 3.在平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD交于點O,+=λ,則λ=　　　　.? 解析:因為O為AC的中點, 所以+==2,即λ=2. 答案:2 平面向量的數(shù)量積 4.(xx廣西柳州市、北海市、欽州市1月模擬)已知向量a與b的夾角為30°,且|a|=1,|2a-b|=1,則|b|等于(　C　) (A) (B) (C) (D) 解析:由題意得|2a-b|2=4-4|b|×+|b|2=1, 即|b|2-2|b|+3=0, 解得|b|=.故選C. 5.(xx重慶卷)若非零向量a,b滿足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),則a與b的夾角為

3、(　A　) (A) (B) (C) (D)π 解析:因為(a-b)⊥(3a+2b), 所以(a-b)·(3a+2b)=0?3|a|2-a·b-2|b|2=0? 3|a|2-|a|·|b|·cos-2|b|2=0. 又因為|a|=|b|, 所以|b|2-|b|2·cos-2|b|2=0. 所以cos=, 因為∈[0,π], 所以=.故選A. 6.(xx遼寧錦州市質(zhì)檢)已知向量=(2,2),=(4,1),點P在x軸上,則·取最小值時P點坐標是(　D　) (A)(-3,0) (B)(1,0) (C)(2,0) (D)(

4、3,0) 解析:設P(x,0),則=-=(x-2,-2), =-=(x-4,-1), 所以·=(x-2)(x-4)+2 =x2-6x+10 =(x-3)2+1, 所以x=3時,·取得最小值, 此時P(3,0).故選D. 7.(xx福建卷)已知⊥,||=,||=t.若點P是△ABC所在平面內(nèi)的一點,且=+,則·的最大值等于(　A　) (A)13 (B)15 (C)19 (D)21 解析:以A為原點,AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸建立平面直角坐標系,則B(,0)(t>0),C(0,t),P(1,4),·=（-1,-4）·(-1, t-4)=17-（4t+）≤17-2×

5、2=13（當且僅當t=時,取“=”）,故·的最大值為13,故選A. 8.(xx湖北七市(州)3月聯(lián)考)已知向量=(2,m),=(1,),且向量在向量方向上的投影為1,則||=　　　　　　.? 解析:||·cos<,>===1, 解得m=0. 則||==2. 答案:2 9.(xx山東卷)在△ABC中,已知·=tan A,當A=時,△ABC的面積為　　　　.? 解析:根據(jù)平面向量數(shù)量積的概念得·=||·||cos A,當A=時,根據(jù)已知可得||·||=,故△ABC的面積為||·||· sin =. 答案: 復數(shù)的概念與運算 10.(xx山西太原市模擬)已知i為虛數(shù)單位,集合A

6、={1,2,zi}, B={1,3},A∪B={1,2,3,4},則復數(shù)z等于(　A　) (A)-4i (B)4i (C)-2i (D)2i 解析:由題意zi=4,所以z==-4i.故選A. 11.(xx貴州七校聯(lián)盟第一次聯(lián)考)復數(shù)z=(m∈R,i為虛數(shù)單位)在復平面上對應的點不可能位于(　A　) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 解析:由已知z= = =[(m-4)-2(m+1)i]. 在復平面上對應的點如果在第一象限, 則 而此不等式組無解, 即在復平面上對應的點不可能位于第一象限.故選A. 12.(xx江蘇卷)設復數(shù)z滿足z2=3

7、+4i(i是虛數(shù)單位),則z的模為　　　　.? 解析:設z=a+bi(a,b∈R),則z2=a2-b2+2abi, 由復數(shù)相等的定義得 解得或 從而|z|==. 答案: 13.(xx天津卷)i是虛數(shù)單位,若復數(shù)(1-2i)(a+i)是純虛數(shù),則實數(shù)a的值為　　　　.? 解析:因為(1-2i)(a+i)=2+a+(1-2a)i為純虛數(shù), 所以 解得a=-2. 答案:-2 一、選擇題 1.(xx廣東卷)已知復數(shù)z滿足(3+4i)z=25,則z等于(　D　) (A)-3+4i (B)-3-4i (C)3+4i (D)3-4i 解析:根據(jù)復數(shù)的運算法則,z===3-4i.

8、故選D. 2.(xx河南鄭州市質(zhì)檢)在復平面內(nèi)與復數(shù)z=所對應的點關于虛軸對稱的點為A,則A對應的復數(shù)為(　C　) (A)1+2i (B)1-2i (C)-2+i (D)2+i 解析:復數(shù)z===2+i, 得點A對應的復數(shù)為-2+i,故選C. 3.(xx安徽蚌埠市質(zhì)檢)若復數(shù)(2+ai)(1-i)(a∈R)是純虛數(shù)(i是虛數(shù)單位),則a的值為(　A　) (A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2 解析:(2+ai)(1-i)=(2+a)+(-2+a)i, 由復數(shù)(2+ai)(1-i)(a∈R)是純虛數(shù), 得2+a=0,則a=-2,故選A. 4.設i是虛數(shù)單位,是復數(shù)z的共

9、軛復數(shù),若z·i+2=2z,則z等于(　A　) (A)1+i (B)1-i (C)-1+i (D)-1-i 解析:設z=a+bi(a,b∈R),則|z|2=a2+b2, 由z·i+2=2z,得|z|2·i+2=2(a+bi), 即解得所以z=1+i. 5.(xx廈門質(zhì)檢)如圖,正六邊形ABCDEF中,AB=2,則(-)·(+)等于(　D　) (A)-6 (B)-2 (C)2 (D)6 解析:由-=, +=+=, 則(-)·(+) =· =||||cos =2×2×=6. 故選D. 6.(xx福建卷)在下列向量組中,可以把向量a=(3,2)表示出來的是(　B　

10、) (A)e1=(0,0),e2=(1,2) (B)e1=(-1,2),e2=(5,-2) (C)e1=(3,5),e2=(6,10) (D)e1=(2,-3),e2=(-2,3) 解析:選項A中λe1+μe2=(μ,2μ)(λ,μ∈R),不存在μ使(μ,2μ) =(3,2),可排除選項A.選項C,D中e1∥e2,但與a不共線,則a不能由e1,e2表示,設(3,2)=x(-1,2)+y(5,-2)=(-x+5y,2x-2y)(x,y∈R),可得x=2,y=1,所以選項B中的e1,e2可把a表示出來.故選B. 7.(xx河南洛陽市期末)在平面直角坐標系xΟy中,點Α與Β關于y軸對稱.若

11、向量a=(1,k),則滿足不等式+a· ≤0的點Α(x,y)的集合為(　C　) (A){(x,y)|(x+1)2+y2≤1} (B){(x,y)|x2+y2≤k2} (C){(x,y)|(x-1)2+y2≤1} (D){(x,y)|(x+1)2+y2≤k2} 解析:由A(x,y)可得B(-x,y),則=(-2x,0),不等式+a·≤0可化為x2+y2-2x≤0,即(x-1)2+y2≤1,故選C. 8.(xx遵義市第二次聯(lián)考)在平面直角坐標系中,向量n=(2,0),將向量n繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得向量m,若向量a滿足|a-m-n|=1,則|a|的最大值是(　B　) (A)2-1

12、(B)2+1 (C)3 (D)++1 解析:由題意得m=(1,).設a=(x,y), 則a-m-n=(x-3,y-), 所以|a-m-n|2=(x-3)2+=1. 而(x,y)表示圓心為(3,)的圓上的點,求|a|的最大值, 即求該圓上點到原點的距離的最大值,最大值為2+1. 9.(xx廣東惠州市一調(diào))已知向量a與b的夾角為θ,定義a×b為a與b的“向量積”,且a×b是一個向量,它的長度|a×b|=|a||b|sin θ,若u=(2,0),u-v=(1,-),則|u×(u+v)|等于(　D　) (A)4 (B) (C)6 (D)2 解析:由題意v=u-(u-v)=(

13、1,), 則u+v=(3,), cos=, 得sin=, 由定義知|u×(u+v)|=|u|·|u+v|sin =2×2× =2. 故選D. 10.如圖,設向量=(3,1),=(1,3),若=λ+μ,且λ≥μ≥1,則用陰影表示C點所有可能的位置區(qū)域正確的是(　D　) 解析:設向量=(x,y), 由題意得 所以 λ≥μ≥1, 所以 即 即選項D的形式.故選D. 11.設△ABC,P0是邊AB上一定點,滿足P0B=AB,且對于邊AB上任一點P,恒有·≥·,則(　D　) (A)∠ABC=90° (B)∠BAC=90°

14、 (C)AB=AC (D)AC=BC 解析:設AB=4,以AB所在直線為x軸,線段AB的中垂線為y軸,建立平面直角坐標系, 則A(-2,0),B(2,0), 則P0(1,0), 設C(a,b),P(x,0), 所以=(2-x,0), =(a-x,b). =(1,0),=(a-1,b). 則·≥·?(2-x)·(a-x)≥a-1恒成立, 即x2-(2+a)x+a+1≥0恒成立. 所以Δ=(2+a)2-4(a+1)=a2≤0恒成立. 所以a=0. 即點C在線段AB的中垂線上, 所以AC=BC.故選D. 12.(xx河南鄭州市級第一次質(zhì)量預測)在Rt△ABC

15、中,CA=CB=3,M,N是斜邊AB上的兩個動點,且MN=,則·的取值范圍為(　B　) (A)[3,6] (B)[4,6] (C)[2,] (D)[2,4] 解析:以點C為坐標原點, 邊CA,CB所在的直線分別為x軸,y軸,建立平面直角坐標系, 直線AB的方程為x+y=3. 設M(x,3-x), 則N(x+1,2-x),(0≤x≤2), 所以·=x(x+1)+(3-x)(2-x) =2x2-4x+6 =2(x-1)2+4(0≤x≤2), 當x=0或2時,取最大值6, 當x=1時,取最小值4. 二、填空題 13.(xx北京卷)已知向量a,b滿足|a|=1,b=(2,1)

16、,且λa+b=0(λ∈R),則|λ|=　　　　.? 解析:|b|=.因為b=-λa, 所以|b|=|λ||a|, 所以|λ|==. 答案: 14.(xx江西卷)已知單位向量e1與e2的夾角為α,且cos α=,向量a=3e1-2e2與b=3e1-e2的夾角為β,則cos β=　　　　.? 解析:因為a2=(3e1-2e2)2=9-2×3×2×cos α+4=9, 所以|a|=3, 又b2=(3e1-e2)2=9-2×3×1×cos α+1=8, 所以|b|=2, a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2) =9-9e1·e2+2 =9-9×1×1×+2 =8, 所

17、以cos β===. 答案: 15.(xx山西大同市三模)已知a,b是非零向量,f(x)=(ax+b) ·(bx-a)的圖象是一條直線,|a+b|=2,|a|=1,則f(x)=　　　　.? 解析:f(x)=a·bx2-(a2-b2)x-a·b的圖象是一條直線, 可得a·b=0. 因為|a+b|=2, 所以a2+b2=4. 因為|a|=1, 所以a2=1,b2=3, 所以f(x)=2x. 答案:2x 16.(xx江西南昌市第一次模擬)已知三角形ABC中,AB=AC,BC=4, ∠BAC=120°,=3,若P是BC邊上的動點,則·的取值范圍是　　　　.? 解析:法一　設=λ(0≤λ≤1), =+=+λ, ·=(+λ)·(+) =+λ+(+λ)· =4λ-. 因為0≤λ≤1, 所以0≤4λ≤4, 所以-≤4λ-≤. 法二　如圖所示,以BC的中點O為坐標原點,直線BC為x軸,直線AO為y軸建立平面直角坐標系, 由已知可得A(0,),B(-2,0),C(2,0),E(1,0). 設點P(x,0)(-2≤x≤2), 則=(x,-),=(1,-), 所以·=x+∈. 答案:[-,]